Giải bài tập Toán lớp 7 Bài 9: Tính chất ba đường cao của tam giác - Luyện tập trang 83)

Giải bài tập Toán lớp 7 Bài 9: Tính chất ba đường cao của tam giác - Luyện tập trang 83)

Trả lời câu hỏi Toán 7 Tập 2 Bài 9 trang 81 : Dùng eke vẽ 3 đường cao của tam giác ABC.

Hãy cho biết ba đường cao của tam giác đó có cùng đi qua một điểm hay không.

Lời giải

Ta vẽ đường ba đường cao của tam giác ABC như hình vẽ

Ba đường cao đó là : AH, BI, CK

Dựa vào hình vẽ ta thấy ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm

Trả lời câu hỏi Toán 7 Tập 2 Bài 9 trang 82 : Hãy phát biểu và chứng minh các trường hợp còn lại của nhận xét trên (xem như những bài tập).

Lời giải

- Bài tập 1: Nếu một tam giác có một đường trung trực đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là một tam giác cân

Xét ΔABC có AI vừa là đường trung trực vừa là đường phân giác

AI là đường trung trực ⇒ AI ⊥ BC và I là trung điểm BC

Xét hai tam giác vuông ΔABI và ΔACI có:

AI chung

∠(BAI) = ∠(CAI) (do AI là phân giác góc BAC)

⇒ ΔABI = ΔACI (góc nhọn – cạnh góc vuông)

⇒ AB = AC (hai cạnh tương ứng)

⇒ ΔABC cân tại A

- Bài tập 2: Nếu một tam giác có một đường trung trực đồng thời là đường cao thì tam giác đó là một tam giác cân

Xét ΔABC có AI vừa là đường trung trực vừa là đường cao

⇒ AI ⊥ BC và I là trung điểm BC

Xét hai tam giác vuông ΔABI và ΔACI có:

AI chung

IB = IC ( do I là trung điểm BC)

⇒ ΔABI = ΔACI (hai cạnh góc vuông)

⇒ AB = AC (hai cạnh tương ứng)

⇒ ΔABC cân tại A

- Bài tập 3: Nếu một tam giác có một đường phân giác đồng thời là đường cao thì tam giác đó là một tam giác cân

Xét ΔABC có AI vừa là đường phân giác vừa là đường cao

AI là đường cao ⇒ AI ⊥ BC

Xét hai tam giác vuông ΔABI và ΔACI có:

AI chung

∠(BAI) = ∠(CAI) (do AI là phân giác góc BAC)

⇒ ΔABI = ΔACI (góc nhọn – cạnh góc vuông)

⇒ AB = AC (hai cạnh tương ứng)

⇒ ΔABC cân tại A

- Bài tập 4: Nếu một tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường cao thì tam giác đó là một tam giác cân

Xét ΔABC có AI vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

AI là đường cao ⇒ AI ⊥ BC

AI là đường trung tuyến ⇒ I là trung điểm BC

Xét hai tam giác vuông ΔABI và ΔACI có:

AI chung

IB = IC ( do I là trung điểm BC)

⇒ ΔABI = ΔACI (hai cạnh góc vuông)

⇒ AB = AC (hai cạnh tương ứng)

⇒ ΔABC cân tại A

Bài 58 trang 83 sgk Toán lớp 7 Tập 2 - Video giải tại 14:16) : Hãy giải thích tại sao trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông và trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.

Lời giải:

+ Xét ΔABC vuông tại A

AB ⏊AC ⇒ AB là đường cao ứng với cạnh AC và AC là đường cao ứng với cạnh AB

hay AB, AC là hai đường cao của tam giác ABC.

Mà AB cắt AC tại A

⇒ A là trực tâm của tam giác vuông ABC.

Vậy: trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông

+ Xét ΔABC tù có góc A tù, các đường cao CE, BF (E thuộc AB, F thuộc AC), trực tâm H.

+ Giả sử E nằm giữa A và B, khi đó

Vậy E nằm ngoài A và B

⇒ tia CE nằm ngoài tia CA và tia CB ⇒ tia CE nằm bên ngoài ΔABC.

+ Tương tự ta có tia BF nằm bên ngoài ΔABC.

+ Trực tâm H là giao của BF và CE ⇒ H nằm bên ngoài ΔABC.

Vậy : trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.

