Giải Toán 10 trang 30 Tập 1 Kết nối tri thức

Với Giải Toán 10 trang 30 Tập 1 trong Bài 4: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn Toán 10 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 10 dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 30.

Giải Toán 10 trang 30 Tập 1 Kết nối tri thức

Vận dụng trang 30 Toán 10 Tập 1: Một cửa hàng có kế hoạch nhập về hai loại máy tính A và B, giá mỗi chiếc lần lượt là 10 triệu đồng và 20 triệu đồng với số vốn ban đầu không vượt quá 4 tỉ đồng. Loại máy A mang lại lợi nhuận 2,5 triệu đồng cho mỗi máy bán được và loại máy B mang lại lợi nhuận là 4 triệu đồng mỗi máy. Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu hàng tháng sẽ không vượt quá 250 máy. Giả sử trong một tháng cửa hàng cần nhập số máy tính loại A là x và số máy tính loại B là y.

a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm của hệ đó.

b) Gọi F (triệu đồng) là lợi nhuận mà cửa hàng thu được trong tháng đó khi bán x máy tính loại A và y máy tính loại B. Hãy biểu diễn F theo x và y.

c) Tìm số lượng máy tính mỗi loại cửa hàng cần nhập về trong tháng đó để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Lời giải:

a) Số máy tính loại A cửa hàng cần nhập trong một tháng là x (máy), số máy tính loại B cửa hàng cần nhập trong một tháng là y (máy) (x,y ≥ 0 và x, y ∈ ℤ).

Do tổng nhu cầu hàng tháng sẽ không vượt quá 250 máy: x + y ≤ 250

Tổng số vốn cửa hàng cần nhập hai loại A và B: 10x + 20y (triệu đồng)

Vì số vốn ban đầu không vượt quá 4 tỉ đồng nên ta có: 10x + 20y  ≤ 4 000 ⇔ x + 2y ≤ 400.

Khi đó ta có hệ bất phương trình: 

$\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 250\\ x+2y\le 400\end{array}\right.$

Xác định miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0).

* Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình trên:

+ Miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (0;1) (tính cả trục Oy).

+ Miền nghiệm D₂ của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0;1) (tính cả trục Ox).

Miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 250 và gach bỏ miền còn lại

- Vẽ đường thẳng d: x + y = 250.

- Vì 0 + 0 = 0 < 250 nên tọa độ điểm O(0;0) thỏa mãn bất phương trình x + y ≤ 250

Do đó miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 250 là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ (tính cả bờ d).

Xác định miền nghiệm D₄ của bất phương trình x + 2y ≤ 400

- Vẽ đường thẳng d’: x + 2y = 400.

- Vì 0 + 2.0 = 0 < 400 nên tọa độ điểm O(0;0) thỏa mãn bất phương trình x + 2y < 400

Do đó miền nghiệm D₄ của bất phương trình x + 2y < 400 là nửa mặt phẳng bờ d’ chứa gốc tọa độ (tính cả bờ d’).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác OACB với O(0;0), A(250;0), C(100;150), B(0; 200)

b) Lợi nhuận mà cửa hàng thu được trong tháng đó khi bán x máy tính loại A và y máy tính loại B là: F(x;y) = 2,5x + 4y (triệu đồng).

Vậy F(x;y) = 2,5x + 4y.

c) Bài toán chuyển về tìm giá trị lớn nhất của F(x;y) với (x;y) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 250\\ 10x+20y\le 4000\end{array}\right.$.

Tại O(0;0): F(0;0) = 2,5.0 + 4.0 = 0;

Tại A(250;0): F(250;0) = 2,5.250 + 4.0 = 625;

Tại C(100;150): F(100;150) = 2,5.100 + 4.150 = 850;

Tại B(0;200): F(0;200) = 2,5.0 + 4.200 = 800.

Do đó F(x;y) lớn nhất bằng 850 với x = 100 và y = 150.

Vậy cửa hàng cần nhập 100 máy loại A, 150 máy loại B để cửa hàng thu được lợi nhuận lớn nhất là 850 triệu đồng.

