Cách giải Bài tập về phương trình sóng dừng hay, chi tiết

A. Phương pháp giải

1. Các biểu thức sóng dừng và biên độ sóng tại các điểm

a) Nếu chọn gốc tọa độ O trùng với nút sóng, gốc thời gian là lúc các phần tử sóng tại bó gần O nhất đang đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương.

+ Phương trình dao động tổng hợp tại M là:

uM = 2a sin (2πxn/ λ)cos (ωt - π/2)

Biên độ dao động tổng hợp tại M là: AM = 2a|sin (2πxn/λ )|

(Với xn là khoảng cách từ điểm M cần xét đến nút chọn làm gốc).

Lưu ý: Công thức tính biên độ trên cũng đúng cho trường hợp xn là khoảng cách từ M tới nút bất kỳ.

+ Vận tốc dao động của phần tử tại M là: vM = u’M (t) = 2aω sin (2πxn/λ)cos(ωt)

+ Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm M trên dây: k = tanα = ux = 2a.2π /λ . cos (2πxn/λ) cos (ωt - π/2)

b) Nếu chọn gốc tọa độ O trùng với bụng sóng, gốc thời gian là lúc phần tử bụng sóng tại O đang đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương.

+ Phương trình dao động tổng hợp tại M là:

uM = 2a cos (2πxb/ λ)cos (ωt - π/2)

+ Biên độ dao động tổng hợp tại M là: AM = 2a|cos (2πxb/λ )|

(Với xb là khoảng cách từ điểm M cần xét đến bụng chọn làm gốc).

Lưu ý: Công thức tính biên độ trên cũng đúng cho trường hợp xb là khoảng cách từ M tới nút bất kỳ.

+ Vận tốc dao động của phần tử tại M là: vM = u’M (t) = 2aω cos (2πxb/λ)cos(ωt)

+ Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm M trên dây: k = tanα = u'x = -2a.2π /λ . sin (2πxb/λ) cos (ωt - π/2)

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một sóng dừng trên một sợi dây được mô tả bởi phương trình: u = 4 cos (πx/4 + π/2) cos (20πt - π/2)cm. Trong đó x đo bằng cm và t đo bằng giây. Tốc độ truyền sóng dọc theo dây là:

A. 80 cm/s.    B. 40 cm/s.    C. 60 cm/s.    D. 20 cm/s.

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Từ phương trình sóng u = 4 cos (πx/4 + π/2) cos (20πt - π/2)

→ 2πx/ λ = πx/4 => λ = 8cm

Tần số sóng: f = 10Hz.

Tốc độ truyền sóng dọc theo dây là: v = λ.f = 80cm/s

Ví dụ 2: Một sóng dừng trên một sợi dây có dạng u = 2sin(πx/4)cos(20πt + π/2) (cm), trong đó u là li độ tại thời điểm t của một phần tử M trên dây mà vị trí cân bằng của nó cách gốc tọa độ O một khoảng x (x đo bằng cm, t đo bằng giây). Vận tốc dao động và hệ số góc của tiếp tuyến của phần tử trên dây có tọa độ 1cm tại thời điểm t = 1/80s lần lượt là:

A. -6 cm/s và π/4.    B. -5 cm/s và -π/4.

C. -20π cm/s và -π/4.    D. -30π cm/s và π/4.

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Vận tốc dao động và hệ số góc của tiếp tuyến của phần tử trên dây được xác định bằng biểu thức sau:

+ v = u’(t) = -40πsin(πx/4)cos(20πt + π/2)

+ k = tanα = u'x = 2π/4.cosπx/4 cos (20πt + π/2)

Thay x = 1cm, t = 1/80s vào ta được: v = -20π cm/s; tanα = -π/4

Ví dụ 3: Sóng dừng trên dây OP = 120cm, 2 đầu cố định. Ta thấy trên dây có 4 bó và biên độ dao động của bụng là 2cm. Tính biên độ dao động tại điểm M cách O là 65 cm.

A. 0,5 cm    B. 1 cm.    C. 0,75 cm.    D. 0,9cm

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Dây OP có 2 đầu cố định, trên dây có 4 bó nên OP = 4λ/2 → λ = 60cm.

Biên độ dao động tại điểm M: AM = 2a|sin(2πxn/λ) = 2|sin(2π.65/60)| = 1cm

Ví dụ 4: Một sóng dừng trên sợi dây đàn hồi với bước sóng λ. N là điểm không dao động trên dây, hai điểm P và Q ở hai bên N và có vị trí cân bằng cách N những khoảng PN = λ/6; QN = λ/12. Tỉ số li độ của P và Q tại thời điểm P, Q không đi qua vị trí cân bằng là:

A. 1.    B. √2    C. -√3    D. 2√2

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

N không dao động nên N là nút, ta chọn N làm gốc, khi đó: xP = λ/6, xQ = - λ/12 (P và Q nằm ở hai bó liền kề).

Tỉ số li độ của P và Q tại thời điểm P, Q không đi qua vị trí cân bằng là:

Cách giải Bài tập về phương trình sóng dừng hay, chi tiết (Tìm li độ, biên độ, trạng thái dao động)

Ví dụ 5: Một sóng dừng trên sợi dây đàn hồi với bước sóng λ = 60cm. Ba điểm theo thứ tự M, N, P trên dây (MN = 3NP = 30cm) trong đó N là điểm bụng. Khi vận tốc dao động tại P là √3 cm/s thì vận tốc dao động tại M là:

A. 3√3 cm/s    B. 2√2 cm/s    C. -2√3 cm/s    D. -2√2 cm/s.

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Chọn bụng N làm gốc, ta có: xM = -30cm; xP = 10cm (M và P nằm ở hai bó liền kề)

Cách giải Bài tập về phương trình sóng dừng hay, chi tiết (Tìm li độ, biên độ, trạng thái dao động)

=> vM = -2vP = -2√3 cm/s

d) Các điểm (không phải bụng, nút) liên tiếp có cùng biên độ.

