Giải Toán 11 trang 82 Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo, Cánh diều

Trọn bộ lời giải bài tập Toán 11 trang 82 Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo, Cánh diều sẽ giúp học sinh lớp 11 dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 82. Bạn vào trang hoặc Xem lời giải để theo dõi chi tiết.

Giải Toán 11 trang 82 Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo, Cánh diều

Quảng cáo

- Toán lớp 11 trang 82 Tập 1 (sách mới):

- Toán lớp 11 trang 82 Tập 2 (sách mới):

Lưu trữ: Giải Toán 11 trang 82 (sách cũ)

Video giải Bài 1 trang 82 SGK Đại số 11 - Cô Ngô Hoàng Ngọc Hà (Giáo viên VietJack)

Bài 1 (trang 82 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng với n ∈ ℕ*, ta có các đẳng thức:

a) 2 + 5 + 8 + ... + 3n - 1 = $\frac{n (3 n + 1)}{2}$

b) $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^{n}} = \frac{2^{n} - 1}{2^{n}}$

c) $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Lời giải:

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học:

a) 2 + 5 + 8 + ... + 3n - 1 = $\frac{n (3 n + 1)}{2}$ (1)

Với n = 1, vế trái chỉ có một số hạng là 2, vế phải bằng $\frac{1. (3.1 + 1)}{2}$ = 2.

Do đó hệ thức (1) đúng với n = 1.

Đặt vế trái bằng S_n

Giả sử đẳng thức (1) đúng với n = k ≥ 1, tức là

S_k = 2 + 5 + 8 + ... + 3n - 1 = $\frac{k (3 k + 1)}{2}$

Ta phải chứng minh rằng (1) cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh

S_{k + 1} = 2 + 5 + 8 + ... + (3k - 1) + [3(k + 1) - 1] = $\frac{(k + 1) [3 (k + 1) + 1]}{2}$

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

$S_{k + 1} = (2 + 5 + 8 + \dots + 3 k - 1) + [3 (k + 1) - 1]$ = S_k + 3k + 2 = $\frac{k (3 k + 1)}{2}$ + 3k + 2

= $\frac{3 k^{2} + k + 6 k + 4}{2}$ = $\frac{3 k^{2} + 7 k + 4}{2}$ = $\frac{(k + 1) (3 k + 4)}{2}$ = $\frac{(k + 1) (3 k + 3 + 1)}{2}$

= $\frac{(k + 1) [3 (k + 1) + 1]}{2}$ (điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học, hệ thức (1) đúng với mọi n ∈ ℕ*.

Quảng cáo

b) $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^{n}} = \frac{2^{n} - 1}{2^{n}}$ (2)

Với n = 1 thì vế trái bằng $\frac{1}{2}$ , vế phải bằng $\frac{1}{2}$

Do đó hệ thức (2) đúng với n = 1.

Đặt vế trái bằng S_n

Giả sử đẳng thức (2) đúng với n = k ≥ 1, tức là

S_k = $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^{k}} = \frac{2^{k} - 1}{2^{k}}$

Ta phải chứng minh S_{k + 1} = $\frac{2^{k + 1} - 1}{2^{k + 1}}$

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

$S_{k + 1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^{k}} + \frac{1}{2^{k + 1}}$ = $S_{k} + \frac{1}{2^{k + 1}}$ = $\frac{2^{k} - 1}{2^{k}} + \frac{1}{2^{k + 1}}$ = $= \frac{2 (2^{k} - 1) + 1}{2^{k + 1}}$

= $\frac{2^{k + 1} - 2 + 1}{2^{k + 1}}$ = $\frac{2^{k + 1} - 1}{2^{k + 1}}$ (điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức (2) đúng với mọi n ∈ ℕ*.

c) $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ (3)

Với n = 1 thì vế trái bằng 1, vế phải bằng $\frac{1 (1 + 1) (2 + 1)}{6}$ = 1

Do đó hệ thức (3) đúng với n = 1.

Đặt vế trái bằng S_n

Giả sử đẳng thức (3) đúng với n = k ≥ 1, tức là

S_k = $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + k^{2} = \frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6}$

Quảng cáo

Ta phải chứng minh S_{k + 1} = $\frac{(k + 1) (k + 2) [2 (k + 1) + 1]}{6}$

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

S_k+1 = 1² + 2² + 3² + … + k² + (k + 1)² = S_k + (k + 1)²

= $\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + {(k + 1)}^{2}$ = $\frac{k (k + 1) (2 k + 1) + 6 {(k + 1)}^{2}}{6}$

= $\frac{(k + 1) [k (2 k + 1) + 6 (k + 1)]}{6}$ = $\frac{(k + 1) (2 k^{2} + k + 6 k + 6)}{6}$

= $\frac{(k + 1) (2 k^{2} + 7 k + 6)}{6}$ = $\frac{(k + 1) (k + 2) (2 k + 3)}{6}$ = $\frac{(k + 1) (k + 2) (2 k + 2 + 1)}{6}$

= $\frac{(k + 1) (k + 2) [2 (k + 1) + 1]}{6}$ (điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức (3) đúng với mọi n ∈ ℕ*.

Kiến thức áp dụng

Chứng minh mệnh đề (P) đúng với mọi n ∈ N bằng phương pháp quy nạp:

+ Kiểm tra mệnh đề (P) có đúng với n = 1 không.

+ Giả sử (P) đúng với n = k, cần chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1.

Quảng cáo

Các bài giải bài tập Toán 11 Đại số Bài 1 Chương 3 khác:

Các bài giải bài tập Toán 11 Đại số Chương 3 khác:

Gói luyện thi online hơn 1 triệu câu hỏi đầy đủ các lớp, các môn, có đáp án chi tiết. Chỉ từ 200k!

Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):

Săn shopee siêu SALE :

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 11

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

Đề thi, chuyên đề Cánh diều, Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo...

4.5 (243)

799,000đ

99,000 VNĐ

Khóa học online bởi các thầy cô VietJack

4.5 (243)

999,000đ

299.000 - 599.000 VNĐ

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.