Giải Toán 10 trang 32 Tập 1 Kết nối tri thức

Với Giải Toán 10 trang 32 Tập 1 trong Bài tập cuối chương II Toán 10 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 10 dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 32.

Giải Toán 10 trang 32 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài 2.11 trang 32 Toán 10 Tập 1: Cho hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-y<-3\\ 2y\ge -4\end{array}\right..$ Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho?

A. (0;0);

B. (-2;1);

C. (3;-1);

D. (-3;1).

Lời giải:

Ta có: cặp số (0;0), (-2;1), (3;-1) không thỏa mãn bất phương trình x – y < -3.

Còn cặp số (-3;1) thỏa mãn cả hai bất phương trình của hệ nên nó là một nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn đã cho.

Chọn D

Bài 2.12 trang 32 Toán 10 Tập 1: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $\frac{x+y}{2}\ge \frac{2x-y+1}{3}$ trên mặt phẳng tọa độ.

Lời giải:

Ta có: $\frac{x+y}{2}\ge \frac{2x-y+1}{3}$

$\iff 3\left(x+y\right)\ge 2\left(2x-y+1\right)$

$\iff x-5y\le -2$

Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn này được xác định như sau:

- Vẽ đường thẳng d: x – 5y = - 2.

- Ta lấy gốc tọa độ O(0;0) và tính 0 – 5.0 = 0 > - 2.

Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d (kể cả đường thẳng d) không chứa gốc tọa độ (miền không bị gạch).

Bài 2.13 trang 32 Toán 10 Tập 1: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x+y<1\\ 2x-y\ge 3\end{array}\right.$ trên mặt phẳng tọa độ.

Lời giải:

Xác định miền nghiệm D₁ của bất phương trình x + y < 1 được xác định như sau:

- Vẽ đường thẳng d: x + y = 1.

- Ta lấy gốc tọa độ O(0;0) và tính 0 + 0 = 0 < 1.

Do đó miền nghiệm D₁ là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d (không kể đường thẳng d) chứa gốc tọa độ.

Xác định miền nghiệm D₂ của bất phương trình 2x – y ≥ 3  được xác định như sau:

- Vẽ đường thẳng d’: 2x – y = 3.

- Ta lấy gốc tọa độ O(0;0) và tính 2.0 – 0 = 0 < 3.

Do đó miền nghiệm D₂ là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d’ (kể cả đường thẳng d’) và không chứa gốc tọa độ.

Khi đó, miền không bị gạch chính là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền không bị gạch trong hình vẽ.

Bài 2.14 trang 32 Toán 10 Tập 1: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}y-2x\le 2\\ y\le 4\\ x\le 5\\ x+y\ge -1\end{array}\right.$ trên mặt phẳng tọa độ.

Từ đó tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x;y) = - x – y với (x;y) thỏa mãn hệ trên.

Lời giải:

Xác định miền nghiệm D₁ của bất phương trình y – 2x ≤ 2 được xác định như sau:

- Vẽ đường thẳng d: -2x + y = 2.

- Ta lấy gốc tọa độ O(0;0) và tính -2.0 + 0 = 0 < 2.

Do đó miền nghiệm D₁ là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d chứa gốc tọa độ.

Miền nghiệm D₂ của bất phương trình y ≤ 4 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng y = 4 chứa gốc tọa độ.

Miền nghiệm D₃ của bất phương trình x ≤ 5 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng x = 5 chứa gốc tọa độ.

Xác định miền nghiệm D₄ của bất phương trình x + y ≥ - 1 được xác định như sau:

- Vẽ đường thẳng d’: x + y = -1.

- Ta lấy gốc tọa độ O(0;0) và tính 0 + 0 = 0 > -1.

Do đó miền nghiệm D₄ là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d’ chứa gốc tọa độ.

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác ABCD với tọa độ các điểm là: A(-1;0), B(1;4), C(5;4), D(5;-6).

Tính giá trị biểu thức F(x;y) = - x – y tại các điểm A, B, C, D

F(-1;0) = -(-1) – 0 = 1;

F(1;4) = - 1 – 4 = -5;

F(5;4) = - 5 – 4 = -9;

F(5;-6) = - 5 – (-6) = 1.

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức F là 1 tại (x;y) = (-1;0) hoặc (x;y) = (5;-6) và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F là -9 tại (x;y) = (5;4)

Bài 2.15 trang 32 Toán 10 Tập 1: Bác An đầu tư 1,2 tỉ đồng vào ba loại trái phiếu: trái phiếu chính phủ với lãi suất 7% một năm, trái phiếu ngân hàng với lãi suất 8% một năm và trái phiếu doanh nghiệp rủi ro cao với lãi suất 12% một năm. Vì lí do giảm thuế, bác An muốn số tiền đầu tư lãi suất chính phủ gấp ít nhất 3 lần số tiền đầu tư trái phiếu ngân hàng. Hơn nữa, để giảm thiểu rủi ro, bác An đầu tư không quá 200 triệu đồng cho trái phiếu doanh nghiệp. Hỏi bác An nên đầu tư mỗi loại trái phiếu bao nhiêu tiền để lợi nhuận thu được sau một năm là lớn nhất?

Lời giải:

Gọi số tiền bác An đầu tư cho trái phiếu chính phủ, trái phiếu ngân hàng lần lượt là x, y (triệu đồng) (0 ≤ x, y ≤ 1 200).

