Công thức định luật phóng xạ lớp 12 (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức định luật phóng xạ lớp 12 trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về Công thức định luật phóng xạ từ đó học tốt môn Vật Lí 12.

Công thức định luật phóng xạ lớp 12 (hay, chi tiết)

1. Công thức định luật phóng xạ

Trong quá trình phân rã, số hạt nhân phóng xạ còn lại giảm theo thời gian theo quy luật hàm mũ: $N=N_0\cdot e^{-\lambda t}=N_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}}$

Trong đó:

• N_o là số hạt nhân ban đầu (t=0).

• N là số hạt nhân còn lại (ở thời điểm t).

• T là chu kì bán rã của hạt nhân.

• $\lambda =\frac{\ln 2}{ \text{T}}$ gọi là hằng số phóng xạ.

→ Số hạt nhân đã bị phân rã trong thời gian t là:

${\text{N}}_{\text{pr}}={\text{N}}_{\text{o}}-\text{N}={\text{N}}_{\text{o}}\left(1-2^{-\frac{\text{t}}{\text{T}}}\right)$$={\text{N}}_{\text{o}}\left(1-{\text{e}}^{-\lambda \text{t}}\right)$

2. Ví dụ minh họa công thức định luật phóng xạ

Ví dụ 1: ${}_{84}^{210}\text{Po}$ là một đồng vị phóng xạ có chu kì bán rã là 138,4 ngày. Xét một mẫu chất đang chứa N₀ hạt nhân ${}_{84}^{210}\text{Po}$ (tại thời điểm ban đầu). Sau bao lâu kể từ thời điểm ban đầu thì tỉ số giữa số hạt nhân ${}_{84}^{210}\text{Po}$ đã phân rã thành hạt nhân khác và số hạt nhân ${}_{84}^{210}\text{Po}$ còn lại bằng 7?

A. 415,2 ngày.               

B. 387,5 ngày.                

C. 34,6 ngày.                  

D. 968,8 ngày.

Hướng dẫn:

Đáp án đúng là A

Khoảng thời gian cần tìm là:

$\frac{\Delta N_{\text{t}}}{N_{\text{t}}}=\frac{N_0\left(1-2^{-\frac{\text{t}}{\text{T}}}\right)}{N_0{2}^{-\frac{\text{t}}{\text{T}}}}=2^{\frac{\text{t}}{\text{T}}}-1=7$$\Rightarrow t=3T=3.138,4=415,2\text{ ngày }$

Ví dụ 2. Ban đầu có 10 g ${}_{88}^{226}\text{Ra}$ là chất phóng xạ có chu kì bán rã 3,8 ngày. Khối lượng chất phóng xạ còn lại sau 22,8 ngày

A. 1,25 g.                   

B. 0,3125 g.               

C. 0,15625 g.             

D. 2,5 g.

Hướng dẫn

• Khối lượng chất phóng xạ còn lại sau 22,8 ngày là

$\text{m}={\text{m}}_0\cdot 2^{-\frac{\text{t}}{\text{T}}}={10.2}^{-\frac{22,8}{3,8}}=0,15625 \text{g}$

Ví dụ 3: Ban đầu có 18 g ${}_{84}^{210}\text{Po}$ là chất phóng xạ có chu kì bán rã 138 ngày. Khối lượng chất phóng xạ còn lại sau 200 ngày

A. 6,59 g.                   

B. 4,22 g.                   

C. 8,36 g.                   

D. 12,98 g.

Hướng dẫn

Khối lượng chất phóng xạ còn lại sau 200 ngày là

$\text{m}={\text{m}}_0\cdot 2^{-\frac{\text{t}}{\text{T}}}=18\cdot 2^{-\frac{200}{138}}=6,59 \text{g}$

Ví dụ 4. Ban đầu có 0,2 mol ${}_{15}^{32}\text{P}$ là chất phóng xạ $\beta$^- với chu kì bán rã 14,2 ngày. Số hạt nhân P còn lại sau 28,4 ngày. Lấy N_A =6,0221.10²³ (mol).

