Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau chi tiết

Với Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau chi tiết môn Toán lớp 8 phần Hình học sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 1: Tứ giác để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.

Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau chi tiết

A. Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa, tính chất của phép đối xứng trục.

1. Định nghĩa: 

a) Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó. 

Quy ước: Nếu B∈d thì ta nói B đối xứng với B qua d. 

b) Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua đường thẳng d và ngược lại. Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hai hình đó.

2. Các tính chất thừa nhận 

Tính chất 1: Nếu các điểm A và A' , B và B' , C và C' đối xứng với nhau qua đường thẳng d trong đó C nằm giữa A và B thì  C' nằm giữa A' và B'.

Tính chất 2: Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng nhau qua một trục thì chúng bằng nhau.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho ΔABC có  , điểm M thuộc cạnh BC. Vẽ điểm D đối xứng với M qua AB, vẽ điểm E đối xứng với M qua AC.

a) Chứng minh rằng AD = AE. 

b) Tính số đo góc DAE.

Giải

a) Vì D đối xứng với M qua AB, E đối xứng với M qua AC theo giả thiết và A đối xứng với A qua AB, AC nên AD đối xứng với AM qua AB, AE đối xứng với AM qua AC. 

Áp dụng tính chất của phép đối xứng trục, ta được: 

 

b) Theo câu a) ta có đối xứng với qua AB, đối xứng với  qua AC. Áp dụng tính chất của phép đối xứng trục, ta có:

Ví dụ 2. Cho ΔABC có  , trực tâm H. Gọi M là điểm đối xứng với H qua BC.

a) Chứng minh ΔBHC=ΔBMC .

b) Tính  .

Giải

a) Vì M đối xứng với H qua BC, B đối xứng với B qua BC, C đối xứng với C qua BC suy ra ΔBHC đối xứng với ΔBMC qua BC. Áp dụng tính chất của phép đối xứng trục, ta được ΔBMC=ΔBHC .

b) Gọi giao điểm của BH với AC là D, giao điểm của CH với AB là E thì BD, CE là hai đường cao của tam giác ABC suy ra  .

Áp dụng tính chất về tổng các góc trong tứ giác vào tứ giác ADHE, ta được:  

Ví dụ 3. Cho hai điểm A, B nằm cùng phía đối với đường thẳng d. Vẽ hai điểm C đối xứng với A qua d, D đối xứng với B qua d. Chứng minh rằng ABDC là hình thang cân. 

Giải

Vẽ  .Lại vẽ hai điểm C, D sao cho H là trung điểm của AC. K là trung điểm của BD ta được C đối xứng với A qua đường thẳng d, D đối xứng với B qua đường thẳng d.

Suy ra AC//BD (1) và AD đối xứng với CB qua trục d. Do đó theo tính chất của hai hình đối xứng qua trục ta có AD = CB         (2) 

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABDC có hai cạnh đối song song và hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình thang cân.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1. Hãy chọn câu sai:

A. Nếu hai góc đối xứng với nhau qua một đường thẳng thì chúng bằng nhau.

B. Nếu hai tam giác đối xứng với nhau qua một đường thẳng thì chúng bằng nhau.

C. Nếu hai tam giác đối xứng với nhau qua một đường thẳng thì chu vi của chúng bằng nhau.

D. Nếu hai tia đối xứng với nhau qua một đường thẳng thì chúng bằng nhau.

Lời giải:

Vì hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua một đường thẳng thì chúng bằng nhau, mà chu vi hai tam giác bằng nhau thì bằng nhau nên D sai.

Đáp án: D.

Câu 2. Cho đoạn thẳng AB có độ dài 3cm và đường thẳng d. Đoạn thẳng A’B’ đối xứng với AB qua d. Độ dài đoạn thẳng A’B’ là:

A. 3cm.

B. 6cm. 

C. 9cm. 

D. 12cm.

Lời giải:

Vì đoạn thẳng A’B’ đối xứng với AB qua d nên A’B’ = AB = 3 cm.

Đáp án: A.

Câu 3. Cho đoạn thẳng AB có độ dài 6cm và đường thẳng d. Đoạn thẳng A’B’ đối xứng với AB qua d. Độ dài đoạn thẳng A’B’ là:

A. 3cm. 

B. 6cm.

C. 9cm.

D. 12cm.

Lời giải:

Vì đoạn thẳng A’B’ đối xứng với AB qua d nên A’B’ = AB = 6 cm.

Đáp án: B.

Câu 4. Cho tam giác ABC và tam giác A’B’C’ đối xứng nhau qua đường thẳng d biết AB = 4cm, BC = 7cm và chu vi của tam giác ABC bằng 17cm. Khi đó độ dài cạnh C’A’ của tam giác A’B’C’ là:

A. 17cm. 

B. 6cm.

C. 7cm. 

D. 4cm.

Lời giải:

Xét tam giác ABC có chu vi:

Vì tam giác ABC và tam giác A’B’C’ đối xứng nhau qua đường thẳng d nên 

AC = A’C’ = 6 cm

Đáp án: B.