Khi đó bác An đầu tư cho trái phiếu doanh nghiệp là 1 200 – x – y (triệu đồng)

Vì lí do giảm thuế, bác An muốn số tiền đầu tư trái phiếu chính phủ gấp ít nhất 3 lần số tiền đầu tư trái phiếu ngân hàng nên ta có: x ≥ 3y hay x – 3y ≥ 0.

Để giảm thiểu rủi ro, bác An đầu tư không quá 200 triệu đồng cho trái phiếu doanh nghiệp nên ta có: 1 200 – x – y ≤ 200 hay x + y ≥ 1 000.

Từ đó ta có hệ bất phương trình: $\left\{\begin{array}{l}0\le x\le 1200\\ 0\le y\le 1200\\ x-3y\ge 0\\ x+y\ge 1000\end{array}\right.$.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác ABCD với tọa độ các điểm

A(1 000;0), B(750;250), C(1 200;400), D(1 200;0).

Lợi nhuận bác An thu được là: F(x;y) = 7%x + 8%y + 12%(1200 – x – y) =  144 – 0,05x – 0,04y (triệu đồng)

Tính giá trị của F(x;y) tại các điểm A, B, C, D, ta được:

F(1 000;0) = 144 – 0,05.1 000 – 0,04.0 = 94;

F(750;250) = 144 – 0,05.750 – 0,04.250 = 96,5;

F(1 200;400) = 144 – 0,05.1 200 – 0,04.400 = 68;

F(1 200;0) = 144 – 0,05.1 200 – 0,04.0 = 84;

Suy ra hàm F(x;y) lớn nhất bằng 96,5 khi x = 750, y = 250.

Vậy bác An nên đầu tư 750 triệu vào trái phiếu chính phủ, 250 triệu vào trái phiếu ngân hàng và 1 200 - 750 - 250 = 200 triệu vào trái phiếu doanh nghiệp để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Bài 2.16 trang 32 Toán 10 Tập 1: Một công ty dự định chi tối đa 160 triệu đồng cho quảng cáo một sản phẩm mới trong một tháng trên các đài phát thanh và truyền hình. Biết cùng một thời lượng quảng cáo, số người mới quan tâm đến sản phẩm trên truyền hình gấp 8 lần trên đài phát thanh, tức là quảng cáo trên truyền hình có hiệu quả gấp 8 lần trên đài phát thanh.

Đài phát thanh chỉ nhận được quảng cáo có tổng thời lượng trong một tháng tối đa là 900 giây với chi phí là 80 nghìn đồng/giây. Đài truyền hình chỉ nhận được các quảng cáo có tổng thời lượng tối đa trong một tháng tối đa là 360 giây với chi phí là 400 nghìn đồng/giây. Công ty cần đặt thời gian quảng cáo trên các đài phát thanh và truyền hình như thế nào để hiệu quả nhất?

Gợi ý: Nếu coi hiệu quả khi quảng cáo 1 giây trên đài phát thanh là 1 (đơn vị) thì hiệu quả khi quảng cáo 1 giây trên đài truyền hình là 8 (đơn vị). Khi đó hiệu quả quảng cáo x (giây) trên đài phát thanh và y (giây) trên truyền hình là F(x,y) = x + 8y. Ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm F(x,y) với x, y thỏa mãn các điều kiện trong đề bài.

Lời giải:

Gọi x (giây) là thời lượng quảng cáo trong một tháng công ty đặt trên đài truyền hình và y (giây) là thời lượng quảng cáo trong một tháng công ty đặt trên đài phát thanh. (0 ≤ x ≤ 360, 0 ≤ y ≤ 900).

Chi phí công ty chi trả cho quảng cáo trong một tháng là: 400x + 80y (nghìn đồng)

Vì công ty dự định chi tối đa 160 triệu đồng cho quảng cáo một sản phẩm mới nên ta có:

400x + 80y ≤ 160 000 hay 5x + y ≤  2 000.

Khi đó ta có hệ bất phương trình: $\left\{\begin{array}{l}0\le x\le 360\\ 0\le y\le 900\\ 5x+y\le 2000\end{array}\right.$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là ngũ giác OABCD với tọa độ các điểm là O(0;0), A(0;900), B(220;900), C(360;200), D(360;0).

Nếu coi hiệu quả khi quảng cáo 1 giây trên đài phát thanh là 1 (đơn vị) thì hiệu quả khi quảng cáo 1 giây trên đài truyền hình là 8 (đơn vị). Khi đó hiệu quả quảng cáo x (giây) trên đài phát thanh và y (giây) trên truyền hình là F(x,y) = x + 8y.

Tính giá trị F(x,y) tại các điểm O, A, B, C, D, ta có:

F(0;0) = 0 + 8.0 = 0;

F(0;900) = 0 + 8.900 = 7 200;

F(220;900) = 220 + 8.900 = 7 420;

F(360;200) = 360 + 8.200 = 1 960;

F(360;0) = 360 + 8.0 = 360;

Suy ra hàm F(x,y) đạt giá trị lớn nhất bằng 7 420 tại x = 220, y = 900.

Vậy công ty cần đặt thời gian quảng cáo 900 giây trên các đài phát thanh và 220 giây trên đài truyền hình để đạt hiệu quả cao nhất.

Lời giải bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương II hay khác:

• Giải Toán 10 trang 31

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

• Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

• Bài tập cuối chương III

• Bài 7: Các khái niệm mở đầu

• Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---