Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn.

Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn lớp 9 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

a) Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của một đường tròn

• Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn.

Chú ý: Ta có tính chất của tiếp tuyến như sau:

• Tiếp tuyến của một đường tròn vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.

• Khoảng cách từ tâm của đường tròn đến tiếp tuyến luôn bằng bán kính của đường tròn đó.

b) Hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

• Điểm đó cách đều hai tiếp tuyến.

• Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

• Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

• Cách chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn

Để chứng minh đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại tiếp điểm B, ta có thể làm theo một trong các cách sau:

Cách 1. Chứng minh B nằm trên (O) và OB cuông góc với a tại B.

Cách 2. Kẻ OH vuông góc với a tại H. Chứng minh OH = OB = R.

Cách 3. Vẽ tiếp tuyến d của (O) và chứng minh a trùng với d.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho (O; R) đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho $\widehat{CAB}=30°$, trên tia đối của tia BA lấy điểm M sao cho BM = R. Chứng minh rằng: MC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\widehat{ACB}=90°$ suy ra .

suy ra tam giác BOC đều do đó BC = OB – BM = R.

Vậy tam giác OCM vuông tại C (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Suy ra OM ⊥ OC

Suy ra MC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Ví dụ 2. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) vẽ tiếp tuyến AB (B là tiếp điểm), C là điểm trên đường tròn (O) sao cho AC = AB.

a) Chứng minh rằng AC là tiếp điểm của đường tròn (O).

b) D là điểm trên AC. Đường thẳng qua C vuông góc với OD tại M cắt đường tròn (O) tại E (E ≠ C). Chứng minh rằng DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác OAC và tam giác OAB, có:

OC = OB = R

OA: chung;

AC = AB (gt)

Suy ra ∆OAC = ∆OAB (c.c.c)

Suy ra $\widehat{ACO}=\widehat{OBA}=90°$

Suy ra AC là tiếp tuyến của (O).

b) OD ⊥ EC (gt) và ∆COE cân tại O suy ra M là trung điểm của EC.

OD là đường trung trực của đoạn thẳng EC.

Suy ra DE = DC, do đó $\widehat{OED}=\widehat{OCD}=90°$ ( tính chất đối xứng trục)

Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho đường tròn (O) và đường thẳng a. Kẻ OH vuông góc với đường thẳng a tại H, biết OH = R khi đó đường thẳng a và đường tròn (O)

A. Cắt nhau.

B. Tiếp xúc.

C. Không cắt nhau.

D. Không xác định được.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Theo đề OH ⊥ a tại H và OH = R nên OH tiếp xúc với (O).

Bài 2. Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và …. Thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn. Điền vào chỗ chấm.

A. song song với bán kính đi qua điểm đó.

B. đường thẳng cắt đường tròn.

C. đường thẳng không cắt đường tròn.

D. đường thẳng vuông góc với đường tròn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Bài 3. Cho tam giác ABC có AC = 3 cm, AB = 4 cm, BC = 5 cm. Vẽ đường tròn (C, AC). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. BC là tiếp tuyến của (C; CA).

B. AB là tiếp tuyến của (C; CA).

C. AB là cát tuyến của đường tròn (C; CA).

D. Đường thẳng BC cắt đường tròn (C; CA) tại một điểm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Áp dụng định lí Pythagore đảo, ta có:

AC² + AB² = 3² + 4² = 25 = 5² = BC².

Suy ra tam giác ABC vuông tại A hay CA ⊥ AB.

Do đó AB là tiếp tuyến của đường tròn (C; CA).

Bài 4. Cho (O; 4 cm). Đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (O; 4 cm), khi đó:

A. Khoảng cách từ O đến đường thẳng d bằng 4 cm.

B. Khoảng cách từ O đến đường thẳng d nhỏ hơn 4 cm.

C. Khoảng cách từ O đến đường thẳng d lớn hơn 4 cm.

D. Khoảng cách từ O đến đường thẳng d bằng 5 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (O; 4 cm), khi đó khoảng cách từ O đến đường thẳng d bằng 4 cm.

Bài 5. Cho đường tròn (O; R). Cát tuyến qua A ở ngoài (O) cắt (O) tại B và C. Cho biết AB = BC và kẻ đường kính COD. Tính độ dài đoạn thẳng AD.

A. AD = R.

B. AD = 3R.

C. AD = $\frac{R}{2}$.

D. AD = 2R.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét (O) có OB = OC = OD nên BO = $\frac{DC}{2}$ hay ∆BDC vuông tại B

suy ra BD ⊥ AC.

∆ABD = ∆CBD nên DA = DC = 2R.

Bài 6. Cho đường tròn (O; 5 cm). Cát tuyến qua A ở ngoài (O) cắt (O) tại B và C. Cho biết AB = BC và kẻ đường kính $\widehat{COD}$. Tính độ dài đoạn thẳng AD.

