Công thức độ phóng xạ lớp 12 (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức độ phóng xạ lớp 12 trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về Công thức độ phóng xạ từ đó học tốt môn Vật Lí 12.

Công thức độ phóng xạ lớp 12 (hay, chi tiết)

1. Công thức độ phóng xạ

Đại lượng đặc trưng cho tính phóng xạ mạnh hay yếu của một lượng chất phóng xạ được gọi là độ phóng xạ: $\text{H}=-\frac{\text{dN}}{\text{dt}}=\lambda \text{N}={\text{H}}_0\cdot {\text{e}}^{-\lambda \text{t}}={\text{H}}_0\cdot 2^{-\frac{\text{t}}{\text{T}}}$

Trong đó: H₀ = lN₀

2. Ví dụ minh họa công thức độ phóng xạ

Ví dụ 1. Đồng vị phóng xạ ${}_{29}^{66}\text{Cu}$ có thời gian bán rã T=4,3 phút. Sau thời gian 12,9 phút độ phóng xạ của đồng vị này giảm đi là

A. 85%.                     

B. 87,5%.                   

C. 82,5%.                   

D. 80%.

Hướng dẫn

Áp dụng công thức $\frac{\Delta H}{H_0}=1-2^{-\frac{t}{T}}=1-2^{-\frac{12,9}{4,3}}=87,5\%$

Ví dụ 2. Tính khối lượng polonium ${}_{84}^{210}\text{Po}$ có độ phóng xạ 0,5(Ci). Biết chất phóng xạ ${}_{84}^{210}\text{Po}$ có chu kì bán rã 138 ngày và lấy N_A =6,022.10^-23(mol^-1).

A. 0,11 mg.                

B. 0,11 g.                   

C. 0,44 mg.                

D. 0,44 g.

Hướng dẫn

Áp dụng công thức $\text{H}=\lambda \text{N}$$\Rightarrow \text{H}=\frac{\ln 2}{ \text{T}}\cdot \text{N}$$\Rightarrow \text{N}=\frac{\text{HT}}{\ln 2}$

$\Rightarrow \text{m}=\frac{\text{N}}{{\text{N}}_{\text{A}}}\text{A}$$=\frac{\text{HTA}}{{\text{N}}_{\text{A}}\ln 2}=\frac{0,5\cdot 3,7\cdot {10}^{10}\cdot 138\cdot 86400\cdot 210}{6,022\cdot {10}^{23}\cdot \ln 2}$$=1,11\cdot {10}^{-4} \text{g}=0,111\text{mg}$

Ví dụ 3. Độ phóng xạ của 3 mg ${}_{27}^{60}\text{Co}$ là 3,41(Ci). Biết 1 năm có 365 ngày, số Avogadro là N_A = 6,022.10²³ mol^-1. Chu kì bán rã T của ${}_{27}^{60}\text{Co}$ là

A. 32 năm.                 

B. 15,6 năm.               

C. 8,4 năm.                 

D. 5,25 năm.

Hướng dẫn

Áp dụng công thức $\text{H}=\lambda \text{N}$$\Rightarrow \text{H}=\frac{\ln 2}{ \text{T}}\cdot \frac{\text{m}}{\text{A}}{\text{N}}_{\text{A}}$

$\Rightarrow \text{T}=\frac{\ln 2\cdot \text{m}\cdot {\text{N}}_{\text{A}}}{\text{HA}}$$=\frac{\ln 2\cdot 3\cdot {10}^{-3}\cdot 6,022\cdot {10}^{23}}{3,41\cdot 3,7\cdot {10}^{10}\cdot 60}=1,654\cdot {10}^8( \text{s})$$=5,25\text{ nam }$

Ví dụ 4. Chu kì bán rã của ${}_{84}^{210}\text{Po}$ là 140 ngày. Lúc đầu có 42 mg Po; số Avogadro là N_A = 6,022.10²³
mol^-1. Độ phóng xạ ban đầu nhận giá trị là

