Giải Toán 11 trang 82 Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo, Cánh diều

Trọn bộ lời giải bài tập Toán 11 trang 82 Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo, Cánh diều sẽ giúp học sinh lớp 11 dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 82. Bạn vào trang hoặc Xem lời giải để theo dõi chi tiết.

Giải Toán 11 trang 82 Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo, Cánh diều

Quảng cáo

- Toán lớp 11 trang 82 Tập 1 (sách mới):

- Toán lớp 11 trang 82 Tập 2 (sách mới):

Lưu trữ: Giải Toán 11 trang 82 (sách cũ)

Video giải Bài 1 trang 82 SGK Đại số 11 - Cô Ngô Hoàng Ngọc Hà (Giáo viên VietJack)

Bài 1 (trang 82 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng với n ∈ ℕ*, ta có các đẳng thức:

a) 2 + 5 + 8 + ... + 3n - 1 = $\frac{n (3 n + 1)}{2}$

b) $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^{n}} = \frac{2^{n} - 1}{2^{n}}$

c) $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Lời giải:

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học:

a) 2 + 5 + 8 + ... + 3n - 1 = $\frac{n (3 n + 1)}{2}$ (1)

Với n = 1, vế trái chỉ có một số hạng là 2, vế phải bằng $\frac{1. (3.1 + 1)}{2}$ = 2.

Do đó hệ thức (1) đúng với n = 1.

Đặt vế trái bằng S_n

Giả sử đẳng thức (1) đúng với n = k ≥ 1, tức là

S_k = 2 + 5 + 8 + ... + 3n - 1 = $\frac{k (3 k + 1)}{2}$

Ta phải chứng minh rằng (1) cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh

S_{k + 1} = 2 + 5 + 8 + ... + (3k - 1) + [3(k + 1) - 1] = $\frac{(k + 1) [3 (k + 1) + 1]}{2}$

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

$S_{k + 1} = (2 + 5 + 8 + \dots + 3 k - 1) + [3 (k + 1) - 1]$ = S_k + 3k + 2 = $\frac{k (3 k + 1)}{2}$ + 3k + 2

= $\frac{3 k^{2} + k + 6 k + 4}{2}$ = $\frac{3 k^{2} + 7 k + 4}{2}$ = $\frac{(k + 1) (3 k + 4)}{2}$ = $\frac{(k + 1) (3 k + 3 + 1)}{2}$

= $\frac{(k + 1) [3 (k + 1) + 1]}{2}$ (điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học, hệ thức (1) đúng với mọi n ∈ ℕ*.

Quảng cáo

b) $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^{n}} = \frac{2^{n} - 1}{2^{n}}$ (2)

Với n = 1 thì vế trái bằng $\frac{1}{2}$ , vế phải bằng $\frac{1}{2}$

Do đó hệ thức (2) đúng với n = 1.

Đặt vế trái bằng S_n

Giả sử đẳng thức (2) đúng với n = k ≥ 1, tức là

S_k = $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^{k}} = \frac{2^{k} - 1}{2^{k}}$

Ta phải chứng minh S_{k + 1} = $\frac{2^{k + 1} - 1}{2^{k + 1}}$

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

$S_{k + 1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^{k}} + \frac{1}{2^{k + 1}}$ = $S_{k} + \frac{1}{2^{k + 1}}$ = $\frac{2^{k} - 1}{2^{k}} + \frac{1}{2^{k + 1}}$ = $= \frac{2 (2^{k} - 1) + 1}{2^{k + 1}}$