Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui trong hình bình hành

Với Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui trong hình bình hành môn Toán lớp 8 phần Hình học sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 1: Tứ giác để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.

Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui trong hình bình hành

A. Phương pháp giải

- Áp dụng tính chất của hình bình hành: hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

- Nếu hai hình bình hành có một đường chéo chung thì hai đường chéo còn lại đi qua trung điểm của đường chéo chung đó.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình sau, trong đó ABCD là hình bình hành. 

 

a) Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.

b) Gọi O là trung điểm của HK. Chứng minh ba điểm A, O, C thẳng hàng.

Giải

a) Từ giả thiết

Áp dụng tính chất về cạnh vào hình bình hành ABCD và tính chất góc so le của AD//BC ta được:

 (trường hợp cạnh huyền, góc nhọn).

Suy ra AH = CK.     (2) 

Từ (1) và (2) ta có tứ giác AHCK có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên nó là hình bình hành. 

b) Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình bình hành AHCK, ta được hai đường chéo AC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do O là trung điểm của HK theo giả thiết nên AC đi qua O, hay A, O, C là ba điểm thẳng hàng. 

Ví dụ 2. Cho hình bình hành ABCD. Tia phân giác của góc A cắt CD ở E. Tia phân giác của góc C cắt AB ở F. Chứng minh rằng: 

a) Tứ giác AFCE là hình bình hành. 

b) Các đường thẳng AC, BD, EF đồng quy tại một điểm.

Giải

Áp dụng định nghĩa vào hình bình hành ABCD, ta được AB//DC, suy ra AF//EC. (1)

Áp dụng tính chất về góc, giả thiết vào hình bình hành ABCD và tính chất của các cặp góc so le, ta được: 

  (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau). (2) 

Từ (1) và (2) ta có tứ giác AFCE có các cạnh đối song song nên nó là hình bình hành. 

b) Áp dụng tính chất về đường chéo vào hai hình bình hành ABCD và AFCE ta được hai đường chéo còn lại của hai hình bình hành trên là BD, FE cùng đi qua trung điểm của đường chéo chung AC. Điều đó chứng tỏ rằng các đường thẳng AC, BD, FE đồng quy tại trung điểm của AC.

Ví dụ 3. Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của BC và DA. Chứng minh rằng: 

a) Các tứ giác AMCN và BMDN là hình bình hành. 

b) Ba đường thẳng AC, BD, MN đồng quy tại một điểm. 

Giải

a) Áp dụng định nghĩa, tính chất về cạnh và giả thiết vào hình bình hành ABCD, ta được:

 

Như vậy hai tứ giác AMCN, BMDN đều có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên chúng là các hình bình hành. 

b) Hai hình bình hành AMCN, BMDN có MN là đường chéo chung. Gọi O là trung điểm của MN. Theo tính chất về đường chéo của hình bình hành thì hai đường chéo còn lại là AC và BD phải đi qua trung điểm của đường chéo chung MN. 

Vậy ba đường thẳng AC, BD, MN đồng quy tại điểm O.

Ví dụ 4. Cho hình bình hành ABCD. Lấy M, N, P, Q thứ tự trên các cạnh AB, BC, CD và DA sao cho AM = BN = CP = DQ. Chứng minh rằng: 

a) Các tứ giác BNDQ, MNPQ là hình bình hành. 

b) Bốn đường thẳng AC, BD, MP, NQ đồng quy tại một điểm. 

Giải

a) Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình bình hành ABCD, ta được:

 

Tứ giác BNDQ có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên nó là hình bình hành. 

Áp dụng tính chất về cạnh và giả thiết vào hình bình hành ABCD, ta được:

Kết hợp với tính chất về góc của hình bình hành  ta có hai cặp tam giác bằng nhau là QAM với NCP và MBN với PDQ theo trường hợp (c -g- c).

Suy ra QM = NP, MN = PQ.

