Cách giải Bài tập về phương trình sóng dừng (hay, chi tiết)

Bài viết Cách giải Bài tập về phương trình sóng dừng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách giải Bài tập về phương trình sóng dừng.

Cách giải Bài tập về phương trình sóng dừng (hay, chi tiết)

A. Phương pháp giải

1. Các biểu thức sóng dừng và biên độ sóng tại các điểm

a) Nếu chọn gốc tọa độ O trùng với nút sóng, gốc thời gian là lúc các phần tử sóng tại bó gần O nhất đang đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương.

+ Phương trình dao động tổng hợp tại M là:

u_M = 2a sin (2πx_n/ λ)cos (ωt - π/2)

Biên độ dao động tổng hợp tại M là: AM = 2a|sin (2πx_n/λ )|

(Với x_n là khoảng cách từ điểm M cần xét đến nút chọn làm gốc).

Lưu ý: Công thức tính biên độ trên cũng đúng cho trường hợp x_n là khoảng cách từ M tới nút bất kỳ.

+ Vận tốc dao động của phần tử tại M là: v_M = u’_{M (t)} = 2aω sin (2πx_n/λ)cos(ωt)

+ Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm M trên dây: k = tanα = u_x = 2a.2π /λ . cos (2πx_n/λ) cos (ωt - π/2)

b) Nếu chọn gốc tọa độ O trùng với bụng sóng, gốc thời gian là lúc phần tử bụng sóng tại O đang đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương.

+ Phương trình dao động tổng hợp tại M là:

u_M = 2a cos (2πx_b/ λ)cos (ωt - π/2)

+ Biên độ dao động tổng hợp tại M là: A_M = 2a|cos (2πx_b/λ )|

(Với x_b là khoảng cách từ điểm M cần xét đến bụng chọn làm gốc).

Lưu ý: Công thức tính biên độ trên cũng đúng cho trường hợp xb là khoảng cách từ M tới nút bất kỳ.

+ Vận tốc dao động của phần tử tại M là: v_M = u’_{M (t)} = 2aω cos (2πx_b/λ)cos(ωt)

+ Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm M trên dây: k = tanα = u'_x = -2a.2π /λ . sin (2πx_b/λ) cos (ωt - π/2)

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một sóng dừng trên một sợi dây được mô tả bởi phương trình: u = 4 cos (πx/4 + π/2) cos (20πt - π/2)cm. Trong đó x đo bằng cm và t đo bằng giây. Tốc độ truyền sóng dọc theo dây là:

A. 80 cm/s.    B. 40 cm/s.    C. 60 cm/s.    D. 20 cm/s.

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Từ phương trình sóng u = 4 cos (πx/4 + π/2) cos (20πt - π/2)

→ 2πx/ λ = πx/4 => λ = 8cm

Tần số sóng: f = 10Hz.

Tốc độ truyền sóng dọc theo dây là: v = λ.f = 80cm/s

Ví dụ 2: Một sóng dừng trên một sợi dây có dạng u = 2sin(πx/4)cos(20πt + π/2) (cm), trong đó u là li độ tại thời điểm t của một phần tử M trên dây mà vị trí cân bằng của nó cách gốc tọa độ O một khoảng x (x đo bằng cm, t đo bằng giây). Vận tốc dao động và hệ số góc của tiếp tuyến của phần tử trên dây có tọa độ 1cm tại thời điểm t = 1/80s lần lượt là:

A. -6 cm/s và π/4.    B. -5 cm/s và -π/4.

C. -20π cm/s và -π/4.    D. -30π cm/s và π/4.

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Vận tốc dao động và hệ số góc của tiếp tuyến của phần tử trên dây được xác định bằng biểu thức sau:

+ v_dđ = u’_(t) = -40πsin(πx/4)cos(20πt + π/2)

+ k = tanα = u'_x = 2π/4.cosπx/4 cos (20πt + π/2)

Thay x = 1cm, t = 1/80s vào ta được: v_dđ = -20π cm/s; tanα = -π/4

Ví dụ 3: Sóng dừng trên dây OP = 120cm, 2 đầu cố định. Ta thấy trên dây có 4 bó và biên độ dao động của bụng là 2cm. Tính biên độ dao động tại điểm M cách O là 65 cm.

A. 0,5 cm    B. 1 cm.    C. 0,75 cm.    D. 0,9cm

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Dây OP có 2 đầu cố định, trên dây có 4 bó nên OP = 4λ/2 → λ = 60cm.

Biên độ dao động tại điểm M: A_M = 2a|sin(2πx_n/λ) = 2|sin(2π.65/60)| = 1cm

Ví dụ 4: Một sóng dừng trên sợi dây đàn hồi với bước sóng λ. N là điểm không dao động trên dây, hai điểm P và Q ở hai bên N và có vị trí cân bằng cách N những khoảng PN = λ/6; QN = λ/12. Tỉ số li độ của P và Q tại thời điểm P, Q không đi qua vị trí cân bằng là:

A. 1.    B. √2    C. -√3    D. 2√2

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

N không dao động nên N là nút, ta chọn N làm gốc, khi đó: xP = λ/6, xQ = - λ/12 (P và Q nằm ở hai bó liền kề).

Tỉ số li độ của P và Q tại thời điểm P, Q không đi qua vị trí cân bằng là:

Ví dụ 5: Một sóng dừng trên sợi dây đàn hồi với bước sóng λ = 60cm. Ba điểm theo thứ tự M, N, P trên dây (MN = 3NP = 30cm) trong đó N là điểm bụng. Khi vận tốc dao động tại P là √3 cm/s thì vận tốc dao động tại M là:

A. 3√3 cm/s    B. 2√2 cm/s    C. -2√3 cm/s    D. -2√2 cm/s.

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Chọn bụng N làm gốc, ta có: x_M = -30cm; x_P = 10cm (M và P nằm ở hai bó liền kề)

=> v_M = -2v_P = -2√3 cm/s

d) Các điểm (không phải bụng, nút) liên tiếp có cùng biên độ.

* Hai điểm (không phải bụng, nút) liên tiếp có cùng biên độ.

