Chứng minh hai điểm đối xứng qua một đường thẳng (hay, chi tiết)

Với Chứng minh hai điểm đối xứng qua một đường thẳng hay, chi tiết môn Toán lớp 8 phần Hình học sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 1: Tứ giác để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.

Chứng minh hai điểm đối xứng qua một đường thẳng (hay, chi tiết)

A. Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa, tính chất của phép đối xứng trục.

1. Định nghĩa 

a) Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó. 

Quy ước: Nếu B∈d  thì ta nói B đối xứng với B qua d. 

b) Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua đường thẳng d và ngược lại. Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hai hình đó.

2. Các tính chất thừa nhận 

Tính chất 1: Nếu các điểm A và A’, B và B’, C và C’ đối xứng với nhau qua đường thẳng d trong đó C nằm giữa A và B thì C’ nằm giữa A’ và B’.

Tính chất 2: Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng nhau qua một trục thì chúng bằng nhau.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho  ΔABC cân tại A, đường cao AH. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = AE. Chứng minh rằng: 

a) D đối xứng với E qua AH.

b) ΔADC đối xứng với ΔABE qua AH. 

Giải

a) Vì ΔABC cân tại A có AH là đường cao theo giả thiết nên AH là tia phân giác của góc A.

Lại có AD = AE do giả thiết nên ΔADE cân tại A. Suy ra AH là đường trung trực của DE. Vậy D đối xứng với E qua AH.

b) Vì AH là đường cao của ΔABC cân tại A nên AH là đường trung trực của BC suy ra B đối xứng với C qua AH, E đối xứng với D qua AH, lại có A đối xứng với A qua AH theo quy ước. Vậy ΔADC đối xứng với ΔABE  qua AH.

Ví dụ 2. Cho ΔABC nhọn, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với H qua AB, điểm E đối xứng với H qua AC. Chứng minh rằng: 

a) Đoạn thẳng AD đối xứng với AH, đoạn thẳng BD đối xứng với BH qua trục AB. Đoạn thẳng AE đối xứng với AH, đoạn thẳng CE đối xứng với CH qua trục AC. 

b) ΔADB đối xứng với ΔΑΗΒ qua trục AB, ΔΑEC đối xứng νớι ΔAHC qua trục AC. 

Giải

a) Từ giả thiết điểm D đối xứng với H qua đường thẳng AB, điểm E đối xứng với H qua AC mà A, B đối xứng với chính nó qua AB nên AD đối xứng với AH qua AB, BD đối xứng với BH qua AB. 

Lại có A, C đối xứng với chính nó qua AC nên AE đối xứng với AH qua AC, CE đối xứng với CH qua AC.

b) Từ câu a), suy ra  ΔABD đối xứng với ΔABH qua trục AB và ΔAEC đối xứng với ΔAHC qua trục AC.

Ví dụ 3. Cho ΔABC cân tại A, đường cao AH. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho BD = CE. Chứng minh rằng điểm D đối xứng với điểm E qua AH.

Giải

Từ giả thiết và định nghĩa ΔABC cân tại A, ta có AB = AC (1); BD = CE (2). 

Trừ theo vế đẳng thức (1) cho đẳng thức (2), ta được AD = AE nên ΔADE cân tại A. 

Vì ΔABC cân tại A, AH là đường cao nên AH là tia phân giác của góc A. 

Do ΔADE cân tại A, AH là tia phân giác của góc A nên AH là đường trung trực của DE. Vậy D đối xứng với E qua AH.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho hình vẽ. Hãy chọn câu đúng.

A. Điểm đối xứng với A qua đường thẳng d là A.                                 

B. Điểm đối xứng với K qua đường thẳng d là K.

C. Điểm đối xứng với A qua đường thẳng d là K.

D. Điểm đối xứng với Q qua đường thẳng d là Q.

Lời giải:

Từ hình vẽ ta có đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AK nên điểm đối xứng với A qua đường thẳng d là K.

Đáp án: C.

Câu 2. Cho hình vẽ. Hãy chọn câu sai.

A. Điểm đối xứng với P qua đường thẳng QG là P’.

B. Điểm đối xứng với B qua đường thẳng QG là B’.

C. Điểm đối xứng với D qua đường thẳng QG là G.

D. Điểm đối xứng với G qua đường thẳng QG là G.                    

Lời giải:

Từ hình vẽ ta có đường thẳng QG là đường trung trực của đoạn thẳng DD’, BB’, PP’ nên Điểm đối xứng với P qua đường thẳng QG là P’ nên A đúng.

Điểm đối xứng với B qua đường thẳng QG là B’ nên B đúng. 