* Hai điểm (không phải bụng, nút) liên tiếp có cùng biên độ.

Hai điểm này có cùng biên độ A1 thì hoặc hai điểm này nằm hai bên nút hoặc nằm hai bên bụng.

Nếu chúng nằm hai bên nút thì chúng sẽ nằm trên hai bó liền kề (dao động ngược pha) và những điểm nằm giữa chúng sẽ có biên độ nhỏ hơn A1.

Ta có: A1 = 2a|sin2πxn/λ| = 2a sin πΔd/λ (∆d là khoảng cách của hai điểm đang xét)

Ví dụ 6: Một sợi dây đàn hồi có sóng dừng, biên độ tại bụng sóng là 2A (cm). M là một điểm nằm trên dây có phương trình uM = A.cos(10πt + π/3) cm, điểm N có phương trình uN = A.cos(10πt - 2π/3) cm, tốc độ truyền sóng trên dây là 1,2 m/s. Khoảng cách MN nhỏ nhất là:

A. 0,02 m.    B. 0,05 m.    C. 0,04 m.    D. 0,07m

Hướng dẫn giải:

Bước sóng: λ = v/f = 1,2/5 = 0,24m = 24cm.

Từ phương trình dao động của hai điểm m và n ta thấy chúng dao động cùng biên độ nhưng ngược pha nhau.

Hai điểm M, N gần nhau nhất thỏa mãn trạng thái dao động trên khi chúng nằm đối xúng nhau qua nút.

Ta có AM = AN = A = 2A|sin 2πxn/λ| = 2a sin πΔd/λ =>Δd = λ/6 = 0,04m

* Ba điểm (không phải bụng, nút) liên tiếp có cùng biên độ.

Giả sử 3 điểm liên tiếp có cùng biên độ thì trong đó phải có hai điểm (ví dụ M, N) cùng nằm trên cùng một bó (dao động cùng pha) và một điểm còn lại nằm trên bó liền kề (dao động ngược pha với hai điểm M, N). Do vậy ta có: λ = 2(MN + NP).

Ví dụ 7: (Quốc gia – 2017) Một sợi dây căng ngang với hai đầu cố định, đang có sóng dừng. Biết khoảng cách xa nhất giữa hai phần tử dây dao động với cùng biên độ 5 mm là 80 cm, còn khoảng cách xa nhất giữa hai phần tử dây dao động cùng pha với cùng biên độ 5 mm là 65 cm. Tỉ số giữa tốc độ cực đại của một phần tử dây tại bụng sóng và tốc độ truyền sóng trên dây là

A. 0,21.    B. 0,41.    C. 0,14.    D. 0,12.

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta để ý đến giả thuyết của bài toán, hai điểm dao động cùng biên độ 5 mm nhưng cùng pha nhau hai điểm này đối xứng qua một bụng.

Hai điểm khác cũng dao động với biên độ đúng bằng 5 mm nhưng lại cách xa nhau nhất mà không cùng pha vậy hai điểm này phải ngược pha nhau.

Cách giải Bài tập về phương trình sóng dừng hay, chi tiết (Tìm li độ, biên độ, trạng thái dao động)

Từ hình vẽ, (1) và (2) là hai điểm dao động với cùng biên độ và cách xa nhau nhất. (3) và (4) là hai điểm dao động cùng biên độ và cùng pha, cũng cách xa nhau nhất.

Ta dễ dàng xác định được: λ/2 = 80 - 65 = 15 => λ = 30 cm

Biên độ của các điểm (3), (4) cách bụng một đoạn d: 5 = a|cos 2πd/λ|

Thay d = 65/2 cm vào ta tìm được a = 10/√3 mm

Ta có tỉ số δ = ωa/v = 2πa/λ = 0,12

* Các điểm có cùng biên độ nằm cách đều nhau.

- Các điểm bụng có cùng biên độ Amax = 2a nằm cách đều nhau những khoảng d = λ/2.

- Những điểm cách đều nhau liên tiếp (không kể bụng và nút) có cùng biên độ dao động sẽ cách nhau 1 khoảng nhỏ nhất là /4 và cùng biên độ a√2 .

Ví dụ 8: Trên sợi dây đàn hồi mang sóng dừng có 3 điểm M, N, P là 3 điểm liên tiếp nhau có cùng biên độ A1, dao động tại N cùng pha với dao động tại M. Biết MN = 2NP = 20cm. Cứ sau khoảng thời gian ngắn nhất là 0,04s sợi dây có dạng một đoạn thẳng và biên độ tại bụng là 10cm. Tính A1 và tốc độ truyền sóng.

A. 5√3 cm và 60 m/s.    B. 5cm và 75 cm/s.

C. 5√2 cm và 50 cm/s.    D. 4√2 cm và 65 cm/s

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Khoảng thời gian ngắn nhất sợi dây có dạng một đoạn thẳng là T/2 = 0,04s → T = 0,08s.

Ta có: λ = (MN + NP).2 = 60cm → v = λ/T = 75 cm/s.

Dao động tại N cùng pha với dao động tại M và có cùng biên độ nên 2 điểm cùng cách bụng gần nhất một đoạn d = MN/2 = 10cm.

=> A1 = 2acos 2πd/λ = 10. cos2π10/60 = 5 cm

Ví dụ 9: Một sợi dây đàn hồi có sóng dừng. Trên dây có những điểm dao động với cùng biên độ A1 có vị trí cân bằng liên tiếp cách đều nhau một đoạn d1 và các điểm dao động với cùng biên độ A2 có vị trí cân bằng liên tiếp cách đều nhau một đoạn d2. Biết A1 > A2 > 0. Biểu thức nào sau đây là đúng ?

A. d1 = 0,5d2.    B. d1 = 4d2.    C. d1 = 0,25d2.    D. d1 = 2d2.

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

+ Trong hiện tượng sóng dừng trên dây, các điểm dao động cùng biên độ liên tiếp cách đều nhau chỉ có thể là các điểm bụng (biên độ A1 = 2a) hoặc các điểm dao động với biên độ a√2 = Ab√2/2 .