Hai điểm này có cùng biên độ A₁ thì hoặc hai điểm này nằm hai bên nút hoặc nằm hai bên bụng.

Nếu chúng nằm hai bên nút thì chúng sẽ nằm trên hai bó liền kề (dao động ngược pha) và những điểm nằm giữa chúng sẽ có biên độ nhỏ hơn A₁.

Ta có: A₁ = 2a|sin2πx_n/λ| = 2a sin πΔd/λ (∆d là khoảng cách của hai điểm đang xét)

Ví dụ 6: Một sợi dây đàn hồi có sóng dừng, biên độ tại bụng sóng là 2A (cm). M là một điểm nằm trên dây có phương trình u_M = A.cos(10πt + π/3) cm, điểm N có phương trình u_N = A.cos(10πt - 2π/3) cm, tốc độ truyền sóng trên dây là 1,2 m/s. Khoảng cách MN nhỏ nhất là:

A. 0,02 m.    B. 0,05 m.    C. 0,04 m.    D. 0,07m

Hướng dẫn giải:

Bước sóng: λ = v/f = 1,2/5 = 0,24m = 24cm.

Từ phương trình dao động của hai điểm m và n ta thấy chúng dao động cùng biên độ nhưng ngược pha nhau.

Hai điểm M, N gần nhau nhất thỏa mãn trạng thái dao động trên khi chúng nằm đối xúng nhau qua nút.

Ta có A_M = A_N = A = 2A|sin 2πx_n/λ| = 2a sin πΔd/λ =>Δd = λ/6 = 0,04m

* Ba điểm (không phải bụng, nút) liên tiếp có cùng biên độ.

Giả sử 3 điểm liên tiếp có cùng biên độ thì trong đó phải có hai điểm (ví dụ M, N) cùng nằm trên cùng một bó (dao động cùng pha) và một điểm còn lại nằm trên bó liền kề (dao động ngược pha với hai điểm M, N). Do vậy ta có: λ = 2(MN + NP).

Ví dụ 7: (Quốc gia – 2017) Một sợi dây căng ngang với hai đầu cố định, đang có sóng dừng. Biết khoảng cách xa nhất giữa hai phần tử dây dao động với cùng biên độ 5 mm là 80 cm, còn khoảng cách xa nhất giữa hai phần tử dây dao động cùng pha với cùng biên độ 5 mm là 65 cm. Tỉ số giữa tốc độ cực đại của một phần tử dây tại bụng sóng và tốc độ truyền sóng trên dây là

A. 0,21.    B. 0,41.    C. 0,14.    D. 0,12.

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta để ý đến giả thuyết của bài toán, hai điểm dao động cùng biên độ 5 mm nhưng cùng pha nhau hai điểm này đối xứng qua một bụng.

Hai điểm khác cũng dao động với biên độ đúng bằng 5 mm nhưng lại cách xa nhau nhất mà không cùng pha vậy hai điểm này phải ngược pha nhau.

Từ hình vẽ, (1) và (2) là hai điểm dao động với cùng biên độ và cách xa nhau nhất. (3) và (4) là hai điểm dao động cùng biên độ và cùng pha, cũng cách xa nhau nhất.

Ta dễ dàng xác định được: λ/2 = 80 - 65 = 15 => λ = 30 cm

Biên độ của các điểm (3), (4) cách bụng một đoạn d: 5 = a|cos 2πd/λ|

Thay d = 65/2 cm vào ta tìm được a = 10/√3 mm

Ta có tỉ số δ = ωa/v = 2πa/λ = 0,12

* Các điểm có cùng biên độ nằm cách đều nhau.

- Các điểm bụng có cùng biên độ Amax = 2a nằm cách đều nhau những khoảng d = λ/2.

- Những điểm cách đều nhau liên tiếp (không kể bụng và nút) có cùng biên độ dao động sẽ cách nhau 1 khoảng nhỏ nhất là /4 và cùng biên độ a√2 .

Ví dụ 8: Trên sợi dây đàn hồi mang sóng dừng có 3 điểm M, N, P là 3 điểm liên tiếp nhau có cùng biên độ A₁, dao động tại N cùng pha với dao động tại M. Biết MN = 2NP = 20cm. Cứ sau khoảng thời gian ngắn nhất là 0,04s sợi dây có dạng một đoạn thẳng và biên độ tại bụng là 10cm. Tính A₁ và tốc độ truyền sóng.

A. 5√3 cm và 60 m/s.    B. 5cm và 75 cm/s.

C. 5√2 cm và 50 cm/s.    D. 4√2 cm và 65 cm/s

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Khoảng thời gian ngắn nhất sợi dây có dạng một đoạn thẳng là T/2 = 0,04s → T = 0,08s.

Ta có: λ = (MN + NP).2 = 60cm → v = λ/T = 75 cm/s.

Dao động tại N cùng pha với dao động tại M và có cùng biên độ nên 2 điểm cùng cách bụng gần nhất một đoạn d = MN/2 = 10cm.

=> A₁ = 2acos 2πd/λ = 10. cos2π10/60 = 5 cm

Ví dụ 9: Một sợi dây đàn hồi có sóng dừng. Trên dây có những điểm dao động với cùng biên độ A₁ có vị trí cân bằng liên tiếp cách đều nhau một đoạn d₁ và các điểm dao động với cùng biên độ A₂ có vị trí cân bằng liên tiếp cách đều nhau một đoạn d₂. Biết A₁ > A₂ > 0. Biểu thức nào sau đây là đúng ?

A. d₁ = 0,5d₂.    B. d₁ = 4d₂.    C. d₁ = 0,25d₂.    D. d₁ = 2d₂.

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

+ Trong hiện tượng sóng dừng trên dây, các điểm dao động cùng biên độ liên tiếp cách đều nhau chỉ có thể là các điểm bụng (biên độ A₁ = 2a) hoặc các điểm dao động với biên độ a√2 = A_b√2/2 .

Những điểm cách đều nhau liên tiếp (không kể bụng và nút) có cùng biên độ dao động sẽ cách nhau 1 khoảng nhỏ nhất là λ/4.

Do vậy d₁ = λ/2; d₂ = λ/4 → d₁ = 2d₂.