A. 6,8.10¹⁴ Bq.           

B. 6,8.10¹² Bq.           

C. 6,8.10⁹ Bq.             

D. 6,9.10¹² Bq.

Hướng dẫn

Áp dụng công thức: ${\text{H}}_0=\lambda {\text{N}}_0$

$\Rightarrow {\text{H}}_0=\frac{\ln 2}{ \text{T}}\cdot \frac{\text{m}}{\text{A}}{\text{N}}_{\text{A}}$$=\frac{\ln 2}{140\cdot 86400}\cdot \frac{42\cdot {10}^{-3}}{210}\cdot 6,022\cdot {10}^{23}$$=6,9\cdot {10}^{12} \text{Bq}$

3. Bài tập tự luyện công thức độ phóng xạ

Câu 1: Hiện nay đồng vị phóng xạ ${}_9^{18} \text{F}$ được sử dụng rộng rãi trong việc chẩn đoán các bệnh ung thư nhờ vào công nghệ chụp cắt lớp bằng phát xạ positron (Positron Emission Tomography – PET). Giả sử rằng một bệnh nhân được tiêm một lượng chất phóng xạ ${}_9^{18} \text{F}$ với độ phóng xạ là 350 Bq trước khi quá trình chụp ảnh diễn ra. Hỏi sau bao lâu kể từ thời điểm tiêm thì độ phóng xạ trong cơ thể bệnh nhân giảm còn 25 Bq? Biết rằng chu kì bán rã của ${}_9^{18} \text{F}$ là 110 ngày.

A. 378,92 ngày.             

B. 427,93 ngày.              

C. 418,81 ngày.              

D. 125,46 ngày.

Hướng dẫn:

Đáp án đúng là C

Khoảng thời gian cần tìm là: $H_{\text{t}}=H_0{2}^{-\frac{t}{ \text{T}}}$$\Rightarrow 25={350.2}^{-\frac{\text{t}}{110}}$$\Rightarrow t\approx 418,81\text{ ngày }$

Câu 2: Tính độ phóng xạ của một mẫu ${}_{19}^{38} \text{K}$ biết khối lượng của mẫu chất đó tại thời điểm đang xét là 10 g. Cho chu kì bán rã của ${}_{19}^{38} \text{K}$ là 7,64 phút.

Hướng dẫn

Ta có: $\text{H}=\lambda \text{N}=\frac{\ln 2}{ \text{T}}\cdot \frac{\text{m}}{\mu }\cdot {\text{N}}_{\text{A}}$$=\frac{\ln 2}{7,64\cdot 60}\cdot \frac{10}{38}\cdot 6,023\cdot {10}^{23}=2,4\cdot {10}^{20}( \text{Bq})$

Câu 3: Một mẫu chất phóng xạ có hằng số phóng xạ $\lambda$=0,1 s^-1), ban đầu chứa 5.10¹² hạt nhân chưa phân rã. Hãy xác định số hạt nhân phóng xạ đã phân rã và độ phóng xạ sau 30 giây kể từ lúc ban đầu.

Hướng dẫn

Số hạt nhân phóng xạ còn lại là: $\text{N}={\text{N}}_0{\text{e}}^{-\lambda t}={5.10}^{12}\cdot {\text{e}}^{-0,1.30}=2,{49.10}^{11}$ hạt

Số hạt nhân phóng xạ đã phân rã là: $\Delta \text{N}={\text{N}}_0-\text{N}={5.10}^{12}-2,{49.10}^{10}$$=4,{75.10}^{12}$

Độ phóng xạ sau 30 giây là: $\text{H}=\lambda \text{N}=0,1\cdot 2,49\cdot {10}^{11}$$=2,49\cdot {10}^{10} \text{Bq}$

Câu 4: Ta có thể xác định tuổi của các mẫu vật thông qua việc đo hoạt độ phóng xạ của đồng vị ${}_6^{14}\text{C}$ bên trong nó. Hãy xác định tuổi của một mẫu gỗ hóa thạch nếu tỉ số hoạt độ phóng xạ của đồng vị ${}_6^{14}\text{C}$ trong mẫu gỗ hóa thạch và trong một mẫu gỗ tươi có cùng khối lượng bằng 0,63.