Những điểm cách đều nhau liên tiếp (không kể bụng và nút) có cùng biên độ dao động sẽ cách nhau 1 khoảng nhỏ nhất là λ/4.

Do vậy d1 = λ/2; d2 = λ/4 → d1 = 2d2.

Cách giải Bài tập về phương trình sóng dừng hay, chi tiết (Tìm li độ, biên độ, trạng thái dao động)

A. Phương pháp giải

2. Xác định trạng thái, khoảng thời gian dao động điều hòa của các phần tử trong sóng dừng.

a) Li độ, vận tốc và gia tốc tại các thời điểm khác nhau.

* Ta chọn gốc tọa độ trùng với nút và gốc thời gian hợp lý để xác định biểu thức sóng dừng.

Ví dụ nếu chọn gốc tọa độ O trùng với nút sóng, gốc thời gian là lúc các phần tử sóng tại bó gần O nhất đang ở biên dương (khi đó dây phồng to nhât).

Phương trình dao động tổng hợp tại M là:

uM = 2a sin(2πxn/λ)cos (ωt)

Suy ra phương trình li độ, vận tốc và gia tốc cho từng điểm cụ thể trên sợi dây. Từ đó ta xác định được các đại lượng mà bài toán yêu cầu.

* Ta có thể xác định trạng thái dao động của các phần tử sóng bằng phương pháp sử dụng vòng tròn lượng giác như trong dao động điều hòa với lưu ý là biên độ tại mỗi điểm đang xét phụ thuộc vào vị trí của phần tử đó trên dây.

Biên độ các điểm được xác định như phần trên.

Trong sóng dừng các điểm dao động chỉ có hai trường hợp xảy ra:

- dao động đồng pha (những điểm nằm trên cùng một bó hoặc ở các bó cùng số chẵn hoặc cùng số lẻ).

- dao động ngược pha (những điểm nằm ở một bó số chẵn ngược pha với những điểm nằm ở bó số lẻ).

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trên một dây đàn hồi đang có sóng dừng ổn định với khoảng cách giữa hai nút sóng liên tiếp là 6cm, phần tử sóng dao động với tần số 5 Hz và biên độ lớn nhất là 3cm. Gọi N là vị trí của một nút sóng; C, D là hai phần tử trên dây ở hai bên của N và có vị trí cân bằng cách N lần lượt là 10,5 cm và 7 cm. Tại thời điểm t1, phần tử C có li độ 1,5 cm và đang hướng về vị trí biên. Vào thời điểm t2 = t1 + 235/120 s, phần tử D có li độ là:

A. -0,75 cm.    B. 1,50 cm.    C. -1,50 cm.    D. 0,75 cm

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Giải theo phương trình sóng dừng.

Bước sóng: λ = 6.2 = 12 cm.

Ta chọn gốc tọa độ O trùng với nút N, gốc thời gian là lúc các phần tử sóng tại bó bên phải gần O nhất đang ở biên dương (khi đó dây phồng to nhât).

Biểu thức sóng dừng: u = 2a sin(2πxn/λ)cos (ωt) (cm)

Giả sử C bên trái N, D bên phải N, suy ra xC = -10,5cm; xD = 7cm.

Ta có:

Cách giải Bài tập về phương trình sóng dừng hay, chi tiết (Tìm li độ, biên độ, trạng thái dao động)

Tại thời điểm t1, uC = 1,5 cm và đang hướng ra biên (vC > 0).

Suy ra 10 πt1 = -π/4 + 2kπ (k ∈ Z)

Tại thời điểm t2 = t1 + 235/120 s, phần tử D có li độ là:

uD = -1,5cos.10π(t1 + 235/120) = -1,5 cos.(10πt1 + 235π/12) (cm) = 0,75 cm

Ví dụ 2: Sóng dừng trên một sợi dây đàn hồi OB mô tả như hình dưới. Điểm O trùng với gốc tọa độ trục tung. Lúc t = 0 hình ảnh của sợi dây là (1), sau thời gian nhỏ nhất ∆t và 3∆t kể từ lúc t = 0 thì hình ảnh của sợi dây lần lượt là (2) và (3). Tốc độ truyền sóng là 20 m/s và biên độ của bụng sóng là 4 cm. Sau thời gian 1/30 s kể từ lúc t = 0, tốc độ dao động của điểm M là:

A. 10,9 m/s    B. 6,3 m/s    C. 4,4 m/s    D. 7,7 m/s

Cách giải Bài tập về phương trình sóng dừng hay, chi tiết (Tìm li độ, biên độ, trạng thái dao động)

Hướng dẫn giải:

Ta có: 2λ = 80cm → λ = 40cm

Xét 1 phần tử bụng B gần M nhất trên sợi dây, từ đồ thị ta thấy:

Tại thời điểm t = O, B ở biên dương uB1 = 4cm. Sau thời gian ngắn nhất t2 = ∆t, B có li độ uB2 = u0. Tại thời điểm t3 = 3∆t, B có li độ uB3 = - u0.

Cách giải Bài tập về phương trình sóng dừng hay, chi tiết (Tìm li độ, biên độ, trạng thái dao động)

Sử dụng vòng tròn lượng giác ta có: β = ω.(t3 – t2) = ω.2∆t; α = ω.∆t → β = 2α

Mà β = 2(π/2 – α) = π - 2α → β = π/2; α = π/4

Suy ra Cách giải Bài tập về phương trình sóng dừng hay, chi tiết (Tìm li độ, biên độ, trạng thái dao động)

Chu kỳ sóng: T = λ/vs = 0,4/20 = 0,02s.

M dao động đồng pha với B nên tại thời điểm t = 0, B ở biên dương thì M cũng ở biên dương, do đó AM = 2√2 cm.