A. 3,11.10²².              

B. 2,03.10²¹.              

C. 4,27.10²²               

D. 3,011.10²².

Hướng dẫn

• Số mol hạt nhân P sau 28,4 ngày là:

$\text{n}={\text{n}}_0\cdot 2^{-\frac{\text{t}}{\text{T}}}=0,2\cdot 2^{-\frac{28,4}{14,2}}$$=0,05( \text{mol})$

• Số hạt nhân phóng xạ P còn lại sau 28,4 ngày là:

$\text{N}={\text{nN}}_{\text{A}}=3,{011.10}^{22}$

Ví dụ 5. Một chất phóng xạ ban đầu có N₀ hạt nhân. Sau 1 năm, còn lại một phần ba số hạt nhân ban đầu chưa phân rã. Sau 1 năm nữa, số hạt nhân còn lại chưa phân rã của chất phóng xạ đó là

A. $\frac{{\text{N}}_0}{16}.$

B. $\frac{{\text{N}}_0}{9}.$

C. $\frac{{\text{N}}_0}{4}.$

D. $\frac{{\text{N}}_0}{6}.$

Hướng dẫn

$\Rightarrow N=N_0\cdot 2^{\frac{\text{t}}{\text{T}}}$$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{\text{t}}_1=1\end{array}\right.$$\Rightarrow {\text{N}}_1={\text{N}}_0\cdot 2^{-\frac{t_1}{ \text{T}}}$$\Rightarrow {\text{N}}_1=\frac{N_0}{3}$$\Rightarrow \frac{1}{3}=2^{-\frac{1}{ \text{T}}}{t}_2=1$$\Rightarrow N_2=N_1\cdot 2^{\frac{t_2}{ \text{T}}}=\frac{N_0}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{N_0}{9}$

→ Đáp án B.

Ví dụ 6. Đồng vị phóng xạ ${}_{88}^{226}\text{Ra}$ phân rã $\alpha$ và biến đổi thành hạt nhân X. Lúc đầu Ra nguyên chất có khối lượng 0,064 g. Hạt nhân Ra có chu kì bán rã là 1517 năm. Số hạt nhân X tạo thành sau 786 năm là bao nhiêu?

A. 1,19.10²⁰ hạt.         

B. 4,57.10¹⁵ hạt.         

C. 4.10¹⁶ hạt.              

D. 2,28.10¹⁶ hạt.

Hướng dẫn

• Số hạt nhân Ra lúc đầu là:

$N_{0_{\text{Ra}}}=\left(\frac{m_{0_{R_a}}}{A_{\text{Ra}}}\right)N_A=\left(\frac{0,064}{226}\right)\cdot 6,023\cdot {10}^{23}$$=1,705\cdot {10}^{20}$

• Phương trình phóng xạ: ${}_{88}^{226}\text{Ra}{\to }_2^4\text{He}{+}_{86}^{224}\text{X}$

$\Rightarrow$ Số hạt nhân X tạo thành bằng sỗ hạt nhân mẹ (Ra) bị phân rã

${\text{N}}_{\text{X}}=\Delta {\text{N}}_{\text{Ra}}={\text{N}}_{{\text{O}}_{\text{Ra}}}\cdot 2^{-\frac{\text{t}}{\text{T}}}=1,705\cdot {10}^{20}\cdot 2^{-\frac{786}{1517}}$$=1,19\cdot {10}^{20}\text{ hat }$

→ Đáp án A.

