Sách bài tập Toán 8 Bài 3, 4, 5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Sách bài tập Toán 8 Bài 3, 4, 5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài 11 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Tính:

a. (x + 2y)²

b. (x – 3y)(x + 3y)

c. (5 – x)²

Lời giải:

a. (x + 2y)² = x² +2.x.2y + (2y)²

= x² + 4xy + 4y²

b. (x – 3y)(x + 3y) = x² – (3y)² = x² – 9y²

c. (5 – x)² = 5² – 2.5x + x² = 25 – 10x + x²

Bài 12 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Tính:

a. (x – 1)²

b. (3 – y)²

c. (x - 1/2 )²

Lời giải:

a. (x – 1)² = x² – 2.x.1 +1² = x² –2x + 1

b. (3 – y)² = 3² – 2.3.y + y² = 9 – 6y + y²

c. (x - 1/2 )² = x² - 2.x.1/2 + (1/2)² = x² – x + 1/4

Bài 13 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương một tổng:

a. x² + 6x + 9

b. x² + x + 1/4

c.2xy² + x²y⁴ + 1

Lời giải:

a. x² + 6x + 9 = x² + 2.x.3 + 3² = (x + 3)²

b. x² + x + 1/4 = x² + 2.x.1/2 + (1/2 )² = (x + 1/2 )²

c. 2xy² + x²y⁴ + 1 = (xy²)² + 2.xy².1 + 1² = (xy² + 1)²

Bài 14 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Rút gọn biểu thức:

a. (x + y)² + (x – y)²

b. 2(x – y)(x + y) + (x + y)² + (x – y)²

c. (x – y + z)² + (z – y)² + 2(x – y + z)(y – z)

Lời giải:

a. (x + y)² + (x – y)²

      = x² + 2xy + y² + x² – 2xy + y²

      = 2x² + 2y²

b. 2(x – y)(x + y) + (x + y)² + (x – y)²

      = (x+ y)² +2( x+ y).(x- y) +(x- y)²

      (áp dụng hằng đẳng thức thứ 1với A = x+ y, B = x- y)

      = [(x + y) + (x – y)]² = (2x)² = 4x²

c. (x – y + z)² + (z – y)² + 2(x – y + z)(y – z)

      = (x – y + z)² + 2(x – y + z)(y – z) + (y – z)²

      = [(x – y + z) + (y – z)]² = x²

Bài 15 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4. Chứng minh rằng a² chia cho 5 dư 1.

Lời giải:

Số tự nhiên a chia cho 5 dư 4, ta có: a = 5k + 4 (k ∈N)

Ta có: a² = (5k + 4)²

      = 25k² + 40k + 16

      = 25k² + 40k + 15 + 1

      = 5(5k² + 8k +3) +1

Ta có: 5 ⋮ 5 nên 5(5k² + 8k + 3) ⋮ 5

Vậy a² = (5k + 4)² chia cho 5 dư 1. (đpcm)

Bài 16 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Tính giá trị của biểu thức sau:

a. x² – y² tại x = 87 và y = 13

b. x³ – 3x² + 3x – 1 tại x = 101

c. x³ + 9x²+ 27x + 27 tại x = 97

Lời giải:

a. Ta có: x² – y² = (x + y)(x – y)

Thay x = 87, y = 13, ta được:

x² – y² = (x + y)(x – y)

      = (87 + 13)(87 – 13)

      = 100.74 = 7400

b. x³ - 3x² + 3x - 1 tại x = 101.

= x³ - 3.x².1 + 3.x.1² - 1³ = (x-1)³

= (101 - 1)³ = 100³ = 1000000

c. Ta có: x³ + 9x² + 27x + 27

      = x³ + 3.x².3 + 3.x.3² + 3³

      = (x + 3)³

Thay x = 97, ta được: (x + 3)³ = (97 + 3)³ = 100³ = 1000000

Bài 17 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng:

a. (a + b)(a² – ab + b²) + (a – b)(a² + ab + b²) = 2a³

b. a³ + b³ = (a + b)[(a - b)² + ab]

c. (a² + b²)(c² + d²) = (ac + bd)² + (ad – bc)²

Lời giải:

a. Biến đổi vế trái ta có:

VT = (a + b)(a² – ab + b²) + (a – b)(a² + ab + b²)

= a³ + b³ + a³ – b³ = 2a³ = VP

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

b. Biến đổi vế trái ta có:

VT = a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)

=(a+b)(a²-2ab+b²+ab)

=(a + b)[(a – b)² + ab] = VP

Vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh.

c. Biến đổi vế trái ta có:

VT = (a² + b²)(c² + d²)

= a²c² + a²d² + b²c² + b²d²

= (a²c² + 2abcd + b²d² ) + (a²d² – 2abcd + b²c²)

= (ac + bd)² + (ad – bc)²=VP

Vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh.