A. AD = 2,5 cm.

B. AD = 10 cm.

C. AD = 5 cm.

D. AD = 15 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét (O) có OB = OC = OD nên BO = $\frac{DC}{2}$ hay ∆BDC vuông tại B

suy ra BD ⊥ AC.

∆ABD = ∆CBD nên DA = DC = 2R = 10 cm.

Bài 7. Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau một khoảng là h. Một đường tròn (O) tiếp xúc với a và b. Hỏi tâm O di động trên đường nào?

A. Đường thẳng c song song và cách đều a, b một khoảng $\frac{h}{2}$.

B. Đường thẳng c song song và cách đều a, b một khoảng $\frac{2h}{3}$.

C. Đường thẳng c đi qua O vuông góc với a, b.

D. Đường thẳng (A; AB) lần lượt là tiếp điểm của a, b với (O).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Kẻ đường thẳng OA ⊥ a tại A cắt b tại B thì OB ⊥ b tại B vì a ∕∕ b.

Vì (O) tiếp xúc với cả a, b nên OA = OB.

Lại có AB = h suy ra OA = OB = $\frac{h}{2}$.

Nên O chạy trên đường thẳng c song song và cách đều a, b một khoảng $\frac{h}{2}$.

Bài 8. Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường tròn AH và BK cắt nhau ở I, vẽ đường tròn tâm O đường kính AI. Khi đó, ta có:

A. BK là tiếp tuyến của (O).

B. BC là tiếp tuyến của (O).

C. AC là tiếp tuyến (O).

D. HK là tiếp tuyến (O).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Do tam giác ABC cân tại A (giả thiết) nên đường cao AH đồng thời là trung tuyến.

Suy ra BH = HC.

Do BK là đường cao của tam giác ABC.

Suy ra BK ⊥ AC.

Tam giác BKC vuông tại K có H là trung điểm của BC

nên KH = BH = HC = $\frac{1}{2}$BC.

Suy ra tam giác BKH cân tại H nên $\widehat{KBH}=\widehat{HKB}$ (1)

Có K ∈ (O) đường kính AI nên KO = OI = R.

Suy ra tam giác KOI cân tại O nên $\widehat{OKI}=\widehat{OIK}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{OKB}+\widehat{HKB}=\widehat{OIK}+\widehat{IBH}=\widehat{HIB}+\widehat{IBH}$ = 90°.

Suy ra HK ⊥ OK tại K.

Do đó HK là tiếp tuyến của (O).

Bài 9. Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Vẽ các tia tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Lấy điểm M di động Ax, điểm N di động trên tia Oy sao cho AM.BN = R². Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. MN là tiếp tuyến của đường tròn (O).

B. $\widehat{MON}=90°$.

C. Cả A, B đều đúng.

D. Cả A, B đều sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vẽ OH ⊥ MN, H ∈ MN.

Vì AM.BN = R² = OA.OB nên $\frac{AM}{BO}=\frac{AO}{BN}$.

Xét ∆AOM và ∆BNO có: $\widehat{MAO}=\widehat{NBO}=90°$; $\frac{AM}{BO}=\frac{AO}{BN}$.

Do đó ∆AOM ∽ ∆BNO (c.g.c)

Suy ra $\widehat{M_1}=\widehat{O_2};\widehat{O_2}=\widehat{N_2}$. Do đó $\widehat{MON}=90°$.

Ta có: $\frac{AM}{BO}=\frac{OM}{ON}$ suy ra $\frac{AM}{OM}=\frac{OA}{ON}$ và $\widehat{MAO}=\widehat{MON}=90°$.

Nên ∆AOM ∽ ∆ONM (c.g.c) suy ra $\widehat{M_1}=\widehat{M_2}$.

∆AOM = ∆HOM (ch-gn) suy ra AO = OH hay OH = R do đó MN là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Bài 10. Cho góc xOy (0° < $\widehat{xOy}$ < 180°). Đường tròn (I) là đường tròn tiếp xúc với cả hai cạnh Ox, Oy. Khi đó điểm I chạy trên đường nào?

A. Đường thẳng vuông góc với Ox tại O.

B. Tia phân giác của góc xOy.

C. Tia Oz nằm giữa Ox và Oy.

D. Tia phân giác của góc xOy trừ điểm O.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Kẻ IA ⊥ Oy, IB ⊥ Ox tại A, B.

Vì (I) tiếp xúc với cả Ox, Oy nên IA = IB suy ra I thuộc tia phân giác của góc xOy (I ≠ O) (tính chất tia phân giác của một góc)

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Bài toán thực tế về độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên
• Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
• Tính độ dài đoạn thẳng, góc liên quan đến tiếp tuyến của đường tròn
• Tính độ dài, diện tích, góc liên quan đến tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
• Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn
• Các bài toán về hai đường tròn tiếp xúc nhau, cắt nhau và không cắt nhau

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---