A. Phương pháp giải

2. Xác định trạng thái, khoảng thời gian dao động điều hòa của các phần tử trong sóng dừng.

a) Li độ, vận tốc và gia tốc tại các thời điểm khác nhau.

* Ta chọn gốc tọa độ trùng với nút và gốc thời gian hợp lý để xác định biểu thức sóng dừng.

Ví dụ nếu chọn gốc tọa độ O trùng với nút sóng, gốc thời gian là lúc các phần tử sóng tại bó gần O nhất đang ở biên dương (khi đó dây phồng to nhât).

Phương trình dao động tổng hợp tại M là:

u_M = 2a sin(2πx_n/λ)cos (ωt)

Suy ra phương trình li độ, vận tốc và gia tốc cho từng điểm cụ thể trên sợi dây. Từ đó ta xác định được các đại lượng mà bài toán yêu cầu.

* Ta có thể xác định trạng thái dao động của các phần tử sóng bằng phương pháp sử dụng vòng tròn lượng giác như trong dao động điều hòa với lưu ý là biên độ tại mỗi điểm đang xét phụ thuộc vào vị trí của phần tử đó trên dây.

Biên độ các điểm được xác định như phần trên.

Trong sóng dừng các điểm dao động chỉ có hai trường hợp xảy ra:

- dao động đồng pha (những điểm nằm trên cùng một bó hoặc ở các bó cùng số chẵn hoặc cùng số lẻ).

- dao động ngược pha (những điểm nằm ở một bó số chẵn ngược pha với những điểm nằm ở bó số lẻ).

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trên một dây đàn hồi đang có sóng dừng ổn định với khoảng cách giữa hai nút sóng liên tiếp là 6cm, phần tử sóng dao động với tần số 5 Hz và biên độ lớn nhất là 3cm. Gọi N là vị trí của một nút sóng; C, D là hai phần tử trên dây ở hai bên của N và có vị trí cân bằng cách N lần lượt là 10,5 cm và 7 cm. Tại thời điểm t₁, phần tử C có li độ 1,5 cm và đang hướng về vị trí biên. Vào thời điểm t₂ = t₁ + 235/120 s, phần tử D có li độ là:

A. -0,75 cm.    B. 1,50 cm.    C. -1,50 cm.    D. 0,75 cm

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Giải theo phương trình sóng dừng.

Bước sóng: λ = 6.2 = 12 cm.

Ta chọn gốc tọa độ O trùng với nút N, gốc thời gian là lúc các phần tử sóng tại bó bên phải gần O nhất đang ở biên dương (khi đó dây phồng to nhât).

Biểu thức sóng dừng: u = 2a sin(2πx_n/λ)cos (ωt) (cm)

Giả sử C bên trái N, D bên phải N, suy ra x_C = -10,5cm; x_D = 7cm.

Ta có:

Tại thời điểm t₁, u_C = 1,5 cm và đang hướng ra biên (v_C > 0).

Suy ra 10 πt₁ = -π/4 + 2kπ (k ∈ Z)

Tại thời điểm t₂ = t₁ + 235/120 s, phần tử D có li độ là:

u_D = -1,5cos.10π(t₁ + 235/120) = -1,5 cos.(10πt₁ + 235π/12) (cm) = 0,75 cm

Ví dụ 2: Sóng dừng trên một sợi dây đàn hồi OB mô tả như hình dưới. Điểm O trùng với gốc tọa độ trục tung. Lúc t = 0 hình ảnh của sợi dây là (1), sau thời gian nhỏ nhất ∆t và 3∆t kể từ lúc t = 0 thì hình ảnh của sợi dây lần lượt là (2) và (3). Tốc độ truyền sóng là 20 m/s và biên độ của bụng sóng là 4 cm. Sau thời gian 1/30 s kể từ lúc t = 0, tốc độ dao động của điểm M là:

A. 10,9 m/s    B. 6,3 m/s    C. 4,4 m/s    D. 7,7 m/s

Hướng dẫn giải:

Ta có: 2λ = 80cm → λ = 40cm

Xét 1 phần tử bụng B gần M nhất trên sợi dây, từ đồ thị ta thấy:

Tại thời điểm t = O, B ở biên dương u_B1 = 4cm. Sau thời gian ngắn nhất t₂ = ∆t, B có li độ u_B2 = u₀. Tại thời điểm t₃ = 3∆t, B có li độ u_B3 = - u₀.

Sử dụng vòng tròn lượng giác ta có: β = ω.(t3 – t2) = ω.2∆t; α = ω.∆t → β = 2α

Mà β = 2(π/2 – α) = π - 2α → β = π/2; α = π/4

Suy ra

Chu kỳ sóng: T = λ/vs = 0,4/20 = 0,02s.

M dao động đồng pha với B nên tại thời điểm t = 0, B ở biên dương thì M cũng ở biên dương, do đó A_M = 2√2 cm.

Khoảng thời gian t = 1/30s = T + 2T/3 thì M có li độ là u_M = -A_M/2 (dùng vòng tròn lượng giác).

Tốc độ của M khi đó là: |v_M| = √3/2 ω.A_M = √3/2 . 2π/T . 2√2 = 769,5 cm/s = 7,7 m/s

Ví dụ 3: Một sợi dây đang có sóng dừng ổn định. Sóng truyền trên dây có tần số 10Hz và bước sóng 6cm. Trên dây, hai phần tử M và N có vị trí cân bằng cách nhau 8cm, M thuộc một bụng sóng dao động điều hòa với biên độ 6mm. Lấy π² = 10. Tại thời điểm t, phần tử M đang chuyển động với tốc độ 6π√2 cm/s thì phần tử N chuyển động với gia tốc có độ lớn là:

A. 6√3 m/s².    B. 6√2 m/s².    C. 6 m/s².    D. 3m/s².

Hướng dẫn giải:

Chọn B

M là bụng sóng, N cách bụng M một khoảng d = 8cm, ta thấy M và N dao động ngược pha, biên độ dao động của N là:

Tại thời điểm t, phần tử M đang chuyển động với tốc độ |v_M| = 6π√2 cm/s thì có độ lớn li độ │u_M│ thỏa mãn:

M và N dao động ngược pha nên

Gia tốc của phần tử N có độ lớn là:

|a_N| = |-ω².u_N| = ω².|u_N| = 600√2 cm/s² = 6√2 m/s²

b) Khoảng thời gian li độ, vận tốc lặp lại, hình dạng sợi dây lặp lại.

