Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆1 và ∆2 trong mỗi trường hợp sau

Giải SBT Toán 12 Cánh diều Bài tập cuối chương 5

Bài 70 trang 70 SBT Toán 12 Tập 2: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ trong mỗi trường hợp sau:

Quảng cáo

a) $∆_{1} : \frac{x + 2}{9} = \frac{y - 1}{27} = \frac{z - 3}{- 27}$ và $∆_{2} : \frac{x + 1}{- 1} = \frac{y - 3}{- 3} = \frac{z - 7}{3}$

b) $∆_{1} : \frac{x + 1}{- 2} = \frac{y - 6}{5} = \frac{z + 3}{- 4}$ và $∆_{2} : \frac{x + 13}{7} = \frac{y + 9}{5} = \frac{z + 15}{8}$

c) $∆_{1} : \frac{x + 3}{2} = \frac{y + 6}{3} = \frac{z + 3}{2}$ và $∆_{2} : \frac{x + 17}{2} = \frac{y - 33}{- 3} = \frac{z + 16}{2}$

Lời giải:

a) Đường thẳng ∆₁ có vectơ chỉ phương $\vec{u_{Δ_{1}}}$ = (9; 27; −27) và đi qua M₁(−2; 1; 3).

Đường thẳng ∆₂ có vectơ chỉ phương $\vec{u_{Δ_{2}}}$ = (−1; −3; 3) và đi qua M₂(−1; 3; 7).

Có $\vec{M_{1} M_{2}}$ = (1; 2; 4) và $[\vec{u_{Δ_{1}}}, \vec{u_{Δ_{2}}}]$ = $(|\begin{matrix} 27 & - 27 \\ - 3 & 3 \end{matrix}|; |\begin{matrix} - 27 & 9 \\ 3 & - 1 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 9 & 27 \\ - 1 & - 3 \end{matrix}|)$ = (0; 0; 0).

Có $\{\begin{cases} [\vec{u_{Δ_{1}}}, \vec{u_{Δ_{2}}}] = \vec{0} \\ M_{1} \notin Δ_{2} \end{cases}$

Vậy ∆₁ // ∆₂.

b) Đường thẳng ∆₁ có vectơ chỉ phương $\vec{u_{Δ_{1}}}$ = (−2; 5; −4) và đi qua M₁(−1; 6; −3).

Đường thẳng ∆₂ có vectơ chỉ phương $\vec{u_{Δ_{2}}}$ = (7; 5; 8) và đi qua M₂(−13; −9; −15).

Có $\vec{M_{1} M_{2}}$ = (−12; −15; −12) và

$[\vec{u_{Δ_{1}}}, \vec{u_{Δ_{2}}}]$ = $(|\begin{matrix} 5 & - 4 \\ 5 & 8 \end{matrix}|; |\begin{matrix} - 4 & - 2 \\ 8 & 7 \end{matrix}|; |\begin{matrix} - 2 & 5 \\ 7 & 5 \end{matrix}|)$ = (60; −12; −45) ≠ $\vec{0}$ .

Ta có: $[\vec{u_{Δ_{1}}}, \vec{u_{Δ_{2}}}] . \vec{M_{1} M_{2}}$ = 0.

Do $\{\begin{cases} [\vec{u_{Δ_{1}}}, \vec{u_{Δ_{2}}}] \neq \vec{0} \\ [\vec{u_{Δ_{1}}}, \vec{u_{Δ_{2}}}] . \vec{M_{1} M_{2}} = 0 \end{cases}$ nên ∆₁ và ∆₂ cắt nhau.

c) Đường thẳng ∆₁ có vectơ chỉ phương $\vec{u_{Δ_{1}}}$ = (2; 3; 2) và đi qua M₁(−3; −6; −3).

Đường thẳng ∆₂ có vectơ chỉ phương $\vec{u_{Δ_{2}}}$ = (2; −3; 2) và đi qua M₂(−17; 33; −16).

Có $\vec{M_{1} M_{2}}$ = (−14; 39; −13) và $[\vec{u_{Δ_{1}}}, \vec{u_{Δ_{2}}}]$ = $(|\begin{matrix} 3 & 2 \\ - 3 & 2 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 2 & 3 \\ 2 & - 3 \end{matrix}|)$ = (12; 0; –12).