Hướng dẫn

Ta có tỉ số hoạt độ phóng xạ: $\frac{H}{H_0}=0,63$$\Rightarrow \frac{m}{m_0}=0,63$$\Rightarrow \frac{m_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}}}{m_0}=0,63$$\Rightarrow 2^{-\frac{t}{T}}=0,63$

$\Rightarrow 2^{\frac{\text{t}}{5730}}=0,63$$\Rightarrow t=3819,5$ năm

Câu 5: Dược chất phóng xạ Flortaucipir (chứa ${}_9^{18} \text{F}$ là đồng vị phóng xạ $\beta$⁺) được tiêm vào bệnh nhân nhằm chụp ảnh bên trong cơ thể (chụp ảnh grob gapi PET – Bài 24). Biết ${}_9^{18} \text{F}$ có chu kì bán rã khoảng 110 phút).

a) Sau khi tiêm bao lâu thì lượng ${}_9^{18} \text{F}$ giảm còn 10 % và 1% so với lúc đầu?

b) Mỗi mL dược chất phóng xạ Flortaucipir có độ phóng xạ ban đầu là 10⁹ Bq. Xác định số lượng hạt đồng vị ${}_9^{18} \text{F}$ có trong mỗi mL dược chất tại thời điểm ban đầu và sau đó 1 ngày.

Hướng dẫn

a) $\text{N}={\text{N}}_0\cdot 2^{\frac{\text{t}}{\text{T}}}$$\Rightarrow \frac{\text{N}}{{\text{N}}_0}=2^{\frac{\text{t}}{\text{T}}}$$\Rightarrow \frac{10}{100}=2^{\frac{\text{t}}{110}}$$\Rightarrow \text{t}=365,4$ phút

Tương tự: $\Rightarrow \frac{1}{100}=2^{\frac{t}{110}}$$\Rightarrow t=730,8$ phút

b) Ta có: $\text{H}={\text{H}}_0\cdot 2^{\frac{\text{t}}{\text{T}}}$$\Rightarrow \frac{\text{H}}{{\text{H}}_0}=2^{-\frac{\text{t}}{\text{T}}}=2^{-\frac{1440}{110}}\approx {10}^{-4}=0,01\%$$\Rightarrow \frac{\text{N}}{{\text{N}}_0}=\frac{\text{H}}{{\text{H}}_0}=0,01\%$

Sau 1 ngày thì số lượng hạt đồng vị ${}_9^{18} \text{F}$ còn lại: $\text{N}=0,01\% {\text{N}}_0$

Câu 6. Các nhà khoa học đã xác định được độ phóng xạ của 1g mẫu carbon trong cơ thể sinh vật sống là 0,231Bq Biết rằng, trong số các đồng vị của carbon có trong mẫu, chỉ có ${}_6^{14}\text{C}$ là đồng vị phóng xạ với chu kì bán rã là 5730 năm.

a) Xác định số nguyên tử ${}_6^{14}\text{C}$ có trong 1 g mẫu carbon đó.

b) Vào ngày 19/9/1991, trong khi đang tìm đường vượt qua dãy Otztal Alps, hai nhà leo núi người Đức đã phát hiện thấy xác ướp người cổ được bảo quản hầu như nguyên vẹn trong băng tuyết tại Hauslabjoch, khu vực giữa biên giới Áo và Italia. Xác ướp đó được đặt tên là người băng Otzi. Tại thời điểm này, các nhà khoa học đã đo được độ phóng xạ của 1 g mẫu carbon trong cơ thể người băng Otzi là 0,121Bq Xác định niên đại của người băng đó.

Hướng dẫn:

a) $N=\frac{H}{\lambda }=\frac{H}{\frac{\ln 2}{T}}=\frac{0,231}{\frac{\ln 2}{\mathrm{5730.365.86400}}}=6,{02.10}^{10}$ nguyên tử.

b) $H=H_0{.2}^{-\frac{t}{T}}$$\Rightarrow 0,121=0,{231.2}^{-\frac{t}{5730}}$$\Rightarrow t\approx 5345$ năm.