* Giả sử trên sợi dây ta có 3 điểm sau: N là nút, P là bụng sóng gần N nhất, Q là điểm nằm giữa N và P, biết QN = d1.

Biên độ của điểm Q là: A_Q = 2A sin (2πd₁/λ)

Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp để độ lớn li độ của P bằng biên độ của điểm C là ∆t

ứng với góc quét ∆φ1 hoặc góc quét ∆φ2.

Từ hình vẽ ta xác định được ∆φ1 và ∆φ2:

Suy ra khoảng thời gian cần xác định là: ∆t = ∆φ1/ω hoặc ∆t = ∆φ2/ω .

* Trường hợp P và Q có cùng li độ chỉ xảy ra khi chúng đi qua VTCB, do vậy khoảng thời gian liên tiếp giữa hai lần P và Q co cùng li độ là T/2.

Ví dụ 4: (Quốc gia – 2011) Một sợi dây đàn hồi căng ngang, đang có sóng dừng ổn định. Trên dây, A là một điểm nút, B là một điểm bụng gần A nhất, C là trung điểm của AB, với AB = 10 cm. Biết khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai lần mà li độ dao động của phần tử tại B bằng biên độ dao động của phần tử tại C là 0,2 s. Tốc độ truyền sóng trên dây là

A. 2 m/s.    B. 0,5 m/s.    C. 1 m/s.    D. 0,25 m/s.

Hướng dẫn giải:

Bước sóng của sóng truyền trên dây: λ = 4.AB = 40cm.

Biên độ của phần tử tại C:

Từ hình vẽ ta cũng tính được góc quét ∆φ ứng với khoảng thời gian ngắn nhất li độ của B bằng biên độ của C là:∆φ1 = 2 arccos A_C/A_B = π/2= ∆φ2 ứng với khoảng thời gian là T/4

Suy ra T/4 = 0,2s → T = 0,8s.

Ta tính được tốc độ truyền sóng trên dây: v = λ/T = 50cm/s = 0,5m/s.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Một sóng dừng trên dây có dạng u = 2sin(bx).cos(10πt + π) (cm). Trong đó u là li độ tại thời điểm t của phần tử M trên dây, x tính bằng cm, là khoảng cách từ nút O của dây đến điểm M. Tốc độ truyền sóng trên dây là 30 cm/s. Giá trị của b là:

A. 100π/3 (rad/cm).    B. 0,1π/3 (rad/cm).    C. π/3 (rad/cm).    D. 10π/3 (rad/cm)

Lời giải:

Sử dụng công thức tính vận tốc truyền sóng: v=(Hệ số của t)/(Hệ số của x)

Ta được:

Câu 2: Một sóng dừng trên dây có dạng u = asin(bx).cos(10πt + π/2) (cm). Trong đó u là li độ tại thời điểm t của phần tử M trên dây, x tính bằng cm, là khoảng cách từ nút O của dây đến điểm M. Tốc độ truyền sóng trên dây là 20 cm/s. Tại điểm cách nút 0,5 cm có biên độ sóng 2cm. Độ lớn của a là:

A. 3√2 cm    B. 2√2 cm .    C. 2√3 cm    D. 3cm

Lời giải:

Chọn B

Ta có: vận tốc truyền sóng: v=(Hệ số của t)/(Hệ số của x)

Biên độ sóng tại điểm cách nút d = 0,5 cm: A = │asin(bx)│

Câu 3: Sóng dừng trên một sợi dây có biên độ ở bụng là 5cm. Giữa hai điểm M, N có biên độ 2,5cm cách nhau x = 20cm các điểm luôn dao động với biên độ nhỏ hơn 2,5cm. Bước sóng là.

A. 60 cm    B. 12 cm    C. 6 cm    D. 120 cm

Lời giải:

Chọn D

Do các điểm giữa M, N đều có biên độ nhỏ hơn biên độ dao động tại M, N nên chúng là hai điểm gần nhau nhất đối xứng qua một nút sóng.

Suy ra khoảng cách từ M đến nút gàn nhất là: d = MN/2 = 20/2 = 10cm.

Biên độ doa động của điểm M là: A_M = 2A.sin2πd/λ

⇔ 2,5 = 5.sin 2π10/λ

=> 2π10/λ = π/6

=> λ = 120 cm

Câu 4: Một sợi dây đàn hồi OM = 90 cm có hai đầu cố định. Khi được kích thích thì trên dây có sóng dừng với 3 bó sóng. Biên độ tại bụng sóng là 3 cm. Tại điểm N trên dây gần O nhất có biên độ dao động là 1,5 cm. ON có giá trị là :

A. 5 cm    B. 15 cm    C. 5√2 cm    D. 7,5 cm

Lời giải:

Chọn A

Dây hai đầu cố định, có sóng dừng với 3 bó sóng nên OM = 90cm = 3.λ/2

→ λ = 60cm.

Vì O là nút sóng nên biên độ của N được tính bằng công thức: A_N = 2A.sin2πON/λ

=> 1,5 = 3sin 2πON/60 => ON = 5 cm.

Câu 5: Trong thí nghiệm về sự phản xạ sóng trên vật cản cố định. Sợi dây mền AB có đầu B cố định, đầu A dao động điều hòa. Ba điểm M, N, P không phải là nút sóng, nằm trên sợi dây cách nhau MN = λ/2; MP = l. Khi điểm M đi qua vị trí cân bằng (VTCB) thì

A. điểm N có li độ cực đại, điểm P đi qua VTCB.

B. N đi qua VTCB, điểm P có li độ cực đại.

C. điểm N và điểm P đi qua VTCB.

D. điểm N có li độ cực tiểu, điểm P có li độ cực đại.

Lời giải:

Chọn C

Vì M, P không phải nút sóng và MP = λ, do đó M và P nằm cách nhau 1 bó → M dao động đồng pha với P.