Khoảng thời gian t = 1/30s = T + 2T/3 thì M có li độ là uM = -AM/2 (dùng vòng tròn lượng giác).

Tốc độ của M khi đó là: |vM| = √3/2 ω.AM = √3/2 . 2π/T . 2√2 = 769,5 cm/s = 7,7 m/s

Ví dụ 3: Một sợi dây đang có sóng dừng ổn định. Sóng truyền trên dây có tần số 10Hz và bước sóng 6cm. Trên dây, hai phần tử M và N có vị trí cân bằng cách nhau 8cm, M thuộc một bụng sóng dao động điều hòa với biên độ 6mm. Lấy π2 = 10. Tại thời điểm t, phần tử M đang chuyển động với tốc độ 6π√2 cm/s thì phần tử N chuyển động với gia tốc có độ lớn là:

A. 6√3 m/s2.    B. 6√2 m/s2.    C. 6 m/s2.    D. 3m/s2.

Cách giải Bài tập về phương trình sóng dừng hay, chi tiết (Tìm li độ, biên độ, trạng thái dao động)

Hướng dẫn giải:

Chọn B

M là bụng sóng, N cách bụng M một khoảng d = 8cm, ta thấy M và N dao động ngược pha, biên độ dao động của N là:

Cách giải Bài tập về phương trình sóng dừng hay, chi tiết (Tìm li độ, biên độ, trạng thái dao động)

Tại thời điểm t, phần tử M đang chuyển động với tốc độ |vM| = 6π√2 cm/s thì có độ lớn li độ │uM│ thỏa mãn:

Cách giải Bài tập về phương trình sóng dừng hay, chi tiết (Tìm li độ, biên độ, trạng thái dao động)

M và N dao động ngược pha nên

Cách giải Bài tập về phương trình sóng dừng hay, chi tiết (Tìm li độ, biên độ, trạng thái dao động)

Gia tốc của phần tử N có độ lớn là:

|aN| = |-ω2.uN| = ω2.|uN| = 600√2 cm/s2 = 6√2 m/s2

b) Khoảng thời gian li độ, vận tốc lặp lại, hình dạng sợi dây lặp lại.

* Giả sử trên sợi dây ta có 3 điểm sau: N là nút, P là bụng sóng gần N nhất, Q là điểm nằm giữa N và P, biết QN = d1.

Biên độ của điểm Q là: AQ = 2A sin (2πd1/λ)

Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp để độ lớn li độ của P bằng biên độ của điểm C là ∆t

ứng với góc quét ∆φ1 hoặc góc quét ∆φ2.

Từ hình vẽ ta xác định được ∆φ1 và ∆φ2:

Cách giải Bài tập về phương trình sóng dừng hay, chi tiết (Tìm li độ, biên độ, trạng thái dao động)

Suy ra khoảng thời gian cần xác định là: ∆t = ∆φ1/ω hoặc ∆t = ∆φ2/ω .

* Trường hợp P và Q có cùng li độ chỉ xảy ra khi chúng đi qua VTCB, do vậy khoảng thời gian liên tiếp giữa hai lần P và Q co cùng li độ là T/2.

Cách giải Bài tập về phương trình sóng dừng hay, chi tiết (Tìm li độ, biên độ, trạng thái dao động)

Ví dụ 4: (Quốc gia – 2011) Một sợi dây đàn hồi căng ngang, đang có sóng dừng ổn định. Trên dây, A là một điểm nút, B là một điểm bụng gần A nhất, C là trung điểm của AB, với AB = 10 cm. Biết khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai lần mà li độ dao động của phần tử tại B bằng biên độ dao động của phần tử tại C là 0,2 s. Tốc độ truyền sóng trên dây là

A. 2 m/s.    B. 0,5 m/s.    C. 1 m/s.    D. 0,25 m/s.

Hướng dẫn giải:

Bước sóng của sóng truyền trên dây: λ = 4.AB = 40cm.

Biên độ của phần tử tại C: Cách giải Bài tập về phương trình sóng dừng hay, chi tiết (Tìm li độ, biên độ, trạng thái dao động)

Cách giải Bài tập về phương trình sóng dừng hay, chi tiết (Tìm li độ, biên độ, trạng thái dao động)

Từ hình vẽ ta cũng tính được góc quét ∆φ ứng với khoảng thời gian ngắn nhất li độ của B bằng biên độ của C là:∆φ1 = 2 arccos AC/AB = π/2= ∆φ2 ứng với khoảng thời gian là T/4

Suy ra T/4 = 0,2s → T = 0,8s.

Ta tính được tốc độ truyền sóng trên dây: v = λ/T = 50cm/s = 0,5m/s.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Một sóng dừng trên dây có dạng u = 2sin(bx).cos(10πt + π) (cm). Trong đó u là li độ tại thời điểm t của phần tử M trên dây, x tính bằng cm, là khoảng cách từ nút O của dây đến điểm M. Tốc độ truyền sóng trên dây là 30 cm/s. Giá trị của b là:

A. 100π/3 (rad/cm).    B. 0,1π/3 (rad/cm).    C. π/3 (rad/cm).    D. 10π/3 (rad/cm)

Sử dụng công thức tính vận tốc truyền sóng: v=(Hệ số của t)/(Hệ số của x)

Ta được: Cách giải Bài tập về phương trình sóng dừng hay, chi tiết (Tìm li độ, biên độ, trạng thái dao động)

Câu 2: Một sóng dừng trên dây có dạng u = asin(bx).cos(10πt + π/2) (cm). Trong đó u là li độ tại thời điểm t của phần tử M trên dây, x tính bằng cm, là khoảng cách từ nút O của dây đến điểm M. Tốc độ truyền sóng trên dây là 20 cm/s. Tại điểm cách nút 0,5 cm có biên độ sóng 2cm. Độ lớn của a là:

A. 3√2 cm    B. 2√2 cm .    C. 2√3 cm    D. 3cm

Chọn B

Ta có: vận tốc truyền sóng: v=(Hệ số của t)/(Hệ số của x)

Cách giải Bài tập về phương trình sóng dừng hay, chi tiết (Tìm li độ, biên độ, trạng thái dao động)

Biên độ sóng tại điểm cách nút d = 0,5 cm: A = │asin(bx)│

Cách giải Bài tập về phương trình sóng dừng hay, chi tiết (Tìm li độ, biên độ, trạng thái dao động)

Câu 3: Sóng dừng trên một sợi dây có biên độ ở bụng là 5cm. Giữa hai điểm M, N có biên độ 2,5cm cách nhau x = 20cm các điểm luôn dao động với biên độ nhỏ hơn 2,5cm. Bước sóng là.