Bài 2.4 trang 30 Toán 10 Tập 1: Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) $\left\{\begin{array}{l}x<0\\ y\ge 0\end{array}\right.;$

b) $\left\{\begin{array}{l}x+y^2<0\\ y-x>1\end{array}\right.;$

c) $\left\{\begin{array}{l}x+y+z<0\\ y<0\end{array}\right.;$

d) $\left\{\begin{array}{l}-2x+y<3^2\\ 4^{2}x+3y<1\end{array}\right..$

Lời giải:

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Ta thấy

+ Hệ $\left\{\begin{array}{l}x<0\\ y\ge 0\end{array}\right.$ gồm 2 bất phương trình x < 0 và y ≥ 0, đây đều là các bất phương trình bậc nhất do x < 0 ⇔ 1x + 0y < 0 và y ≥ 0 ⇔ 0x + 1y ≥ 0. Do đó hệ bất phương trình a) là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

+ Hệ $\left\{\begin{array}{l}x+y^2<0\\ y-x>1\end{array}\right.$ không phải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn do bất phương trình thứ nhất của hệ có ẩn y có bậc là 2. Do đó hệ bất phương trình b) không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

+ Hệ $\left\{\begin{array}{l}x+y+z<0\\ y<0\end{array}\right.$ không phải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn do bất phương trình thứ nhất của hệ có 3 ẩn x, y, z. Do đó hệ bất phương trình c) không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

+ Hệ $\left\{\begin{array}{l}-2x+y<3^2\\ 4^{2}x+3y<1\end{array}\right.$ gồm 2 bất phương trình – 2x + y < 3² ⇔ – 2x + y < 9 và 4²x + 3y < 1 ⇔ 16x + 3y < 1, đều là các hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Do đó hệ bất phương trình d) là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Vậy các hệ bất phương trình a) và d) là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bài 2.5 trang 30 Toán 10 Tập 1: Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:

a) $\left\{\begin{array}{l}y-x<-1\\ x>0\\ y<0\end{array}\right.;$

b) $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 2x+y\le 4\end{array}\right.;$

c) $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x+y>5\\ x-y<0\end{array}\right..$

Lời giải:

a) Xác định miền nghiệm D₁ của bất phương trình y – x < - 1 và gạch bỏ miền nghiệm còn lại.

- Vẽ đường thẳng d: y - x = - 1 .

- Vì 0 - 0 = 0 > -1 nên tọa độ điểm O(0;0) không thỏa mãn bất phương trình y – x < -1.

Do đó miền nghiệm D₁ của bất phương trình y – x < - 1 là nửa mặt phẳng bờ d không chứa gốc tọa độ và không chứa biên.

Miền nghiệm D₂ của bất phương trình x > 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0) và không chứa biên.

Miền nghiệm D₃ của bất phương trình y < 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0;-1) và không chứa biên.

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền không bị gạch.

b)

Miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0).

Miền nghiệm D₂ của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0;1).

Xác định miền nghiệm D₃ của bất phương trình 2x + y ≤ 4 và gạch bỏ miền nghiệm còn lại.

- Vẽ đường thẳng d’: 2x + y = 4.

- Vì 2.0 + 0 = 0 < 4 nên tọa độ điểm O(0;0) thỏa mãn bất phương trình 2x + y ≤ 4.

Do đó miền nghiệm D₃ của bất phương trình 2x + y ≤ 4 là nửa mặt phẳng bờ d’ chứa gốc tọa độ.

Vậy miền nghiệm của hệ là miền tam giác OAB (miền không bị gạch trong hình dưới).

c) $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x+y>5\\ x-y<0\end{array}\right..$

+ Miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0).

+ Xác định miền nghiệm D₂ của bất phương trình x + y > 5 và gạch bỏ miền nghiệm còn lại.

- Vẽ đường thẳng d₁: x + y = 5.

- Vì 0 + 0 = 0 < 5 nên tọa độ điểm O(0;0) không thỏa mãn bất phương trình x + y > 5.