MN = λ/2 < MP nên N nằm giữa M và P, đồng thời N nằm ở bó giữa nên N dao động ngược pha với M và P.

Suy ra: Khi điểm M đi qua vị trí cân bằng (VTCB) thì P đi qua VTCB và N cũng đi qua VTCB theo chiều ngược lại.

Câu 6: Một dây đàn hồi AB đầu A được rung nhờ một dụng cụ để tạo thành sóng dừng trên dây, biết phương trình dao động tại đầu A là uA = acos100t. Quan sát sóng dừng trên sợi dây ta thấy trên dây có những điểm không phải là điểm bụng dao động với biên độ b (b  0) cách đều nhau và cách nhau khoảng 1m. Giá trị của b và tốc truyền sóng trên sợi dây lần lượt là:

A. a√2 ; v = 200m/s.    B. a√3 ; v = 150m/s.

C. a; v = 300m/s.    D. a√2 ; v = 100m/s.

Lời giải:

Chọn A

Những điểm cách đều nhau liên tiếp (không kể bụng và nút) có cùng biên độ dao động sẽ cách nhau 1 khoảng nhỏ nhất là /4 và cùng biên độ .

→ λ = 4m → v = λ.f = 200m/s

Câu 7: Một sợi dây AB = 120 cm, hai đầu cố định, khi có sóng dừng ổn định xuất hiện 5 nút sóng. O là trung điểm dây, M, N là hai điểm trên dây nằm về hai phía của O, với OM = 5cm, ON = 10 cm, tại thời điểm t vận tốc của M là 60 cm/s thì vận tốc của N là

A. -60√3 cm/s    B. 60√2 cm/s    C. 30√3 cm/s    D. - 60cm/s

Lời giải:

Chọn A

Dây AB = 120 cm, hai đầu cố định, khi có sóng dừng ổn định xuất hiện 5 nút sóng nên trên dây có 4 bó sóng → 120cm = 4λ/2 → λ = 60cm.

O là trung điểm dây AB nên OA = 60cm = 2.λ/2 nên O là nút thứ 3 tính từ nút A.

Ta có: OM = 5cm < λ/4 = 15cm; ON = 10cm < λ/2 nên M và N dao động ngược pha (M và N nằm trên 2 bó liền kề).

Câu 8: Một sóng dừng trên dây có bước sóng λ và N là một nút sóng. Hai điểm P, Q nằm về 2 phía của N và có vị trí cân bằng cách N những đoạn lần lượt là λ/8 và λ/12 . Ở cùng một thời điểm mà hai phần tử tại đó có li độ khác không thì tỉ số giữa li độ của P so với Q là

Lời giải:

Chọn C

Ta nhận thấy M1 và M2 dao động ngược pha.

Suy ra:

Câu 9: Một sóng dừng trên một sợi dây có dạng u = 40sin(2,5πx)cosωt (mm), trong đó u là li độ tại thời điểm t của một điểm M trên sợi dây mà vị trí cân bằng của nó cách gốc tọa độ O đoạn x (x tính bằng mét, t đo bằng s). Khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai lần liên tiếp để một chất điểm trên bụng sóng có độ lớn li độ bằng biên độ của điểm N cách nút sóng 10cm là 0,125s. Tốc độ truyền sóng trên sợi dây là:

A. 320cm/s    B. 160cm/s    C. 80cm/s    D. 100cm/s

Lời giải:

Chọn B

Bước sóng của sóng truyền trên dây: 2,5πx = 2πx/λ => λ = 2/2,5 = = 0,8m = 80cm

Biên độ của phần từ tại N: A_N = 40|sin(2π.10/80)| = 20√2mm

Từ hình vẽ ta cũng tính được góc quét ∆φ ứng với khoảng thời gian ngắn nhất li độ của B bằng biên độ của C là: ∆φ1 = 2 arccos 20√2/40 = π/2 = ∆φ2 ứng với khoảng thời gian là T/4

Suy ra T/4 = 0,125s → T = 0,5s.

Ta tính được tốc độ truyền sóng trên dây: v = λ/T = 160cm/s.

Câu 10: Sóng dừng xuất hiện trên sợi dây với tần số f = 5Hz. Gọi thứ tự các điểm thuộc dây lần lượt là O, M, N, P sao cho O là điểm nút, P là điểm bụng sóng gần O nhất (M, N thuộc đoạn OP). Khoảng thời gian giữa 2 lần liên tiếp để giá trị li độ của điểm P bằng biên độ dao động của điểm M, N lần lượt là 1/15s và 1/20s. Biết khoảng cách giữa 2 điểm M, N là 0,2cm. Bước sóng của sợi dây là:

A. 5,6cm    B. 4,8 cm    C. 1,2cm     D. 2,4cm

Lời giải:

Chọn B

Biên độ của phần tử tại M và N lần lượt là:

A_M = 2Asin(2πOM/λ) ; A_N = 2Asin(2πON/λ) (1)

Vì OM < ON < OP = λ/4 nên AM < AN.

Sử dụng vòng tròn lượng giác biểu diễn dao động điều hòa của phần tử bụng P.

Các góc quét α, β tương ứng với các khoảng thời gian 1/15s và 1/20s

→ α = ω.∆t₁ = 10π.1/15 = 2π/3; β = ω.∆t₂ = 10π.1/20 = π/2.

Mặt khác:

Từ (1) suy ra OM = λ/12; ON = λ/8

Khoảng cách giữa 2 điểm M, N là 0,2cm → ON – OM = λ/24 = 0,2cm → λ = 4,8cm.

Câu 11: M, N, P là 3 điểm liên tiếp nhau trên một sợi dây mang sóng dừng có cùng biên độ 4cm, dao động tại P ngược pha với dao động tại M. MN = 2NP = 20cm. Cứ sau khoảng thời gian ngắn nhất là 0,04s sợi dây lại có dạng một đoạn thẳng. Tính tốc độ dao động tại điểm bụng khi sợi dây có dạng một đoạn thẳng.