Bài 18 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng tỏ rằng:

a. x² – 6x + 10 > 0 với mọi x

b. 4x – x² – 5 < 0 với mọi x

Lời giải:

a. Ta có: x² – 6x + 10 = x² – 2.x.3 + 9 + 1 = (x – 3)² + 1

Vì (x – 3)² ≥ 0 với mọi x nên (x – 3)² + 1 > 0 mọi x

Vậy x² – 6x + 10 > 0 với mọi x.(đpcm)

b. Ta có: 4x – x² – 5 = -(x² – 4x + 4) – 1 = -(x – 2)² -1

Vì (x – 2)² ≥ 0 với mọi x nên –(x – 2)² ≤ 0 với mọi x.

Suy ra: -(x – 2)² -1 ≤ -1 với mọi x

Vậy 4x – x² – 5 < 0 với mọi x.(đpcm)

Bài 19 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức:

a. P = x² – 2x + 5

b. Q = 2x² – 6x

c. M = x² + y² – x + 6y + 10

Lời giải:

a. Ta có: P = x² – 2x + 5 = x² – 2x + 1 + 4 = (x – 1)² + 4

Vì (x – 1)² ≥ 0 nên (x – 1)² + 4 ≥ 4

Suy ra: P = 4 là giá trị bé nhất khi (x – 1)² = 0 ⇒ x = 1

Vậy P = 4 là giá trị bé nhất của đa thức khi x = 1.

b. Ta có: Q = 2x² – 6x = 2(x² – 3x) = 2(x² – 2.3/2 x + 9/4 - 9/4)

      = 2[(x - 3/2)² - 9/4 ] = 2(x - 3/2)² - 9/2

Vì (x - 3/2)² ≥ 0 nên 2(x - 3/2)² ≥ 0 ⇒ 2(x - 3/2)² - 9/2 ≥ - 9/2

Suy ra: Q = - 9/2 là giá trị nhỏ nhất khi (x - 3/2)² = 0 ⇒ x = 3/2

Vậy Q = - 9/2 là giá trị nhỏ nhất của đa thức khi x = 3/2.

c. Ta có: M = x² + y² – x + 6y + 10 = (y² + 6y + 9) + (x² – x + 1)

= (y + 3)² + (x² – 2.1/2 x + 1/4) + 3/4 = (y + 3)² + (x - 1/2 )² + 3/4

Vì (y + 3)² ≥ 0 và (x - 1/2)² ≥ 0 nên (y + 3)² + (x - 1/2 )² ≥ 0

⇒ M = (y + 3)² + (x – 1/2)² + 3/4 ≥ 3/4

⇒ M = 3/4 khi

Vậy M = 3/4 là giá trị nhỏ nhất tại y = -3 và x = 1/2

Bài 20 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất của đa thức:

a. A = 4x – x² + 3

b. B = x – x²

c. N = 2x – 2x² – 5

Lời giải:

a. Ta có: A = 4x – x² + 3

      = 7 – x² + 4x – 4

      = 7 – (x² – 4x + 4)

      = 7 – (x – 2)²

Vì (x – 2)² ≥ 0 với mọi x nên A = 7 – (x – 2)² ≤ 7

Vậy giá trị của A lớn nhất là 7 khi x – 2 = 0 hay x = 2

b. Ta có: B = x – x²

      = 1/4 - x² + x - 1/4

      = 1/4 - (x² – 2.x. 1/2 + 1/4 )

      = 1/4 - (x - 1/2 )²

Vì (x - 1/2 )² ≥ 0 với mọi x nên B = 1/4 - (x - 1/2 )² ≤ 1/4

Vậy giá trị lớn nhất của B là 1/4 khi x- ½ = 0 hay x = 1/2 .

c. Ta có: N = 2x – 2x² – 5

      = - 2(x² – x + 5/2 )

      = - 2(x² – 2.x. 1/2 + 1/4 + 9/4 )

      = - 2[(x - 1/2 )² + 9/4 ]

      = - 2(x - 1/2 )² - 9/2

Vì (x - 1/2 )² ≥ 0 với mọi x nên - 2(x - 1/2 )² ≤ 0

Suy ra: N = - 2(x - 1/2 )² - 9/2 ≤ - 9/2

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức N là - 9/2 khi x- ½ = 0 hay x = 1/2 .