3. Bài tập tự luyện công thức định luật phóng xạ

Câu 1: Một mẫu chất phóng xạ X phân rã theo thời gian và phát ra các hạt $\alpha$. Số lượng các hạt a này được ghi nhận bởi một máy thu (ống Geiger-Muller) và được biểu diễn theo thời gian t như đồ thị ở

Hằng số phóng xạ của chất phóng xạ là

A. 0,081 s^-1.                   

B. 0,173 s^-1.                   

C. 0,231 s^-1.                   

D. 0,058 s^-1.

Hướng dẫn:

Đáp án đúng là A

$N_{\alpha }=N_0\cdot \left(1-2^{-\frac{t}{ \text{T}}}\right)$$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}3=N_0\cdot \left(1-2^{-\frac{2}{ \text{T}}}\right)\\ 15=N_0\cdot \left(1-2^{-\frac{17}{ \text{T}}}\right)\end{array}\right.$$\Rightarrow \frac{3}{15}=\frac{1-2^{-\frac{2}{ \text{T}}}}{1-2^{-\frac{17}{ \text{T}}}}$$\Rightarrow T\approx 8,56 \text{s}$

$\Rightarrow \lambda =\frac{\ln 2}{T}=\frac{\ln 2}{8,56}\approx 0,081 {\text{s}}^{-1}$

Câu 2. Đồng vị ${}_{11}^{24}\text{Na}$ phóng xạ $\beta$^- với chu kì bán rã T = 15 giờ. Hỏi có bao nhiêu hạt b^- được giải phóng trong 1 giờ từ 10^-6 g đồng vị Na?

A. 2,39.10¹⁶ hạt.         

B. 2,51.10¹⁶ hạt.         

C. 11,34.10¹⁵ hạt.       

D. 1,134.10¹⁵ hạt.

Hướng dẫn

- Phương trình phóng xạ: ${}_{11}^{24}\text{Na}{\to }_{-1}^0\text{e}{+}_{12}^{24}\text{Mg}$

- Số hạt b^- được sinh ra bằng số hạt nhân Na mất đi.

- Số hạt nhân Na có trong ${10}^{-6} \text{gNa}$ là: ${\text{N}}_0=\frac{\text{m}}{\text{A}}{\text{N}}_{\text{A}}=\frac{{10}^{-6}}{24}\cdot 6,022\cdot {10}^{23}=2,51\cdot {10}^{16}$ hạt.

- Số hạt nhân Na mất đi sau 1 = số hạt $\beta$ - được giải phóng trong 1 là:

$\Delta \text{N}={\text{N}}_0\left(1-\frac{1}{2^{\frac{\text{t}}{\text{T}}}}\right)=2,{51.11}^{16}\left(1-\frac{1}{2^{\frac{1}{15}}}\right)$$=1,{133.10}^{15}\text{ hat }$

Câu 3. Polonium ${}_{84}^{210}\text{Po}$ là một chất phóng xạ có chu kì bán rã 140 ngày. Hạt nhân polonium phóng xạ sẽ biến thành hạt nhân Pb và kèm theo một hạt a. Ban đầu có 42 mg chất phóng xạ Polonium. Tính khối lượng chì sinh ra sau 280 ngày.

A. 2,12 mg.                

B. 20,8 mg.                

C. 30,9 mg.                

D. 15,7 mg.

Hướng dẫn

- Số mol hạt nhân phóng xạ polonium ban đầu là ${\text{n}}_{\text{o}}=\frac{42}{210}\cdot {10}^{-3}=2\cdot {10}^{-4} \text{mol}$

- Số mol hạt nhân phóng xạ polonium còn lại là $\text{n}={\text{n}}_{\text{o}}\cdot 2^{-280/140}=5\cdot {10}^{-5} \text{mol}$

$\Rightarrow$ Số hạt nhân polonium bị mất đi là ${\text{n}}_{\text{px}}={\text{n}}_{\text{o}}-\text{n}=1,{5.10}^{-4} \text{mol}$.

- Số hạt nhân chì được tạo thành bằng số hạt nhân poloni mất đi

${\text{n}}_{\text{Pb}}={\text{n}}_{\text{px}}=1,{5.10}^{-4} \text{mol. }$

$\Rightarrow$ Khối lượng chì được tạo thành là: ${\text{m}}_{\text{Pb}}={\text{n}}_{\text{Pb}}\cdot 206=30,9\cdot {10}^{-3} \text{g}=30,9\text{mg}$

Câu 4. Uranium $\left({}_{92}^{238}\text{U}\right)$ có chu kì bán rã 4,5.10⁹ năm, phóng xạ a thành Thorium (Th). Hỏi sau 2 chu kì bán rã có bao nhiêu gam Thorium được tạo thành? Biết rằng ban đầu Uranium có 23,8 g.