A. 6,28m/s     B. 62,8cm/s    C. 125,7cm/s    D. 3,14m/s

Lời giải:

Chọn D

Vì M, N, P liên tiếp nhau có cùng biên độ, P ngược pha với M, MN = 20cm > NP = 10cm nên M và N nằm trên cùng 1 bó, P nằm trên bó tiếp theo. Khi đó N và P đối xứng nhau qua nút C gần nhất ở giữa N và P.

→ NC = CP = NP/2 = 5cm.

N và M đồng pha trên 1 bó nên N và M đối xứng nhau qua bụng B gần nhất.

→ NB = MB = MN/2 = 10cm

Mặt khác BC = NB + NC = 15cm = λ/4 → λ = 60cm.

Ta có biên độ sóng tại N là: A_N = 2A sin(2πNC/λ) = 2A sin2π.5/60 = A = 4cm

Khoảng thời gian ngắn nhất sợi dây lại có dạng một đoạn thẳng là: T/4 = 0,04s

→ T = 0,16s → ω = 12,5π rad/s.

Tốc độ dao động tại điểm bụng khi sợi dây có dạng một đoạn thẳng là vmax.

v_max =2A.ω = 100π cm/s = 3,14m/s.

Câu 12: Sóng dừng tạo trên một sợi dây đàn hồi có chiều dài l. Người ta thấy trên dây có những điểm dao động cách nhau l1 thì dao động với biên độ 4 cm, người ta lại thấy những điểm cứ cách nhau một khoảng l₂ (l₂ > l₁) thì các điểm đó có cùng biên độ a. Giá trị của a là:

A. 4√2 cm    B. 4cm    C. 2√2 cm    D. 2cm

Lời giải:

Chọn A

- Các điểm bụng có cùng biên độ A_max = 2A nằm cách đều nhau những khoảng d = λ/2.

- Những điểm cách đều nhau liên tiếp (không kể bụng và nút) có cùng biên độ dao động sẽ cách nhau 1 khoảng nhỏ nhất là λ/4 và cùng biên độ A√2 .

Như vậy vì l₂ > l₁ nên l₂ = λ/2, l₁ = λ/4.

Suy ra: a = A_max = 2A, A√2 = 4cm => A = 2√2cm => a = 4√2cm

Câu 13: Sóng dừng tạo trên một sợi dây đàn hồi có chiều dài l. Người ta thấy trên dây có những điểm dao động cách nhau l1 thì dao động với biên độ a1 người ta lại thấy những điểm cứ cách nhau một khoảng l₂ thì các điểm đó có cùng biên độ a₂ (a₂ < a₁) Tỉ số l₂/l₁ là:

A. 2    B. 1/2     C. 1     D. 0,25

Lời giải:

Chọn B

- Các điểm bụng có cùng biên độ A_max = 2A nằm cách đều nhau những khoảng d = λ/2.

- Những điểm cách đều nhau liên tiếp (không kể bụng và nút) có cùng biên độ dao động sẽ cách nhau 1 khoảng nhỏ nhất là λ/4 và cùng biên độ A√2 .

Theo đề bài a₂ < a₁ nên a₂ = A√2 và a₁ = A_max = 2A.

Suy ra l₁ = λ/2, l₂ = λ/4

=> l₂/l₁ = 1/2

Câu 14: Sóng dừng tạo trên một sợi dây đàn hồi có chiều dài l với hai đầu tự do. Người ta thấy trên dây có những điểm dao động cách nhau l₁ = 1/16 thì dao động với biên độ a1 người ta lại thấy những điểm cứ cách nhau một khoảng l₂ thì các điểm đó có cùng biên độ a₂ (a₂ > a₁) Số điểm bụng trên dây là:

A. 9    B. 8    C. 5     D. 4

Lời giải:

Chọn A

- Các điểm bụng có cùng biên độ A_max = 2A nằm cách đều nhau những khoảng d = λ/2.

- Những điểm cách đều nhau liên tiếp (không kể bụng và nút) có cùng biên độ dao động sẽ cách nhau 1 khoảng nhỏ nhất là λ/4 và cùng biên độ A√2 .

Ta có a₂ > a₁ nên l₁ = l/16 = λ/4; l₂ = λ/2 => l = 4λ

Sợi dây đàn hồi có chiều dài l với hai đầu tự do và l = 4λ = λ/4 + 7 λ/2 + λ/4

Số bụng sóng trên dây (tính cả hai đầu) là 7 + 2 = 9 bụng.

Câu 15: Một sợi dây AB đàn hồi căng ngang dài l = 120cm, hai đầu cố định đang có sóng dừng ổn định. Bề rộng của bụng sóng là 4a. Khoảng cách gần nhất giữa hai điểm dao động cùng pha có cùng biên độ bằng a là 20 cm. Số bụng sóng trên AB là

A. 4.     B. 8.     C. 6.     D. 10.

Lời giải:

Chọn A

Bề rộng của bụng sóng là 4a nên nguồn sóng dao động với biên độ là a.

Hai điểm gần nhau nhất dao động cùng pha có cùng biên độ bằng a là 20 cm nên hai điểm này đối xứng nhau qua bụng, do đó khoảng cách từ hai điểm này đến bụng gần nhất là:

d = 20/2 = 10cm.

Biên độ các điểm này: A_N = 2a cos(2π.10/λ) = a

> 20π/λ = π/3 => λ = 60 cm

Một sợi dây AB đàn hồi có hai đầu cố định và l = 120cm = 4λ/2 nên trên dây có 4 bụng sóng.

Câu 16: Cho sợi dây một đầu cố định, một đầu còn lại gắn với cần rung phát sóng dao động với phương trình u_o = acos(ωt + φ) cm. Trên dây có sóng dừng ổn định với bước sóng λ. Hai điểm M và N trên dây cách nhau 3,75λ có biên độ lần lượt là A_M = 6cm; A_N = 8cm. Tìm biên độ của nguồn phát ra sóng đó ?

A. a = 10cm.     B. a = 7,5cm.     C. a = 11cm.     D. a = 5cm

Lời giải:

Chọn D

Gọi d₁, d₂ lần lượt là khoảng cách từ M, N tới đầu nút cố định, ta có: d₁ – d₂ = 3,75λ.