Câu 7. Để điều trị ung thư tuyến giáp, một bệnh nhân đã nhận một liều dược chất phóng xạ chứa 25mg ${}_{53}^{131}\text{I}$ Biết rằng ${}_{53}^{131}\text{I}$ là chất phóng xạ ${\beta }^{-}$ có chu kì bán rã là 8,02 ngày.

a) Viết phương trình phóng xạ của ${}_{53}^{131}\text{I}$.

b) Tính độ phóng xạ của liều thuốc tại thời điểm bệnh nhân sử dụng.

c) Tính độ phóng xạ của liều thuốc sau khi sử dụng 7,00 ngày.

d) Tính số hạt ${\beta }^{-}$ phát ra từ liều thuốc trong 7,00 ngày đó.

Hướng dẫn:

a) ${}_{53}^{131}\text{I}{\to }_{54}^{131}\text{Xe}{+}_{-1}^0\text{e}{+}_0^0\tilde{\text{v}}$

b) $H_0=\lambda N_0=\frac{\ln 2}{T}.\frac{m}{A}.N_A$$=\frac{\ln 2}{8,02.86400}.\frac{{25.10}^{-3}}{131}.6,{02.10}^{23}$$=1,15\cdot {10}^{14} \text{Bq}.$

c) $H=H_0{.2}^{-\frac{t}{T}}=1,{15.10}^{14}{.2}^{-\frac{7}{8,02}}$$=6,28\cdot {10}^{13} \text{Bq}.$

d) Số hạt ${\beta }^{-}$ phát ra từ liều thuốc trong 7,00 ngày bằng với số hạt nhân mất đi.

$\Delta N=N_0(1-2^{-\frac{t}{T}})$$=\frac{{25.10}^{-3}}{131}.6,{02.10}^{23}.(1-2^{-\frac{7}{8,02}})$$=5,21\cdot {10}^{19}$ electron.

Câu 8: Phóng xạ $\beta$⁺ là ${}_8^{15}\text{O}$ có độ phóng xạ 2,80.10⁷ Bq. Biết rằng hằng số phóng xạ của ${}_8^{15}\text{O}$ là 5,67.10^-3 s^-1

a) Xác định số hạt nhân chất phóng xạ có trong mẫu khi đó.

b) Xác định số hạt positron mẫu chất phát ra trong khoảng thời gian 1,00 ms. Coi gần đúng rằng độ phóng xạ của mẫu không thay đổi trong khoảng thời gian rất ngắn này.

Hướng dẫn

a) Số hạt nhân chất phóng xạ có trong mẫu khi đó là:

${\text{N}}_0=\frac{{\text{H}}_0}{\lambda }=\frac{2,8\cdot {10}^7}{5,67\cdot {10}^{-3}}=0,494\cdot {10}^{10}\text{ hat }$

b) Số hạt nhân còn lại sau $\text{t}={10}^{-3} \text{S}$ là $\text{N}={\text{N}}_0\cdot {\text{e}}^{-\lambda t}=0,494\cdot {10}^{10}\cdot {\text{e}}^{-5,67\cdot {10}^{-3}\cdot {10}^{-3}}$$\approx 0,49\cdot {10}^{10}$

Do đó số hạt nhân đã bị phân rã là: $\Delta \text{N}={\text{N}}_0-\text{N}=28009$ hạt

Ta có phương trình: ${}_8^{15}\text{O}{\to }_7^{15} \text{N}{+}_1^0\text{e}{+}_0^0\text{v}$

→ Trong quá trình phóng xạ trên, mỗi hạt nhân bị phóng xạ sẽ phát ra một hạt positron, do đó số định số hạt positron mẫu chất phát ra trong khoảng thời gian trên là: 28009 hạt.

Xem thêm các bài viết về công thức Vật Lí 12 sách mới hay, chi tiết khác:

• Công thức máy biến áp

• Công thức bước sóng điện từ

• Công thức cấu tạo hạt nhân

• Công thức độ hụt khối

• Công thức năng lượng liên kết – Năng lượng liên kết riêng

• Công thức định luật phóng xạ

---