Bài 59 trang 83 sgk Toán lớp 7 Tập 2 - Video giải tại 29:07) : Cho hình 57.

a) Chứng minh NS ⊥ LM

b) Khi góc LNP = 50 ^o , hãy tính góc MSP và góc PSQ.

Hình 57

Lời giải:

a) Trong ΔMNL có:

LP ⊥ MN nên LP là đường cao của ΔMNL.

MQ ⊥ NL nên MQ là đường cao của ΔMNL.

Mà LP, MQ cắt nhau tại điểm S

Nên: theo tính chất ba đường cao của một tam giác, S là trực tâm của tam giác.

⇒ đường thẳng SN là đường cao của ΔMNL.

hay SN ⊥ ML.

b)

+ Ta có : trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau nên :

ΔNMQ vuông tại Q có:

Bài 60 trang 83 sgk Toán lớp 7 Tập 2 - Video giải tại 37:55) : Trên đường thẳng d, lấy ba điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K).

Kẻ đường thẳng l vuông góc với d tại J. Trên l lấy điểm M khác với điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt l tại N.

Chứng minh KN ⊥ IM.

Lời giải:

l ⊥ d tại J, và M, J ∈ l ⇒ MJ ⟘ IK ⇒ MJ là đường cao của ΔMKI.

N nằm trên đường thẳng qua I và vuông góc với MK ⇒ IN ⟘ MK ⇒ IN là đường cao của ΔMKI.

IN và MJ cắt nhau tại N .

Theo tính chất ba đường cao của ta giác ⇒ N là trực tâm của ΔMKI.

⇒ KN cũng là đường cao của ΔMKI ⇒ KN ⟘ MI.

Vậy KN ⏊ IM

Bài 61 trang 83 sgk Toán lớp 7 Tập 2 - Video giải tại 44:12) : Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó.

a) Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ra trực tâm của tam giác đó.

b) Tương tự, hãy lần lượt chỉ ra trực tâm của các tam giác HAB và HAC.

Lời giải:

Gọi D, E, F là chân các đường vuông góc kẻ từ A, B, C của ΔABC.

⇒ AD ⟘ BC, BE ⟘ AC, CF ⟘ AB.

a) ΔHBC có :

AD ⊥ BC nên AD là đường cao từ H đến BC.

BA ⊥ HC tại F nên BA là đường cao từ B đến HC

CA ⊥ BH tại E nên CA là đường cao từ C đến HB.

AD, BA, CA cắt nhau tại A nên A là trực tâm của ΔHCB.

b) Tương tự :

+ Trực tâm của ΔHAB là C (C là giao điểm của ba đường cao : CF, AC, BC)

+ Trực tâm của ΔHAC là B (B là giao điểm của ba đường cao : BE, AB, CB)

Bài 62 trang 83 sgk Toán lớp 7 Tập 2 - Video giải tại 54:46) : Chứng minh rằng một tam giác có hai đường cao (xuất phát từ các đỉnh của hai góc nhọn) bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. Từ đó suy ra một tam giác có ba đường cao bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.

Lời giải:

+ TH1: Xét ΔABC vuông tại A có các đường cao AD, BA, CA.

BA, CA là hai đường cao xuất phát từ hai góc nhọn B và C của ΔABC.

AB = AC ⇒ ΔABC cân tại A (đpcm).

+ TH2: Xét ΔABC không có góc nào vuông, hai đường cao BD = CE (như hình vẽ minh họa)

Xét hai tam giác vuông EBC và DCB có :

BC (cạnh chung)

CE = BD (giả thiết)

⇒ ∆EBC = ∆DCB (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

+ Xét ΔABC ba đường cao BD = CE = AF (như hình vẽ minh họa)

CE = BD ⇒ ΔABC cân tại A (như cmt) ⇒ AB = AC.

CE = AF ⇒ ΔABC cân tại B (như cmt) ⇒ AB = BC:

⇒ AB = AC = BC

⇒ ΔABC đều.

Xem thêm Video Giải bài tập Toán lớp 7 hay và chi tiết khác:

• Luyện tập trang 76-77
• Bài 8: Tính chất ba đường trung trực của tam giác - Luyện tập trang 80)
• Luyện tập trang 80
• Ôn tập chương 3 (Câu hỏi ôn tập - Bài tập)
• Bài tập Ôn cuối năm (Phần Đại số - Phần Hình học)

Lời giải bài tập lớp 7 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 7 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 7 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 7 Cánh diều

---