A. 60 cm    B. 12 cm    C. 6 cm    D. 120 cm

Chọn D

Do các điểm giữa M, N đều có biên độ nhỏ hơn biên độ dao động tại M, N nên chúng là hai điểm gần nhau nhất đối xứng qua một nút sóng.

Suy ra khoảng cách từ M đến nút gàn nhất là: d = MN/2 = 20/2 = 10cm.

Biên độ doa động của điểm M là: AM = 2A.sin2πd/λ

⇔ 2,5 = 5.sin 2π10/λ

=> 2π10/λ = π/6

=> λ = 120 cm

Câu 4: Một sợi dây đàn hồi OM = 90 cm có hai đầu cố định. Khi được kích thích thì trên dây có sóng dừng với 3 bó sóng. Biên độ tại bụng sóng là 3 cm. Tại điểm N trên dây gần O nhất có biên độ dao động là 1,5 cm. ON có giá trị là :

A. 5 cm    B. 15 cm    C. 5√2 cm    D. 7,5 cm

Chọn A

Dây hai đầu cố định, có sóng dừng với 3 bó sóng nên OM = 90cm = 3.λ/2

→ λ = 60cm.

Vì O là nút sóng nên biên độ của N được tính bằng công thức: AN = 2A.sin2πON/λ

=> 1,5 = 3sin 2πON/60 => ON = 5 cm.

Câu 5: Trong thí nghiệm về sự phản xạ sóng trên vật cản cố định. Sợi dây mền AB có đầu B cố định, đầu A dao động điều hòa. Ba điểm M, N, P không phải là nút sóng, nằm trên sợi dây cách nhau MN = λ/2; MP = l. Khi điểm M đi qua vị trí cân bằng (VTCB) thì

A. điểm N có li độ cực đại, điểm P đi qua VTCB.

B. N đi qua VTCB, điểm P có li độ cực đại.

C. điểm N và điểm P đi qua VTCB.

D. điểm N có li độ cực tiểu, điểm P có li độ cực đại.

Chọn C

Vì M, P không phải nút sóng và MP = λ, do đó M và P nằm cách nhau 1 bó → M dao động đồng pha với P.

MN = λ/2 < MP nên N nằm giữa M và P, đồng thời N nằm ở bó giữa nên N dao động ngược pha với M và P.

Suy ra: Khi điểm M đi qua vị trí cân bằng (VTCB) thì P đi qua VTCB và N cũng đi qua VTCB theo chiều ngược lại.

Câu 6: Một dây đàn hồi AB đầu A được rung nhờ một dụng cụ để tạo thành sóng dừng trên dây, biết phương trình dao động tại đầu A là uA = acos100t. Quan sát sóng dừng trên sợi dây ta thấy trên dây có những điểm không phải là điểm bụng dao động với biên độ b (b  0) cách đều nhau và cách nhau khoảng 1m. Giá trị của b và tốc truyền sóng trên sợi dây lần lượt là:

A. a√2 ; v = 200m/s.    B. a√3 ; v = 150m/s.

C. a; v = 300m/s.    D. a√2 ; v = 100m/s.

Chọn A

Những điểm cách đều nhau liên tiếp (không kể bụng và nút) có cùng biên độ dao động sẽ cách nhau 1 khoảng nhỏ nhất là /4 và cùng biên độ .

→ λ = 4m → v = λ.f = 200m/s

Câu 7: Một sợi dây AB = 120 cm, hai đầu cố định, khi có sóng dừng ổn định xuất hiện 5 nút sóng. O là trung điểm dây, M, N là hai điểm trên dây nằm về hai phía của O, với OM = 5cm, ON = 10 cm, tại thời điểm t vận tốc của M là 60 cm/s thì vận tốc của N là

A. -60√3 cm/s    B. 60√2 cm/s    C. 30√3 cm/s    D. - 60cm/s

Chọn A

Dây AB = 120 cm, hai đầu cố định, khi có sóng dừng ổn định xuất hiện 5 nút sóng nên trên dây có 4 bó sóng → 120cm = 4λ/2 → λ = 60cm.

O là trung điểm dây AB nên OA = 60cm = 2.λ/2 nên O là nút thứ 3 tính từ nút A.

Ta có: OM = 5cm < λ/4 = 15cm; ON = 10cm < λ/2 nên M và N dao động ngược pha (M và N nằm trên 2 bó liền kề).

Cách giải Bài tập về phương trình sóng dừng hay, chi tiết (Tìm li độ, biên độ, trạng thái dao động)

Câu 8: Một sóng dừng trên dây có bước sóng λ và N là một nút sóng. Hai điểm P, Q nằm về 2 phía của N và có vị trí cân bằng cách N những đoạn lần lượt là λ/8 và λ/12 . Ở cùng một thời điểm mà hai phần tử tại đó có li độ khác không thì tỉ số giữa li độ của P so với Q là

Cách giải Bài tập về phương trình sóng dừng hay, chi tiết (Tìm li độ, biên độ, trạng thái dao động)

Chọn C

Ta nhận thấy M1 và M2 dao động ngược pha.