Do đó miền nghiệm D₂ của bất phương trình x + y > 5 là nửa mặt phẳng bờ d₁ không chứa gốc tọa độ và không chứa đường thẳng d₁.

+ Xác định miền nghiệm D₃ của bất phương trình x - y < 0 và gạch bỏ miền nghiệm còn lại.

- Vẽ đường thẳng d₂: x – y = 0.

- Vì 1 – (-1) = 2 > 0  nên tọa độ điểm M(1;-1) không thỏa mãn bất phương trình x – y < 0.

Do đó miền nghiệm D₃ của bất phương trình x – y < 0 là nửa mặt phẳng bờ d₂ không chứa điểm M(1;-1) và không chứa đường thẳng d₂.

Khi đó miền không bị gạch và không chứa biên chính là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Vậy miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch trong hình dưới đây (không tính đường thẳng d₁ và d₂).

Bài 2.6 trang 30 Toán 10 Tập 1: Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipid trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilôgam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipid. Mỗi kilôgam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipid. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất là 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn; giá tiền 1 kg thịt bò là 250 nghìn đồng; 1 kg thịt lợn là 160 nghìn đồng. Giả sử gia đình đó mua x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn.

a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm của hệ đó.

b) Gọi F (nghìn đồng) là số tiền phải trả cho x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn. Hãy biểu diễn F theo x và y.

c) Tìm số kilôgam thịt mỗi loại mà gia đình cần mua để chi phí là ít nhất.

Lời giải:

a) Vì gia đình này chỉ mua nhiều nhất là 1,6kg thịt bò và 1,1kg thịt lợn nên 0 ≤ x ≤ 1,6; 0 ≤ y ≤ 1,1

Trong x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn chứa số đơn vị protein là: 800x + 600y (đơn vị)

Do số đơn vị protein cần ít nhất là 900 đơn vị nên ta có: 800x + 600y ≥ 900 hay 8x + 6y ≥ 9

Trong x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn chứa số đơn vị lipid là: 200x + 400y (đơn vị)

Do số đơn vị lipid cần ít nhất là 400 đơn vị nên ta có: 200x + 400y ≥ 400 hay x + 2y ≥ 2

Khi đó ta có hệ bất phương trình: $\left\{\begin{array}{l}0\le x\le 1,6\\ 0\le y\le 1,1\\ 8x+6y\ge 9\\ x+2y\ge 2\end{array}\right.$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác ABCD với tọa độ các đỉnh là A(0,3; 1,1), B(0,6; 0,7), C(1,6; 0,2), D(1,6; 1,1).

b) Số tiền gia đình đó phải trả để mua x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn là:

F(x;y) = 250x + 160y (nghìn đồng)

Vậy F(x;y) = 250x +  160y

c) Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của F(x; y) khi (x; y) thỏa mãn hệ bất phương trình ở câu a.

Người ta đã chứng minh được để số tiền mua là ít nhất thì (x; y) sẽ là tọa độ của một trong bốn đỉnh của tứ giác ABCD.

Tính giá trị của F tại các đỉnh của tứ giác:

F(0,3; 1,1) = 250 . 0,3 + 160 . 1,1 = 251;

F(0,6; 0,7) = 250 . 0,6 + 160 . 0,7 = 262;

F(1,6; 0,2) = 250 . 1,6 + 160 . 0,2 = 432;

F(1,6; 1,1) = 250 . 1,6 + 160 . 1,1 = 576.

Suy ra giá trị nhỏ nhất cần tìm là F(0,3; 1,1) = 251.

Vậy để chi phí là ít nhất thì gia đình cần mua 0,3 kilôgam thịt bò và 1,1 kilôgam thịt lợn.

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 4: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn hay khác:

• Giải Toán 10 trang 26
• Giải Toán 10 trang 27
• Giải Toán 10 trang 28

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Bài tập cuối chương II

• Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

• Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

• Bài tập cuối chương III

• Bài 7: Các khái niệm mở đầu

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---