Biên độ của bụng sóng là A_b = 2a.

Biên độ sóng dừng tại M và N lần lượt là:

Do đó ta được:

Câu 17: Một sợi dây đàn hồi căng ngang, đang có sóng dừng 2 đầu cố định. Trên dây, A là một nút, B là điểm bụng gần A nhất với AB = 15cm. M là một điểm trên dây cách B là 10cm. Biết rằng trong một chu kỳ sóng, khoảng thời gian mà độ lớn vận tốc dao động của phần tử B lớn hơn vận tốc dao động cực đại của phần tử M là 2/3s. Tốc độ truyền sóng trên dây là:

A . 240cm/s     B. 120cm/s     C. 60cm/s     D. 80cm/s

Lời giải:

Chọn C

A là một nút, B là điểm bụng gần A nhất với AB = 15cm → λ/4 = 15cm → λ = 60cm.

Biên độ dao động của M là:

Vận tốc dao động cực đại của phần tử M là: v_max(M) = A_M.ω = v_max(B)/2.

Sử dụng vòng tròn lượng giác biểu diễn vận tốc dao động vB của phần tử sóng tại B, ta thấy khoảng thời gian trong một chu kỳ dao động sóng mà độ lớn vận tốc dao động của phần tử B lớn hơn vận tốc dao động cực đại của phần tử M ứng với 2 cung quét như trên hình.

Từ hình học ta suy ra khoảng thời gian thỏa mãn là 2T/3 = 2/3s → T = 1s.

Tốc độ truyền sóng trên dây là: v = λ/T = 60cm/s.

Câu 18: (Quốc gia – 2014) Trên một sợi dây đàn hồi đang có sóng dừng ổn định với khoảng cách giữa hai nút sóng liên tiếp là 6 cm. Trên dây có những phần tử sóng dao động với tần số 5 Hz và biên độ lớn nhất là 3 cm. Gọi N là vị trí của một nút sóng; C và D là hai phần tử trên dây ở hai bên của N và có vị trí cân bằng cách N lần lượt là 10,5 cm và 7 cm. Tại thời điểm t1, phần tử C có li độ 1,5 cm và đang hướng về vị trí cân bằng. Vào thời điểm t₂ = t₁ + 79/40s , phần tử D có li độ là

A. – 0,75 cm.    B. 1,50 cm.    C. – 1,50 cm.    D. 0,75 cm.

Lời giải:

Chọn B

Bước sóng: λ = 2.6 = 12cm; Tần số góc: ω = 10π rad/s

Biên độ dao động của các điểm cách nút một đoạn d khi có sóng dừng được xác định bởi A = A_b|sin 2πd/λ| với A_b là biên độ dao động của điểm bụng, vậy ta có:

Hai điểm C và D thuộc các bó sóng đối xứng nhau qua nút N do vậy luôn dao động ngược pha nhau.

Thời điểm t1 C đang ở li độ u_C = + √2/2 A_c => u_D = -√2/2 A_D

Vào thời điểm t₂ = t₁ + 79/40s , góc quét tương ứng giữa hai thời điểm t₁ và t₂ là:

∆φ = ω.∆t = 10π.79/40 = 18π + π + 0,75π (rad).

→ li độ sóng tại C ở thời điểm t₂ là: u_C = A_C = 1,5 cm.

Vì C và D dao động ngược pha nên khi đó u_D = -A_D = -1,5cm

Câu 19: (QG-2015): Trên một sợi dây OB căng ngang, hai đầu cố định đang có sóng dừng với tần số f xác định. Gọi M, N và P là ba điểm trên dây có vị trí cân bằng cách B lần lượt là 4 cm, 6 cm và 38 cm. Hình vẽ mô tả hình dạng sợi dây tại thời điểm t1 (đường 1) và t₂ = t₁ + 11/12f (đường 2). Tại thời điểm t₁, li độ của phần tử dây ở N bằng biên độ của phần tử dây ở M và tốc độ của phần tử dây ở M là 60 cm/s. Tại thời điểm t₂, vận tốc của phần tử dây ở P là

A. 60 cm/s.    B. 20√3 cm/s.    C. -20√3 cm/s.    D. - 60 cm/s.

Lời giải:

Chọn D

Theo hình vẽ ta có: λ = 24 cm.

Tính biên độ dao động của các điểm M, N, P: A = A_b.sin|2πx/λ|

(với A_b: biên độ của điểm bụng, x là khoảng cách từ điểm xét tới điểm nút bất kỳ).

Thay số, ta được: A_M = A_b√3/2; A_N = A_b; A_p = A_b/2

Dễ dàng thấy: N và M cùng pha, N và P ngược pha.

Tại thời điểm t₁: li độ của điểm N bằng biên độ M thì tốc độ dao động của M bằng 60 cm/s:

u_N = A_M = A_b√3/2

=> u_M = A_M/A_N. u_N = 3/4 A_b (vì N và M cùng pha)

Tại thời điểm t₂ (sau t₁ là 11T/12 ) hình dạng sợi dây (đường 2) có dạng như hình vẽ bên.

Tại thời điểm t₁ các phần tử M, N, P đang chuyển động theo chiều đi ra vị trí biên tương ứng. Vec tơ quay mô tả chuyển động của N, P tại thời điểm t₁ và t₂:

Vậy ở thời điểm t₂, điểm P có li độ là u_p = -A_b/4 và P đang đi theo chiều âm.

Suy ra:

Câu 20: (Quốc gia – 2016). Trên một sợi dây đàn hồi đang có sóng dừng ổn định. Sóng truyền trên dây có tần số 10 Hz, bước sóng 6 cm. Trên dây, hai phần tử M và N có vị trí cân bằng cách nhau 8 cm, M thuộc một bụng sóng dao động với biên độ 6 mm. Lấy π² = 10. Tại thời điểm t, phần tử M đang chuyển động với tốc độ 6π cm/s thì phần tử N chuyển động với gia tốc có độ lớn là

A. 6√3 m/s².    B. 6√2 m/s².    C. 6 m/s².    D. 3 m/s².

Lời giải:

+ Từ giả thuyết của bài toán ta có thể xác định được điểm N cách nút một gần nhất một đoạn λ/12, do đó N sẽ dao động với biên độ là AN = 0,5A = 3mm.

