Bài 10 trang 72 Chuyên đề Toán 12 Chân trời sáng tạo

Sách luyện 30 đề thi thử THPT năm 2025 mới trên Shopee Mall

Giải Chuyên đề Toán 12 Bài tập cuối chuyên đề 3 - Chân trời sáng tạo

Bài 10 trang 72 Chuyên đề Toán 12: Cô An thiết kế một đề thi trắc nghiệm gồm m câu hỏi, mỗi câu hỏi có k lựa chọn. Mỗi câu trả lời đúng được 1 điểm. Cô An muốn thiết kế sao cho nếu một học sinh lựa chọn phương án trả lời cho mỗi câu hỏi một cách ngẫu nhiên và độc lập với nhau thì điểm số trung bình của học sinh đó sẽ là 10 với độ lệch chuẩn ít nhất là $2 \sqrt{2} .$ Cô An cũng muốn số phương án trả lời k ít nhất có thể. Vậy cô An nên thiết kế đề với m và k bằng bao nhiêu?

Quảng cáo

Lời giải:

Gọi T là phép thử “Chọn ngẫu nhiên một câu hỏi”. Theo đề bài, phép thử T được lặp lại m lần một cách độc lập. Gọi A là biến cố “Trả lời đúng câu hỏi đó”. Ta có $P (A) = \frac{1}{k} .$

Gọi X là số câu trả lời đúng trong tổng số m câu hỏi.

Do phép thử T được thực hiện m lần một cách độc lập với nhau và xác suất xảy ra biến cố A trong mỗi lần thử đều bằng $\frac{1}{k}$ nên X là biến cố ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức $B (m; \frac{1}{k}) .$

Kì vọng của X là: $E (X) = m \cdot \frac{1}{k} .$

Phương sai của X là: $V (X) = m \cdot \frac{1}{k} \cdot (1 - \frac{1}{k}) .$

Theo bài, ta có: $m \cdot \frac{1}{k} = 10$ và $m \cdot \frac{1}{k} \cdot (1 - \frac{1}{k}) \geq {(2 \sqrt{2})}^{2}$

Suy ra $1 - \frac{1}{k} \geq 0, 8 \Leftrightarrow \frac{1}{k} \leq 0, 2 \Leftrightarrow k \geq 5.$

Mà cô An muốn số phương án trả lời k ít nhất có thể nên ta lấy k = 5.

Khi đó, $m = 10 : \frac{1}{k} = 10 : \frac{1}{5} = 50.$

Vậy m = 50 và k = 5.

Quảng cáo

Lời giải bài tập Chuyên đề Toán 12 Bài tập cuối chuyên đề 3 hay, chi tiết khác:

Quảng cáo

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Sách VietJack thi THPT quốc gia 2024 cho học sinh 2k6:

Săn shopee siêu SALE :

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official