Suy ra:

Cách giải Bài tập về phương trình sóng dừng hay, chi tiết (Tìm li độ, biên độ, trạng thái dao động)

Câu 9: Một sóng dừng trên một sợi dây có dạng u = 40sin(2,5πx)cosωt (mm), trong đó u là li độ tại thời điểm t của một điểm M trên sợi dây mà vị trí cân bằng của nó cách gốc tọa độ O đoạn x (x tính bằng mét, t đo bằng s). Khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai lần liên tiếp để một chất điểm trên bụng sóng có độ lớn li độ bằng biên độ của điểm N cách nút sóng 10cm là 0,125s. Tốc độ truyền sóng trên sợi dây là:

A. 320cm/s    B. 160cm/s    C. 80cm/s    D. 100cm/s

Chọn B

Bước sóng của sóng truyền trên dây: 2,5πx = 2πx/λ => λ = 2/2,5 = = 0,8m = 80cm

Biên độ của phần từ tại N: AN = 40|sin(2π.10/80)| = 20√2mm

Cách giải Bài tập về phương trình sóng dừng hay, chi tiết (Tìm li độ, biên độ, trạng thái dao động)

Từ hình vẽ ta cũng tính được góc quét ∆φ ứng với khoảng thời gian ngắn nhất li độ của B bằng biên độ của C là: ∆φ1 = 2 arccos 20√2/40 = π/2 = ∆φ2 ứng với khoảng thời gian là T/4

Suy ra T/4 = 0,125s → T = 0,5s.

Ta tính được tốc độ truyền sóng trên dây: v = λ/T = 160cm/s.

Câu 10: Sóng dừng xuất hiện trên sợi dây với tần số f = 5Hz. Gọi thứ tự các điểm thuộc dây lần lượt là O, M, N, P sao cho O là điểm nút, P là điểm bụng sóng gần O nhất (M, N thuộc đoạn OP). Khoảng thời gian giữa 2 lần liên tiếp để giá trị li độ của điểm P bằng biên độ dao động của điểm M, N lần lượt là 1/15s và 1/20s. Biết khoảng cách giữa 2 điểm M, N là 0,2cm. Bước sóng của sợi dây là:

A. 5,6cm    B. 4,8 cm    C. 1,2cm     D. 2,4cm

Chọn B

Biên độ của phần tử tại M và N lần lượt là:

AM = 2Asin(2πOM/λ) ; AN = 2Asin(2πON/λ) (1)

Vì OM < ON < OP = λ/4 nên AM < AN.

Cách giải Bài tập về phương trình sóng dừng hay, chi tiết (Tìm li độ, biên độ, trạng thái dao động)

Sử dụng vòng tròn lượng giác biểu diễn dao động điều hòa của phần tử bụng P.

Các góc quét α, β tương ứng với các khoảng thời gian 1/15s và 1/20s

→ α = ω.∆t1 = 10π.1/15 = 2π/3; β = ω.∆t2 = 10π.1/20 = π/2.

Mặt khác: Cách giải Bài tập về phương trình sóng dừng hay, chi tiết (Tìm li độ, biên độ, trạng thái dao động)

Từ (1) suy ra OM = λ/12; ON = λ/8

Khoảng cách giữa 2 điểm M, N là 0,2cm → ON – OM = λ/24 = 0,2cm → λ = 4,8cm.

Câu 11: M, N, P là 3 điểm liên tiếp nhau trên một sợi dây mang sóng dừng có cùng biên độ 4cm, dao động tại P ngược pha với dao động tại M. MN = 2NP = 20cm. Cứ sau khoảng thời gian ngắn nhất là 0,04s sợi dây lại có dạng một đoạn thẳng. Tính tốc độ dao động tại điểm bụng khi sợi dây có dạng một đoạn thẳng.

A. 6,28m/s     B. 62,8cm/s    C. 125,7cm/s    D. 3,14m/s

Chọn D

Vì M, N, P liên tiếp nhau có cùng biên độ, P ngược pha với M, MN = 20cm > NP = 10cm nên M và N nằm trên cùng 1 bó, P nằm trên bó tiếp theo. Khi đó N và P đối xứng nhau qua nút C gần nhất ở giữa N và P.

→ NC = CP = NP/2 = 5cm.

N và M đồng pha trên 1 bó nên N và M đối xứng nhau qua bụng B gần nhất.

→ NB = MB = MN/2 = 10cm

Mặt khác BC = NB + NC = 15cm = λ/4 → λ = 60cm.

Ta có biên độ sóng tại N là: AN = 2A sin(2πNC/λ) = 2A sin2π.5/60 = A = 4cm

Khoảng thời gian ngắn nhất sợi dây lại có dạng một đoạn thẳng là: T/4 = 0,04s

→ T = 0,16s → ω = 12,5π rad/s.

Tốc độ dao động tại điểm bụng khi sợi dây có dạng một đoạn thẳng là vmax.

vmax =2A.ω = 100π cm/s = 3,14m/s.

Câu 12: Sóng dừng tạo trên một sợi dây đàn hồi có chiều dài l. Người ta thấy trên dây có những điểm dao động cách nhau l1 thì dao động với biên độ 4 cm, người ta lại thấy những điểm cứ cách nhau một khoảng l2 (l2 > l1) thì các điểm đó có cùng biên độ a. Giá trị của a là:

A. 4√2 cm    B. 4cm    C. 2√2 cm    D. 2cm

Chọn A

- Các điểm bụng có cùng biên độ Amax = 2A nằm cách đều nhau những khoảng d = λ/2.

- Những điểm cách đều nhau liên tiếp (không kể bụng và nút) có cùng biên độ dao động sẽ cách nhau 1 khoảng nhỏ nhất là λ/4 và cùng biên độ A√2 .

Như vậy vì l2 > l1 nên l2 = λ/2, l1 = λ/4.