+ Tại thời điểm t, M đang chuyển động với tốc độ v_N = v_Nmax = 6π cm/s. Biểu diễn tương ứng trên đường tròn. Hai điểm M và N nằm trên hai bó sóng đối xứng với nhau qua một nút nên dao động ngược pha.

+ Từ hình vẽ ta có thể tính được, tại thời điểm t, điểm N có gia tốc:

D. Bài tập bổ sung

Câu 1: Trên một sợi dây dài 2 m đang có sóng dừng với tần số 100 Hz, người ta thấy ngoài 2 đầu dây cố định còn có 3 điểm khác luôn đứng yên. Tốc độ truyền sóng trên dây là

A. 100 m/s.

B. 40 m/s.

C. 80 m/s.

D. 60 m/s.

Câu 2: Một sóng dừng có tần số 10 Hz trên sợi dây đàn hồi. Xét từ một nút thì khoảng cách từ nút đó đến bụng thứ 11 là 26,25 cm. Tốc độ truyền sóng trên dây là

A. 0,5 m/s.

B. 50 m/s.

C. 0,4 m/s.

D. 40 m/s.

Câu 3: Một sợi dây đàn hồi dài 90 cm có một đầu cố định và một đầu tự do đang có sóng dừng. Kể cả đầu dây cố định, trên dây có 8 nút. Biết rằng khoảng thời gian giữa 6 lần liên tiếp sợi dây duỗi thẳng là 0,25 s. Tốc độ truyền sóng trên dây là

A. 1,2 m/s.

B. 2,9 m/s.

C. 2,4 m/s.

D. 2,6 m/s.

Câu 4: Sợi dây AB dài 90 cm đầu A gắn với nguồn dao động (xem A là nút) và đầu B tự do. Quan sát thấy trên dây có 8 nút sóng dừng và khoảng thời gian 6 lần liên tiếp sợi dây duỗi thẳng là 0,25 s. Tính tốc độ truyền sóng trên dây và khoảng cách từ A đến nút thứ 7.

A. 10 m/s và 0,72 m

B. 2,4 m/s và 0,72 m

C. 0,72 m/s và 2,4 m

D. 2,4 m/s và 10 cm

Câu 5: Một thanh mảnh đàn hồi OA có đầu A tự do, đầu O được kích thích dao động theo phương vuông góc với thanh thì trên thanh có 8 bụng sóng dừng với O là nút, A là bụng. Tốc độ truyền sóng trên thanh 4 m/s và khoảng thời gian hai lần liên tiếp tốc độ dao động của A cực đại là 0,005 s. Chiều dài đoạn thẳng OA là

A. 14 cm.

B. 15 cm.

C. 7,5 cm.

D. 30 cm.

Câu 6: Trên 1 sợi dây đàn hồi dài 20cm hai đầu A, B cố định có sóng dừng. Các điểm trên dây dao động với phương trình u = 0,5sin(0,5πx) cos(20t + π/2) cm (x đo bằng cm, t đo bằng s). Số nút sóng và bụng sóng trên đoạn dây AB (Kể cả A và B) là

A. 8 bụng, 9 nút

B. 9 bụng, 10 nút

C. 10 bụng, 11 nút

D. 8 bụng, 8 nút

Câu 7: Sóng dừng với hai đầu cố định, f thay đổi và l, v không đổi. Khi có tần số f trên dây có 3 bụng. Tăng tần số thêm 20 Hz thì trên dây có 5 bụng. Để trên dây có 6 bụng thì tăng f tiếp thêm một lượng bao nhiêu Hz ?

A. 5 Hz.

B. 15 Hz.

C. 10 Hz.

D. 20 Hz.

Câu 8: Một sợi dây đàn hồi, đầu A gắn với nguồn dao động và đầu B tự do. Khi dây rung với tần số f = 12 Hz thì trên dây xuất hiện sóng dừng ổn định có 8 điểm nút trên dây với A là nút, B là bụng. Nếu đầu B được giữ cố định và tốc độ truyền sóng trên dây không đổi thì phải thay đổi tần số rung của dây một lượng nhỏ nhất bằng bao nhiêu để trên dây tiếp tục xảy ra hiện tượng sóng dừng?

A. 0,5 Hz.

B. 1,25 Hz.

C. 0,8 Hz

D. 1,6 Hz.

Câu 9: Một sợi dây thép mảnh treo thẳng đứng, đầu trên cố định, đầu dưới tự do. Dùng một nam châm điện có tần sổ 25 Hz để kích thích dao động của dây thì thấy trên dây có 9 bụng sóng, cắt dây bớt một đoạn 21 cm thì trên dây chỉ còn 6 bụng sóng. Tốc độ truyền sóng trên dây bằng

A. 3,50 m/s.

B. 7 m/s.

C. 1,75 m/s.

D. 10,50 m/s.

Câu 10: Một sóng dừng trên sợi dây căng ngang với hai đầu cố định, bụng sóng dao động với biên độ 2a. Người ta quan sát thấy những điểm có cùng biên độ ở gần nhau cách đều nhau 12 cm. Bước sóng và biên độ dao động của những điểm cùng biên độ nói trên là

A. 48 cm; a√2

B. 24 cm; a√3

C. 24 cm; a

D. 48 cm; a√3

Xem thêm các dạng bài tập Vật Lí lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Tổng hợp Lý thuyết sóng dừng là gì, ngắn gọn, chi tiết, đầy đủ
• Điều kiện để có sóng dừng: tìm số nút, số bụng trên dây đang có sóng dừng
• Bài tập Sóng dừng trong đề thi Đại học (có lời giải)

• Lý thuyết - Phương pháp giải: Các dạng bài tập về sóng dừng

• Dạng bài tập về đồ thị sóng dừng cực hay có lời giải

• 40 bài tập trắc nghiệm Sóng dừng có lời giải (phần 1)

• 40 bài tập trắc nghiệm Sóng dừng có lời giải (phần 2)

---