A. 17,55 g.                 

B. 12,2 g.                   

C. 20,6 g.                   

D. 10,6 g.

Hướng dẫn

Lượng Thorium được tạo thành sau 2 chu kì bán rã là

${\text{m}}_{\text{Th}}=\Delta \text{m}={\text{m}}_0\left(1-2^{-\frac{\text{t}}{\text{T}}}\right)$$=\frac{{\text{A}}_{\text{Th}}}{{\text{A}}_{\text{U}}}{\text{m}}_{0\text{U}}\left(1-2^{-\frac{\text{t}}{\text{T}}}\right)=\frac{234}{238}\cdot 23,8\left(1-2^{-2}\right)$$=17,55 \text{g}$

Câu 5. Giả sử tại thời điểm ban đầu t=0, có một mẫu chất phóng xạ X nguyên chất, có chu kì bán rã T biến thành hạt nhân bền Y. Tại thời điểm t, tỉ số hạt nhân Y và X là 2014/2015. Tại thời điểm t₂ = t₁ +T, tỉ lệ đó là

A. $\frac{6043}{2015}.$

B. $\frac{2016}{2015}.$

C. $\frac{6043}{2014}.$

D. $\frac{2015}{6043}.$

Hướng dẫn

$\left\{\begin{array}{l}\frac{2014}{2015}=2^{\frac{t_1}{T}}-1\end{array}\right.$$\Rightarrow 2^{\frac{t_1}{T}}=\frac{4029}{2015}\frac{N_Y}{N_X}=2^{\frac{t_2}{T}}-1=2^{\frac{t_1+T}{T}}-1=2\cdot 2^{\frac{t_1}{T}}-1$$=2\cdot \frac{4029}{2015}-1=\frac{6043}{2015}$

Câu 6. Một chất phóng xạ có chu kì bán rã T = 2 ngày. Tính hằng số phóng xạ của chất

phóng xạ đó.

A. 4 ms^-1.                   

B. 4 μs^-1.                    

C. 0,2 ms^-1.                 

D. 20 μs^-1.

Hướng dẫn

Áp dụng công thức tính hằng số phóng xạ $\lambda =\frac{\ln 2}{ \text{T}}=\frac{\ln 2}{2.86400}={4.10}^{-6}\left( {\text{s}}^{-1}\right)$

Câu 7: Đồng vị phóng xạ ${}_8^{15}\text{O}$ sau khoảng thời gian 244 s có 75% số hạt nhân ban đầu đã bị phân rã thành hạt nhân khác. Tính chu kì bán rã của ${}_8^{15}\text{O}$

Hướng dẫn

$N=N_0{2}^{\frac{t}{T}}$$\Rightarrow \Delta N=N_0-N=N_0\left(1-2^{\frac{-t}{T}}\right)$$\Rightarrow \frac{\Delta N}{N_0}=1-2^{\frac{-t}{T}}$$\Rightarrow \frac{75}{100}=1-2^{\frac{-t}{T}}$

$\Rightarrow \frac{1}{4}=2^{\frac{-t}{T}}$$\Rightarrow t=\frac{T}{2}=\frac{244}{2}=122 \text{s}$

Câu 8. Ban đầu có 12,0g cobalt ${}_{27}^{60}\text{Co}$ là chất phóng xạ ${\beta }^{-}$ với chu kì bán rã  T = 5,27 năm. Tính số nguyên tử đã phân rã sau thời gian t = 10, 54 năm.

Hướng dẫn:

$\Delta N=N_0(1-2^{-\frac{t}{T}})$$=\frac{12}{60}.6,{02.10}^{23}.(1-2^{-\frac{10,54}{5,27}})$$=9,{03.10}^{22}$ hạt nhân.