Suy ra: a = Amax = 2A, A√2 = 4cm => A = 2√2cm => a = 4√2cm

Câu 13: Sóng dừng tạo trên một sợi dây đàn hồi có chiều dài l. Người ta thấy trên dây có những điểm dao động cách nhau l1 thì dao động với biên độ a1 người ta lại thấy những điểm cứ cách nhau một khoảng l2 thì các điểm đó có cùng biên độ a2 (a2 < a1) Tỉ số l2/l1 là:

A. 2    B. 1/2     C. 1     D. 0,25

Chọn B

- Các điểm bụng có cùng biên độ Amax = 2A nằm cách đều nhau những khoảng d = λ/2.

- Những điểm cách đều nhau liên tiếp (không kể bụng và nút) có cùng biên độ dao động sẽ cách nhau 1 khoảng nhỏ nhất là λ/4 và cùng biên độ A√2 .

Theo đề bài a2 < a1 nên a2 = A√2 và a1 = Amax = 2A.

Suy ra l1 = λ/2, l2 = λ/4

=> l2/l1 = 1/2

Câu 14: Sóng dừng tạo trên một sợi dây đàn hồi có chiều dài l với hai đầu tự do. Người ta thấy trên dây có những điểm dao động cách nhau l1 = 1/16 thì dao động với biên độ a1 người ta lại thấy những điểm cứ cách nhau một khoảng l2 thì các điểm đó có cùng biên độ a2 (a2 > a1) Số điểm bụng trên dây là:

A. 9    B. 8    C. 5     D. 4

Chọn A

- Các điểm bụng có cùng biên độ Amax = 2A nằm cách đều nhau những khoảng d = λ/2.

- Những điểm cách đều nhau liên tiếp (không kể bụng và nút) có cùng biên độ dao động sẽ cách nhau 1 khoảng nhỏ nhất là λ/4 và cùng biên độ A√2 .

Ta có a2 > a1 nên l1 = l/16 = λ/4; l2 = λ/2 => l = 4λ

Sợi dây đàn hồi có chiều dài l với hai đầu tự do và l = 4λ = λ/4 + 7 λ/2 + λ/4

Số bụng sóng trên dây (tính cả hai đầu) là 7 + 2 = 9 bụng.

Câu 15: Một sợi dây AB đàn hồi căng ngang dài l = 120cm, hai đầu cố định đang có sóng dừng ổn định. Bề rộng của bụng sóng là 4a. Khoảng cách gần nhất giữa hai điểm dao động cùng pha có cùng biên độ bằng a là 20 cm. Số bụng sóng trên AB là

A. 4.     B. 8.     C. 6.     D. 10.

Chọn A

Bề rộng của bụng sóng là 4a nên nguồn sóng dao động với biên độ là a.

Hai điểm gần nhau nhất dao động cùng pha có cùng biên độ bằng a là 20 cm nên hai điểm này đối xứng nhau qua bụng, do đó khoảng cách từ hai điểm này đến bụng gần nhất là:

d = 20/2 = 10cm.

Biên độ các điểm này: AN = 2a cos(2π.10/λ) = a

> 20π/λ = π/3 => λ = 60 cm

Một sợi dây AB đàn hồi có hai đầu cố định và l = 120cm = 4λ/2 nên trên dây có 4 bụng sóng.

Câu 16: Cho sợi dây một đầu cố định, một đầu còn lại gắn với cần rung phát sóng dao động với phương trình uo = acos(ωt + φ) cm. Trên dây có sóng dừng ổn định với bước sóng λ. Hai điểm M và N trên dây cách nhau 3,75λ có biên độ lần lượt là AM = 6cm; AN = 8cm. Tìm biên độ của nguồn phát ra sóng đó ?

A. a = 10cm.     B. a = 7,5cm.     C. a = 11cm.     D. a = 5cm

Chọn D

Gọi d1, d2 lần lượt là khoảng cách từ M, N tới đầu nút cố định, ta có: d1 – d2 = 3,75λ.

Biên độ của bụng sóng là Ab = 2a.

Biên độ sóng dừng tại M và N lần lượt là:

Cách giải Bài tập về phương trình sóng dừng hay, chi tiết (Tìm li độ, biên độ, trạng thái dao động)

Do đó ta được:

Cách giải Bài tập về phương trình sóng dừng hay, chi tiết (Tìm li độ, biên độ, trạng thái dao động)

Câu 17: Một sợi dây đàn hồi căng ngang, đang có sóng dừng 2 đầu cố định. Trên dây, A là một nút, B là điểm bụng gần A nhất với AB = 15cm. M là một điểm trên dây cách B là 10cm. Biết rằng trong một chu kỳ sóng, khoảng thời gian mà độ lớn vận tốc dao động của phần tử B lớn hơn vận tốc dao động cực đại của phần tử M là 2/3s. Tốc độ truyền sóng trên dây là:

A . 240cm/s     B. 120cm/s     C. 60cm/s     D. 80cm/s

Chọn C

A là một nút, B là điểm bụng gần A nhất với AB = 15cm → λ/4 = 15cm → λ = 60cm.

Biên độ dao động của M là:

Cách giải Bài tập về phương trình sóng dừng hay, chi tiết (Tìm li độ, biên độ, trạng thái dao động)

Vận tốc dao động cực đại của phần tử M là: vmax(M) = AM.ω = vmax(B)/2.

Cách giải Bài tập về phương trình sóng dừng hay, chi tiết (Tìm li độ, biên độ, trạng thái dao động)

Sử dụng vòng tròn lượng giác biểu diễn vận tốc dao động vB của phần tử sóng tại B, ta thấy khoảng thời gian trong một chu kỳ dao động sóng mà độ lớn vận tốc dao động của phần tử B lớn hơn vận tốc dao động cực đại của phần tử M ứng với 2 cung quét như trên hình.

Từ hình học ta suy ra khoảng thời gian thỏa mãn là 2T/3 = 2/3s → T = 1s.

Tốc độ truyền sóng trên dây là: v = λ/T = 60cm/s.