Bài 3.1 trang 8 SBT Toán 8 Tập 1: Cho x² + y² = 26 và xy = 5, giá trị của (x-y)² là:

A. 4

B. 16

C. 21

D. 36

Lời giải:

Chọn B

Ta có: (x-y)² = x²-2xy+y² = (x²+y²) - 2xy = 26 - 2.5=16

Bài 3.2 trang 8 SBT Toán 8 Tập 1: Kết quả của tích (a² + 2a + 4)(a − 2) là:

A. (a+2)³ B. (a-2)³ C. a³ + 8 D. a³ − 8

Lời giải:

Chọn D.

Cách 1: (a² + 2a + 4)(a − 2)=a³-2a²+2a²-4a+4a-8=a³ – 8

Cách 2: (a² + 2a + 4)(a − 2) = (a- 2).(a² + 2a + 4) = a³ – 8 ( hằng đẳng thức).

Bài 3.3 trang 8 SBT Toán 8 Tập 1: Rút gọn các biểu thức:

a) P = (5x − 1) + 2(1 − 5x)(4 + 5x) + (5x+4) ²

b) Q = (x-y) ³ + (y+x) ³ + (y-x) ³ – 3xy(x + y)

Lời giải:

a. P = (5x − 1) + 2(1 − 5x)(4 + 5x) + (5x + 4) ²

      = 5x – 1 + (2 – 10x).( 4+ 5x) + ( 5x + 4)²

      = 5x – 1 + 8 + 10x – 40x – 50x² + 25x² + 40x + 16

      = (- 50x² + 25x²)+ ( 5x + 10x – 40x + 40x) + (- 1+ 8 + 16)

      = -25x² + 15x + 23

b. Q = (x-y) ³ + (y+x)³ + (y-x)³ – 3xy(x + y)

      = x³ – 3x²y + 3xy² – y³ + y³ + 3y².x + 3yx² + x³ + y³ – 3y².x +3yx² – x³ – 3x²y – 3xy²

      = x³ – 3x²y + 3xy² – y³ + y³ + 3.xy² + 3x².y + x³ + y³ – 3x.y²+ 3x².y – x³ – 3x²y – 3xy²

       = ( x³ + x³ – x³)+ ( - 3x²y + 3x²y+ 3x²y – 3x²y)+ (3xy² + 3xy² - 3xy²- 3xy²) + (-y³+ y³+ y³ )

       = x³ + 0x²y + 0.xy² + y³

       = x³+ y³

Bài 3.4 trang 8 SBT Toán 8 Tập 1: Rút gọn biểu thức:

P = 12.(5² + 1)(5⁴ + 1)(5⁸ + 1)(5¹⁶ + 1)

Lời giải:

Ta có:

(5² - 1).P = ( 5² – 1).12.(5² + 1)(5⁴ + 1)(5⁸ + 1)(5¹⁶ + 1)

= 12.( 5² – 1).(5² + 1)(5⁴ + 1)(5⁸ + 1)(5¹⁶ + 1)

= 12.( 5⁴ - 1)( 5⁴ + 1)( 5⁸ + 1)(5¹⁶ + 1)

= 12.( 5⁸ - 1)( 5⁸ + 1)(5¹⁶ + 1)

= 12.( 5¹⁶ - 1)(5¹⁶ + 1)

= 12.( 5³² - 1)

Bài 3.5 trang 8 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh hằng đẳng thức:

(a+b+c)³= a³ + b³ + c³ + 3(a+b)(b+c)(c+a)

Lời giải:

Biến đổi vế trái:

(a+b+c)³= [(a+b)+c]³ = (a+b)³+3(a+b)² c+3(a+b)c²+c³

      = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ + 3(a² + 2ab + b²)c + 3ac² + 3bc² + c³

      = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ + 3a²c + 6abc + 3b²c + 3ac² + 3bc² + c³

      = a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3ab² + 3a²c + 6abc + 3b²c + 3ac² + 3bc²

      = a³ + b³ + c³ + (3a²b + 3ab²) +( 3a²c + 3abc)+ (3abc + 3b²c)+(3ac² + 3bc²)

      = a³ + b³ + c³ + 3ab(a + b) + 3ac(a + b) + 3bc(a + b) + 3c²(a + b)

      = a³ + b³ + c³ + 3(a + b)(ab + ac + bc + c²)

      = a³ + b³ + c³ + 3(a + b)[a(b + c) + c(b + c)]

      = a³ + b³ + c³ + 3(a + b)(b + c)(a + c) (đpcm)

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 8 chọn lọc, chi tiết khác:

• Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung
• Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức
• Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử
• Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập sgk Toán 8
• Lý thuyết & 700 Bài tập Toán 8 (có đáp án)
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---