Câu 9. Một phòng thí nghiệm ban đầu mua về một mẫu polonium có chứa 2,1 g ${}_{84}^{210}\text{Po}$. Các hạt nhân ${}_{84}^{210}\text{Po}$ phóng xạ $\alpha$ và biến thành hạt nhân bền X. Xác định chu kì bán rã của ${}_{84}^{210}\text{Po}$, biết rằng trong 1 năm sau đó nó tạo ra 0,0084 mol khí He.

Hướng dẫn:

Số nguyên tử ${}_{84}^{210}\text{Po}$ tại thời điểm ban đầu:

$N_0=\frac{m_0}{A}{N}_A=\frac{2,1}{210}.6,{02.10}^{23}=6,{02.10}^{21}$ nguyên tử.

Số nguyên tử ${}_2^4\text{He}$ được tạo thành bằng số nguyên tử ${}_{84}^{210}\text{Po}$ đã phân rã:

$\Delta N=N_0-N=N_0\left(1-2^{-\frac{t}{T}}\right)$

Số nguyên tử ${}_2^4\text{He}$ được tạo thành trong một năm là:

$\Delta N=(0,0084 \text{mol})\cdot \left(6,02\cdot {10}^{23}\frac{\text{ nguyên tu }}{\text{mol}}\right)=5,06\cdot {10}^{21}$ nguyên tử

Ta có: $\left(1-2^{-\frac{1}{T}}\right)=\frac{\Delta N}{N_0}$$\Rightarrow 2^{-\frac{1}{T}}=1-\frac{\Delta N}{N_0}$$\Rightarrow -\frac{1}{T}={\log }_2\left(1-\frac{\Delta N}{N_0}\right)$

T = 0,378 năm = 138 ngày.

Câu 10. Trong một mẫu đá được các nhà du hành mang về Trái Đất từ Mặt Trăng, các nhà khoa học phát hiện có 75% potassium ${}_{19}^{40} \text{K}$ ban đầu đã biến thành argon ${}_{18}^{40}\text{Ar}.$ Biết rằng, khi được hình thành, mẫu đá không chứa argon; toàn bộ argon được tạo ra có nguồn gốc từ potassium và không hề bị thất thoát vào môi trường. Cho chu kì bán rã của ${}_{19}^{40} \text{K}$ là 1,25.10⁹ năm.

a) Xác định tuổi của mẫu đá đó.

b) Sau bao nhiêu lâu nữa thì lượng potassium ${}_{19}^{40} \text{K}$ còn lại bằng 6,25% lượng potassium ${}_{19}^{40} \text{K}$ ban đầu?

Hướng dẫn:

a) $\frac{\Delta N}{N_0}=1-2^{-\frac{t}{T}}=0,75$$\Rightarrow t=2T=2,{5.10}^9$ năm

Niên đại của mẫu đá là cách đây 2,50 tỉ năm.

b) $\frac{N}{N_0}=2^{-\frac{t}{T}}=6,25\%$$\Rightarrow t=4T={10.10}^9$

Sau 7,50.10⁹ năm, kể từ hiện tại, lượng potassium ${}_{19}^{40} \text{K}$ còn lại trong mẫu đá bằng 6,25% lượng ban đầu.