Câu 5. Cho tam giác ABC và tam giác A’B’C’ đối xứng nhau qua đường thẳng d biết AB = 8cm, BC = 11cm và chu vi của tam giác ABC bằng 30 cm. Khi đó độ dài cạnh A’C’ của tam giác A’B’C’ là:

A. 16 cm.

B. 15 cm.

C. 8 cm.

D. 11 cm.

Lời giải:

Xét tam giác ABC có chu vi:

Vì tam giác ABC và tam giác A’B’C’ đối xứng nhau qua đường thẳng d nên 

AC = A’C’ = 11 cm.

Đáp án: D.

Câu 6. Cho hình thang vuông ABCD có . Gọi E là điểm đối xứng của điểm C qua trục AD và I là giao điểm của AD, BE. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lời giải:

Vì E đối xứng với C qua AD và I, D đối xứng với chính nó qua AD nên đối xứng với  qua AD. Áp dụng tính chất của phép đối xứng trục và tính chất của hai góc đối đỉnh ở I, ta được:

Đáp án: A.

Câu 7. Cho tam giác ABC, trong đó AB = 11cm, AC = 15 cm. Vẽ hình đối xứng với tam giác ABC qua trục là cạnh BC. Chu vi của tứ giác tạo thành là:

A. 52 cm.

B. 54 cm.

C. 26 cm.

D. 51 cm.

Lời giải:

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua BC. Khi đó tam giác A’BC đối xứng với tam giác ABC qua BC. 

Tứ giác tạo thành là ABA’C. 

Ta có A’B = AB = 11 cm (vì A’B và AB đối xứng nhau qua BC). 

A’C = AC = 15 cm (vì A’C và AC đối xứng nhau qua BC). 

Chu vi tứ giác ABA’C là P = AB + AC + A’B + A’C = 11 + 15 + 11 + 15 = 52 cm.

Đáp án: A.

Câu 8. Cho tam giác ABC, trong đó AB = 8cm, AC = 10 cm. Vẽ hình đối xứng với tam giác ABC qua trục là cạnh BC. Chu vi của tứ giác tạo thành là:

A. 38 cm.

B. 54 cm.

C. 36 cm.

D. 18 cm.

Lời giải:

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua BC. Khi đó tam giác A’BC đối xứng với tam giác ABC qua BC. 

Tứ giác tạo thành là ABA’C. 

Ta có A’B = AB = 8 cm (vì A’B và AB đối xứng nhau qua BC). 

A’C = AC = 10 cm (vì A’C và AC đối xứng nhau qua BC). 

Chu vi tứ giác ABA’C là P = AB + AC + A’B + A’C = 8 + 10 + 8 + 10 = 36 cm.

Đáp án: C.

Câu 9. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. M và N là hai điểm lưu động lần lượt trên cạnh AB và AD sao cho  . Vẽ tia Cx vuông góc với CN, Cx cắt đường thẳng AB tại E. Tính chu vi của tam giác AMN theo a.

A. 4a.

B. 3a.

C. a.

D. 2a.

Lời giải:

Ta có (gt) mà nên hay  .

Mà (vì ) nên  .

Xét tam giác CDN và tam giác CBE có:

BC = DC (do ABCD là hình vuông); 

 

Suy ra ΔCDN= ΔCBE (g.c.g). Suy ra CN = CE.

Xét tam giác CEN có CN = CE (cmt) nên tam giác CEN là tam giác cân tại C.

Suy ra phân giác CM đồng thời là đường trung trực của NE.

Vậy E là điểm đối xứng của N qua CM.

Ta có: ΔCMN=ΔCME  (do tính đối xứng qua CM). 

Nên MN = ME. 

Suy ra chu vi tam giác AMN là: 

AM + AN + MN = AM + AN + ME = AM + AN + MB + BE

= AM + AN + MB + ND (vì ΔCDN= ΔCBE  (cmt) nên BE = ND) 

= (AM + MB) + (AN + ND) = AB + AD = 2a. 

Vậy chu vi tam giác AMN bằng 2a.

Đáp án: D.

Câu 10. Cho tam giác ABC có  , d là trung trực của cạnh AB. Trên cạnh AC, lấy điểm M sao cho AM = BC và gọi M’ là điểm đối xứng của M qua d. Tính góc BMC.

Lời giải:

Do tính chất đối xứng qua d, ta có AM = BM’. 

Mà AM = BC (gt) nên BM' = BC. 

Ta lại có:  (do M, A đối xứng với M’, B qua d).

Suy ra  .

Xét tam giác M’BC có BM' = BC,  do đó tam giác M’BC là tam giác đều.

Ta cũng có: .

Suy ra  .

Mà  (MM' // AB, góc đồng vị).

Nên  

Suy ra M’C = M’M = M’B. 

Ta lại có: (tam giác M’MB cân tại đỉnh M’);   (MM' // AB, so le trong).

Đáp án: B.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc hay khác:

• Tìm hình có trục đối xứng – Tìm trục đối xứng của một hình
• Chứng minh hai điểm đối xứng qua một đường thẳng (hay, chi tiết)
• Tìm vị trí của một điểm để tổng hai đoạn thẳng ngắn nhất
• Chứng minh hai góc bằng nhau, tính số đo góc trong hình bình hành
• Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau trong hình bình hành

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---