Điểm đối xứng với D qua đường thẳng QG là D’ nên C sai.

Vì G∈QG nên điểm đối xứng với G qua QG là G nên D đúng.

Đáp án: C.

Câu 3. Hãy chọn câu sai.

A. Hai đoạn thẳng EB và E’B’ đối xứng nhau qua m.

B. Hai đoạn thẳng DB và D’B’ đối xứng nhau qua m.

C. Hai tam giác DEB và D’E’B’ đối xứng nhau qua m.

D. Hai đoạn thẳng DE và D’B’ đối xứng nhau qua m.

Lời giải:

Từ hình vẽ ta có E và E’ đối xứng nhau qua đường thẳng m, B và B’ đối xứng nhau qua đường thẳng m; D và D’ đối xứng nhau qua đường thẳng m. 

Suy ra hai đoạn thẳng EB và E’B’ đối xứng nhau qua m. 

Hai đoạn thẳng DB và D’B’ đối xứng nhau qua m. 

Hai tam giác DEB và D’E’B’ đối xứng nhau qua m. 

Hai đoạn thẳng DE và D’E’ đối xứng nhau qua m nên D sai.

Đáp án: D.

Câu 4. Cho hình vẽ, với AD = AE, AG là trung trực của DE. Có bao nhiêu cặp đoạn thẳng đối xứng nhau qua trục AG (các đoạn thẳng thuộc đường thẳng AD, AE)? Chọn câu đúng.

A. 1.

B. 2. 

C. 3. 

D. 4.

Lời giải:

Từ giả thiết ta thấy ΔADE cân tại A có AG là đường cao nên AG cũng là đường trung trực của DE.

Nên điểm D và E đối xứng với nhau qua AG.

Lại có BC//DE (cùng vuông với AG) nên suy ra  

Mà AD = AE(gt) ⇒ AB = AC. Do đó   cân tại A có AF là đường cao nên AF cũng là đường trung trực của BC. Từ đó điểm B, C đối xứng nhau qua AG.

Như vậy:

Hai đoạn thẳng BD, CE đối xứng nhau qua AG. 

Hai đoạn thẳng AB, AC đối xứng nhau qua AG. 

Hai đoạn thẳng AD, AE đối xứng nhau qua AG.

Đáp án: C.

Câu 5. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. M và N là hai điểm lưu động lần lượt trên cạnh AB và AD sao cho . Vẽ tia Cx vuông góc với CN, Cx cắt đường thẳng AB tại E. Chọn kết luận đúng nhất.

A. E là điểm đối xứng của N qua CM.

B. Tam giác CEN là tam giác cân tại C.

C. Cả A, B đều đúng.

D. Cả A, B đều sai.

Lời giải:

Ta có (gt) mà nên hay  .

Mà   (vì ) nên  .

Xét tam giác CDN và tam giác CBE có: 

BC = DC (do ABCD là hình vuông); 

Suy ra  . Suy ra CN = CE.

Xét tam giác CEN có CN = CE (cmt) nên tam giác CEN là tam giác cân tại C. 

Suy ra phân giác CM đồng thời là đường trung trực của NE.

Vậy E là điểm đối xứng của N qua CM.

Đáp án: C.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ đường cao AH. Lấy các điểm E, F theo thứ tự trên AB, AC sao cho AE = AF. Chứng minh hai điếm E, F đối xứng với nhau qua AH.

Bài 2. Cho tứ giác ABCD. Các điểm E, F, G, H là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Gọi M là một điểm bất kì. Điểm N đối xứng với M qua E, điểm P đối xứng với N qua H, điểm Q đối xứng với P qua G. Chứng minh rằng M là điểm đối xứng với Q qua điểm F.

Bài 3. Cho tam giác ABC, D ∈ BC. Lấy điểm E trên AC, F trên AB sao cho DE // AB, DF // AC. I là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh E đối xứng với F qua I.

Bài 4. Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm M và N thuộc AD và CB sao cho AM = CN. Chứng minh rằng hai điểm M, N đối xứng với nhau qua giao điểm của các đường chéo AC, BD.

Bài 5. Cho tam giác ABC, đường phân giác AD và điểm E nằm trong tam giác. Các điểm F, G, H đối xứng với E lần lượt qua AB, AC và AD. Chứng minh rằng F và G đối xứng qua AH.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc hay khác:

• Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau chi tiết
• Tìm vị trí của một điểm để tổng hai đoạn thẳng ngắn nhất
• Chứng minh hai góc bằng nhau, tính số đo góc trong hình bình hành
• Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau trong hình bình hành
• Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui trong hình bình hành

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---