Câu 11. Hạt nhân ${}_{84}^{210}\text{Po}$ phóng xạ $\alpha$ tạo thành hạt nhân ${}_{82}^{206} \text{Pb}$ bền. Ban đầu, có một mẫu trong đó chứa cả hạt nhân ${}_{84}^{210}\text{Po}$ và hạt nhân ${}_{82}^{206} \text{Pb}$ Biết hạt nhân ${}_{82}^{206} \text{Pb}$ sinh ra được giữ lại hoàn toàn trong mẫu. Tại thời điểm ${\text{t}}_1$, tỉ số giữa số hạt nhân ${}_{82}^{206} \text{Pb}$ và số hạt nhân ${}_{84}^{210}\text{Po}$ còn lại trong mẫu là 1. Tại thời điểm ${\text{t}}_2=3,52{\text{t}}_1,$ tỉ số giữa số hạt nhân ${}_{82}^{206} \text{Pb}$ và số hạt nhân ${}_{84}^{210}\text{Po}$ còn lại trong mẫu là 7. Tỉ số giữa số hạt nhân ${}_{82}^{206} \text{Pb}$ và số hạt nhân ${}_{84}^{210}\text{Po}$ ban đầu là bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Gọi số hạt nhân ${}_{84}^{210}\text{Po}$ và số hạt nhân ${}_{82}^{206} \text{Pb}$ tại thời điểm ban đầu là $N_{0\text{Po}}$ và $N_{0 \text{Pb}}$

Sau thời gian t, số hạt nhân ${}_{84}^{210}\text{Po}$ còn lại là: $N=N_{0\text{Po}}{2}^{-\frac{t}{T}}$.

Số hạt nhân ${}_{82}^{206} \text{Pb}$ mới được tạo thành bằng số hạt nhân ${}_{84}^{210}\text{Po}$ đã mất đi:

$\Delta N=N_{0Po}\left(1-2^{-\frac{t}{T}}\right)$

Tại thời điểm $t_1$, tỉ số giữa số hạt nhân ${}_{82}^{206} \text{Pb}$ và số hạt nhân ${}_{84}^{210}\text{Po}$ là:

$\frac{N_{\text{0Pb}}+\Delta N_1}{N_1}=\frac{N_{\text{0Pb}}+N_{\text{0Po}}\left(1-2^{-\frac{t_1}{T}}\right)}{N_{\text{0Po}}{2}^{-\frac{t_1}{T}}}=1$

$\Rightarrow \frac{N_{\text{0Pb}}}{N_{\text{0Po}}}{2}^{\frac{t_1}{T}}+2^{\frac{t_1}{T}}-1=1$$\Rightarrow \left(\frac{N_{\text{0Pb}}}{N_{\text{0Po}}}+1\right)2^{\frac{t_1}{T}}=2$ (1)

Tại thời điểm t₂, tỉ số giữa số hạt nhân ${}_{82}^{206} \text{Pb}$ và số hạt nhân ${}_{84}^{210}\text{Po}$ là:

$\frac{N_{0Pb}+\Delta N_2}{N_2}=\frac{N_{\text{0Pb}}+N_{\text{0Po}}\left(1-2^{-\frac{t_2}{T}}\right)}{N_{\text{0Po}}{2}^{-\frac{t_2}{T}}}=7$

$\Rightarrow \frac{N_{\text{0Pb}}}{N_{\text{0Po}}}{2}^{\frac{t_2}{T}}+2^{\frac{t_2}{T}}-1=7$$\Rightarrow \left(\frac{N_{\text{0Pb}}}{N_{\text{0Po}}}+1\right)2^{\frac{t_2}{T}}=8$ (2)

Chia (2) cho (1) theo từng vế: $\frac{2^{\frac{t_2}{T}}}{2^{\frac{t_1}{T}}}=4$$\Rightarrow 2^{\frac{t_2-t_1}{T}}=4$$\Rightarrow 2^{\frac{2,52t_1}{T}}=2^2$$\Rightarrow \frac{2,52t_1}{T}=2$$\Rightarrow \frac{t_1}{T}=\frac{50}{63}$

Thay vào (1) ta tìm được tỉ số: $\frac{N_{\text{0Pb}}}{N_{\text{0Po}}}=0,154.$

Xem thêm các bài viết về công thức Vật Lí 12 sách mới hay, chi tiết khác:

• Công thức máy biến áp

• Công thức bước sóng điện từ

• Công thức cấu tạo hạt nhân

• Công thức độ hụt khối

• Công thức năng lượng liên kết – Năng lượng liên kết riêng

• Công thức độ phóng xạ

---