Điều này chứng tỏ tứ giác MNPQ có các cạnh đối bằng nhau nên nó là hình bình hành. 

b) Hai hình bình hành ABCD, BNDQ có BD là đường chéo chung. Gọi O là trung điểm của BD theo tính chất về đường chéo của hình bình hành thì hai đường chéo còn lại là AC và NQ phải đi qua O, hay O là trung điểm của NQ. 

Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình bình hành MNPQ ta được đường chéo MP phải đi qua trung điểm O của đường chéo NQ. 

Vậy bốn đường thẳng AC, BD, MP và NQ đồng quy tại điểm O.

Ví dụ 5. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và G, H thứ tự là giao điểm của AF, DE và BF, CE. Chứng minh rằng: 

a) Các tứ giác AECF và EHFG là hình bình hành.

b) Các đường thẳng AC, FE, GH đồng quy tại một điểm.

Giải

a) Áp dụng định nghĩa, tính chất về cạnh và giả thiết vào hình bình hành ABCD, ta được:

 

Tứ giác AECF có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên là hình bình hành. 

Chứng minh tương tự ta cũng được tứ giác EBFD là hình bình hành. 

Áp dụng định nghĩa vào hai hình bình hành trên, ta có:

 

Điều này chứng tỏ tứ giác EHFG có các cặp cạnh đối song song. Vậy nó là hình bình hành. 

b) Hai hình bình hành AECF, EHFG có chung đường chéo EF nên suy ra hai đường chéo còn lại GH và AC phải cắt nhau tại trung điểm của EF. Vậy các đường thẳng AC, FE, GH đồng quy tại trung điểm của EF.

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình bình hành ABCD. M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. E là trung điểm của MN. Chứng minh rằng ba điểm B, E, D thẳng hàng.

Lời giải:

Ta có BM // ND và BM = ND nên BMDN là hình bình hành

Suy ra hai đường chéo MN và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Suy ra E là trung điểm của BD

Do đó ta kết luận B, E, D thẳng hàng

Bài 2. Cho đường tròn (O') tiếp xúc trong đường tròn (O) tại C. AB là một dây cung của đường tròn (O) và tiếp xúc với (O') tại H. Gọi K là điểm chính giữa của cung AB mà không chứa điểm C. Chứng minh rằng các điểm C, H, K thẳng hàng.

Lời giải:

Gọi M là giao điểm của CH với đường tròn (O) (M khác C).

Do hai đường tròn (O') và (O) tiếp xúc nhau nên ba điểm C, O¢, O thẳng hàng.

Tam giác CO'H có $\widehat{CHO\text{'}}=\widehat{HCO\text{'}}$ và tam giác COM có $\widehat{CMO}=\widehat{MCO}$.

Do đó ta suy ra O'H // OK. Do đó M là điểm chính giữa cung AB không chứa C.

Khi đó M ≡ K.

Từ đó ta kết luận C, H, K thẳng hàng.

Bài 3. Cho tam giác ABC đều, nội tiếp đường tròn tâm O. AO, BO, CO cắt các cạnh của tam giác lần lượt tại D, E, F. I là giao điểm của hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O). Chứng minh rằng các điểm C, F, I thẳng hàng.

Lời giải:

Tam giác ABC đều nên F là trung điểm của AB và CO ^ AB.

Do đó CF là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Xét tam giác ∆AOI và ∆BOI có:

$\widehat{OAI}=\widehat{OBI}=90°$

OA = OB = r

Cạnh OI chung

Do đó∆AOI = ∆BOI (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Khi đó IA = IB hay I nằm trên đường trung trực của AB.

Vậy ba điểm C, F, I thẳng hàng.

Bài 4. Cho tam giác nhọn ABC(AB < AC) nội tiếp đường tròn(O). Lấy D, E thuộc AB và AC thỏa mãn: BD = AC < AD, CE = AB < AE. Gọi I là điểm chính giữa của cung BC có chứa A. Lấy H đối xứng với điểm I qua đoạn thẳng CB. Chứng minh rằng các điểm D, H, E thẳng hàng.

