HĐ4 trang 40 Toán 10 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 10 Kết nối tri thức Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

HĐ4 trang 40 Toán 10 Tập 2: Cho điểm M(x₀; y₀) và đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}\left(a;b\right)$. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ (H.7.9). 

a) Chứng minh rằng $\left|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}\right|=\sqrt{a^2+b^2}.HM$.

b) Giả sử H có tọa độ (x₁; y₁). Chứng minh rằng: $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}$= a(x₀ – x₁) + b(y₀ – y₁) = ax₀ + by₀ + c. 

c) Chứng minh rằng $HM=\frac{\left|a{x}_0+b{y}_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$. 

Lời giải:

a) Do H là hình chiếu của M lên ∆ nên MH ⊥ ∆.

Vectơ $\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến của ∆ nên giá của vectơ $\overrightarrow{n}$ vuông góc với ∆. 

Khi đó đường thẳng MH song song hoặc trùng với giá của vectơ $\overrightarrow{n}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{HM}$ và $\overrightarrow{n}$cùng phương. 

Do đó hai vectơ $\overrightarrow{HM}$ và $\overrightarrow{n}$ cùng hướng hoặc ngược hướng.

+) Nếu hai vectơ $\overrightarrow{HM}$ và $\overrightarrow{n}$ cùng hướng thì $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}=\left|\overrightarrow{n}\right|.\left|\overrightarrow{HM}\right|=\sqrt{a^2+b^2}.HM$.

+) Nếu hai vectơ $\overrightarrow{HM}$ và $\overrightarrow{n}$ ngược hướng thì $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}=-\left|\overrightarrow{n}\right|.\left|\overrightarrow{HM}\right|=-\sqrt{a^2+b^2}.HM$.

Vậy $\left|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}\right|=\sqrt{a^2+b^2}.HM$. 

b) Vì H thuộc ∆ nên tọa độ của H thỏa mãn phương trình ∆, thay tọa độ của H vào phương trình ∆ ta được: ax₁ + by₁ + c = 0 ⇔ c = – ax₁ – by₁           (1). 

Ta lại có: $\overrightarrow{HM}=\left(x_0-x_1;y_0-y_1\right)$.

Suy ra: $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}=a\left(x_0-x_1\right)+b\left(y_0-y_1\right)$ = ax₀ + by₀ – ax₁ – by₁             (2). 

Từ (1) và (2) suy ra : $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}=a\left(x_0-x_1\right)+b\left(y_0-y_1\right)$ = ax₀ + by₀ + c. 

c) Theo câu a) ta có: $\left|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}\right|=\sqrt{a^2+b^2}.HM$. 

Theo câu b) ta có: $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}$ = ax₀ + by₀ + c. 

Suy ra: |ax₀ + by₀ + c| = $\sqrt{a^2+b^2}.HM$.

Vậy $HM=\frac{\left|a{x}_0+b{y}_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách hay, chi tiết khác:

• Mở đầu trang 36 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ, mỗi đường thẳng đều có đối tượng đại số tương ứng, gọi là phương trình của nó ....

• HĐ1 trang 36 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng ∆₁: x – 2y + 3 = 0, ∆₂: 3x – y – 1 = 0 ....

• Luyện tập 1 trang 37 Toán 10 Tập 2: Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau ....

• HĐ2 trang 37 Toán 10 Tập 2: Hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ cắt nhau tạo thành bốn góc (H.7.6). Các số đo của bốn góc đó có mối quan hệ gì với nhau? ....

• HĐ3 trang 38 Toán 10 Tập 2: Cho hai đường thẳng cắt nhau ∆₁, ∆₂ tương ứng có các vectơ pháp tuyến ....

• Luyện tập 2 trang 38 Toán 10 Tập 2: Tính góc giữa hai đường thẳng ∆₁: x + 3y + 2 = 0 và ∆₂: y = 3x + 1 ....

• Luyện tập 3 trang 39 Toán 10 Tập 2: Tính góc giữa hai đường thẳng ${\Delta }_1:\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1-2t\end{array}\right.$và ${\Delta }_2:\left\{\begin{array}{l}x=1+t^{\text{'}}\\ y=5+3t^{\text{'}}\end{array}\right.$ ....

• Luyện tập 4 trang 39 Toán 10 Tập 2: Cho đường thẳng ∆: y = ax + b với a ≠ 0 ....

• Trải nghiệm trang 40 Toán 10 Tập 2: Đo trực tiếp khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ (H.7.10) và giải thích vì sao kết quả đo đạc đó phù hợp với kết quả ....

• Luyện tập 5 trang 40 Toán 10 Tập 2: Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2) đến đường thẳng $\Delta :\left\{\begin{array}{l}x=5+3t\\ y=-5-4t\end{array}\right.$ ....

• Vận dụng trang 41 Toán 10 Tập 2: Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội có một ao cá có dạng hình chữ nhật ABCD với chiều dài AD = 15 m ....

• Bài 7.7 trang 41 Toán 10 Tập 2: Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau: ∆₁:$3\sqrt{2}x+\sqrt{2}y-\sqrt{3}=0$....

• Bài 7.8 trang 41 Toán 10 Tập 2: Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau: $∆1: \sqrt{3x} + y – 4 = 0$....

• Bài 7.9 trang 41 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0; – 2) và đường thẳng ∆: x + y – 4 = 0 ....

• Bài 7.10 trang 41 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A(1; 0), B(3; 2) và C(– 2; – 1) ....

• Bài 7.11 trang 41 Toán 10 Tập 2: Chứng minh rằng hai đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) và d': y = a'x + b' (a' ≠ 0) vuông góc với nhau khi và chỉ khi aa' = – 1 ....

• Bài 7.12 trang 41 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu ....

Các bài học để học tốt Toán 10 Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách:

• Giải SBT Toán 10 Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

  Xem lời giải

• Lý thuyết Toán 10 Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

  Xem chi tiết

• Trắc nghiệm Toán 10 Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

  Xem chi tiết

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Toán 10 Bài 19: Phương trình đường thẳng

• Toán 10 Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

• Toán 10 Bài 22: Ba đường conic

• Toán 10 Bài tập cuối chương 7

• Toán 10 Bài 23: Quy tắc đếm

• Toán 10 Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---