Câu 18: (Quốc gia – 2014) Trên một sợi dây đàn hồi đang có sóng dừng ổn định với khoảng cách giữa hai nút sóng liên tiếp là 6 cm. Trên dây có những phần tử sóng dao động với tần số 5 Hz và biên độ lớn nhất là 3 cm. Gọi N là vị trí của một nút sóng; C và D là hai phần tử trên dây ở hai bên của N và có vị trí cân bằng cách N lần lượt là 10,5 cm và 7 cm. Tại thời điểm t1, phần tử C có li độ 1,5 cm và đang hướng về vị trí cân bằng. Vào thời điểm t2 = t1 + 79/40s , phần tử D có li độ là

A. – 0,75 cm.    B. 1,50 cm.    C. – 1,50 cm.    D. 0,75 cm.

Chọn B

Bước sóng: λ = 2.6 = 12cm; Tần số góc: ω = 10π rad/s

Biên độ dao động của các điểm cách nút một đoạn d khi có sóng dừng được xác định bởi A = Ab|sin 2πd/λ| với Ab là biên độ dao động của điểm bụng, vậy ta có:

Cách giải Bài tập về phương trình sóng dừng hay, chi tiết (Tìm li độ, biên độ, trạng thái dao động)

Hai điểm C và D thuộc các bó sóng đối xứng nhau qua nút N do vậy luôn dao động ngược pha nhau.

Thời điểm t1 C đang ở li độ uC = + √2/2 Ac => uD = -√2/2 AD

Vào thời điểm t2 = t1 + 79/40s , góc quét tương ứng giữa hai thời điểm t1 và t2 là:

∆φ = ω.∆t = 10π.79/40 = 18π + π + 0,75π (rad).

→ li độ sóng tại C ở thời điểm t2 là: uC = AC = 1,5 cm.

Vì C và D dao động ngược pha nên khi đó uD = -AD = -1,5cm

Cách giải Bài tập về phương trình sóng dừng hay, chi tiết (Tìm li độ, biên độ, trạng thái dao động)

Câu 19: (QG-2015): Trên một sợi dây OB căng ngang, hai đầu cố định đang có sóng dừng với tần số f xác định. Gọi M, N và P là ba điểm trên dây có vị trí cân bằng cách B lần lượt là 4 cm, 6 cm và 38 cm. Hình vẽ mô tả hình dạng sợi dây tại thời điểm t1 (đường 1) và t2 = t1 + 11/12f (đường 2). Tại thời điểm t1, li độ của phần tử dây ở N bằng biên độ của phần tử dây ở M và tốc độ của phần tử dây ở M là 60 cm/s. Tại thời điểm t2, vận tốc của phần tử dây ở P là

A. 60 cm/s.    B. 20√3 cm/s.    C. -20√3 cm/s.    D. - 60 cm/s.

Cách giải Bài tập về phương trình sóng dừng hay, chi tiết (Tìm li độ, biên độ, trạng thái dao động)

Chọn D

Theo hình vẽ ta có: λ = 24 cm.

Tính biên độ dao động của các điểm M, N, P: A = Ab.sin|2πx/λ|

(với Ab: biên độ của điểm bụng, x là khoảng cách từ điểm xét tới điểm nút bất kỳ).

Thay số, ta được: AM = Ab√3/2; AN = Ab; Ap = Ab/2

Dễ dàng thấy: N và M cùng pha, N và P ngược pha.

Tại thời điểm t1: li độ của điểm N bằng biên độ M thì tốc độ dao động của M bằng 60 cm/s:

uN = AM = Ab√3/2

=> uM = AM/AN. uN = 3/4 Ab (vì N và M cùng pha)

Cách giải Bài tập về phương trình sóng dừng hay, chi tiết (Tìm li độ, biên độ, trạng thái dao động)

Tại thời điểm t2 (sau t1 là 11T/12 ) hình dạng sợi dây (đường 2) có dạng như hình vẽ bên.

Cách giải Bài tập về phương trình sóng dừng hay, chi tiết (Tìm li độ, biên độ, trạng thái dao động)

Tại thời điểm t1 các phần tử M, N, P đang chuyển động theo chiều đi ra vị trí biên tương ứng. Vec tơ quay mô tả chuyển động của N, P tại thời điểm t1 và t2:

Cách giải Bài tập về phương trình sóng dừng hay, chi tiết (Tìm li độ, biên độ, trạng thái dao động)

Vậy ở thời điểm t2, điểm P có li độ là up = -Ab/4 và P đang đi theo chiều âm.

Suy ra:

Cách giải Bài tập về phương trình sóng dừng hay, chi tiết (Tìm li độ, biên độ, trạng thái dao động)

Câu 20: (Quốc gia – 2016). Trên một sợi dây đàn hồi đang có sóng dừng ổn định. Sóng truyền trên dây có tần số 10 Hz, bước sóng 6 cm. Trên dây, hai phần tử M và N có vị trí cân bằng cách nhau 8 cm, M thuộc một bụng sóng dao động với biên độ 6 mm. Lấy π2 = 10. Tại thời điểm t, phần tử M đang chuyển động với tốc độ 6π cm/s thì phần tử N chuyển động với gia tốc có độ lớn là

A. 6√3 m/s2.    B. 6√2 m/s2.    C. 6 m/s2.    D. 3 m/s2.

+ Từ giả thuyết của bài toán ta có thể xác định được điểm N cách nút một gần nhất một đoạn λ/12, do đó N sẽ dao động với biên độ là AN = 0,5A = 3mm.

+ Tại thời điểm t, M đang chuyển động với tốc độ vN = vNmax = 6π cm/s. Biểu diễn tương ứng trên đường tròn. Hai điểm M và N nằm trên hai bó sóng đối xứng với nhau qua một nút nên dao động ngược pha.

+ Từ hình vẽ ta có thể tính được, tại thời điểm t, điểm N có gia tốc:

Cách giải Bài tập về phương trình sóng dừng hay, chi tiết (Tìm li độ, biên độ, trạng thái dao động)

Xem thêm các dạng bài tập Vật Lí lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

song-co-va-song-am.jsp

Các loạt bài lớp 12 khác
Khóa học 12