Lời giải:

Ta có: AD = AB + BD = CE + AC = AE

Suy ra ∆ADE cân ở A.

Lấy K trên DE sao cho CK // AD.

Suy ra ∆CEK cân ở C nên CE = CK = AB.

Khi đó tứ giác ABKC là hình bình hành.

Nên AK, BC, IH đồng quy tại trung điểm của BC, đồng thời cũng là trung điểm của 2 đoạn thẳng còn lại

Khi đó tứ giác AIKH là hình bình hành nên AI // HK.

Khi đó

Suy ra $\hat{E}={\hat{A}}_2$, do đó AI // DE.

Mà K ∈ DE suy ra D, H, E thẳng hàng.

Bài 5. Cho tam giác ABC, G là trọng tâm, H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Chứng minh ba điểm G, H, O là ba điểm thẳng hàng.

Lời giải:

Gọi I là trung điểm của BC, D nằm trên (O) sao cho AD là đường kính.

Ta có $\widehat{DCA}=\widehat{DBA}=90°$

Xét tứ giác BHCD ta có :

+ BH // DC (⊥ AC)

+ CH // DB (⊥ AB)

Do đó tứ giác BHCD là hình bình hành .

Khi đó H, I, D thẳng hàng và IH = ID.

Ta lại có :

+ OI = $\frac{1}{2}$AH (OI là đường trung bình tam giác DAH ) (1)

+ GI = $\frac{1}{2}$GA (2)

+ $\widehat{HAG}=\widehat{GIO}$(so le trong) (3)

Do đó ∆GAH đồng dạng ∆GIO (c.g.c)

Khi đó $\widehat{HGA}=\widehat{IGO}$

Do đó $\widehat{HGA}$ và $\widehat{IGO}$ là hai góc đối đỉnh nên ta suy ra H, G, O thẳng hàng.

Bài 6. Cho đường tròn (O). Tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn có trực tâm H. Điểm K di chuyển trên cung nhỏ BC. Vẽ các điểm M, N đối xứng với K qua AC và AB. Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng.

Bài 7. Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Tứ giác ABCD có các đỉnh nằm trên đường tròn. E là giao điểm của AB và DC, F là giao điểm của AD và BC. Cho AE > BE, AF > DF. Đường tròn ngoại tiếp tam giác EBC cắt EF tại K khác E. Gọi H là giao điểm của AC và BD. Chứng minh ba điểm O, H, K thẳng hàng.

Bài 8. Một hình vuông ABCD có tâm O. Lấy điểm E thuộc AB thỏa mãn AE = $\frac{1}{3}$AB. Từ D, kẻ đường thẳng vuông góc với đoạn OE, cắt CA tại M. Gọi N là giao điểm của OE với CD. Chứng minh ba điểm B, M, N thẳng hàng.

Bài 9. Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M trên CB (MB > MC), điểm N trên AD (NA > ND) sao cho MB = NA. Gọi H là hình chiếu của M trên BN. Trên tia đối của MH lấy điểm K thỏa mãn EK = BN. Chứng minh ba điểm A, C, K thẳng hàng.

Bài 10. Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: BC > CA > AB. Các điểm D, E, F lần lượt là chân các đường phân giác ứng với các đỉnh A, B, C của tam giác. Các điểm M, N, P, Q là các điểm mà đối xứng với B, A, C, A qua AD, BE, AD, CF. Trên CK lấy điểm I sao cho: $\frac{BN}{CN}=\frac{MB}{CI}$. Chứng minh ba điểm M, N, I thẳng hàng.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc hay khác:

• Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau trong hình bình hành
• Cách chứng minh tứ giác là hình bình hành (hay, chi tiết)
• Cách vẽ hình đối xứng của một hình cho trước bằng đối xứng tâm
• Tìm hình có tâm đối xứng – Tìm tâm đối xứng của một hình
• Chứng minh hai đoạn thẳng hoặc hai góc bằng nhau sử dụng đối xứng tâm

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---