Hàm số lượng giác và đồ thị (Lý thuyết Toán lớp 11) | Chân trời sáng tạo

Với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Hàm số lượng giác và đồ thị (Lý thuyết Toán lớp 11) | Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Hàm số lượng giác và đồ thị

1. Hàm số lượng giác

- Hàm số sin là quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sin x, kí hiệu y = sin x.

- Hàm số côsin là quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cos x, kí hiệu          y = cos x.

- Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức

$y=\frac{\sin x}{\cos x}$ với $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(}\left(k\in \mathbb{Z}\right)),$ kí hiệu y = tan x.

- Hàm số côtang là hàm số được xác định bởi công thức

$y=\frac{\cos x}{\sin x}$ với x ≠ kπ (k ∈ ℤ), kí hiệu y = cot x.

Chú ý:

• Tập xác định của hàm số y = sin x và y = cos x là ℝ.

2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn

2.1. Hàm số chẵn, hàm số lẻ

- Hàm số y = f(x) với tập xác định D được gọi là hàm số chẵn nếu với mọi x ∈ D ta có    – x ∈ D và f(−x) = f(x).

- Hàm số y = f(x) với tập xác định D được gọi là hàm số lẻ nếu với mọi x ∈ D ta có              – x ∈ D và f(−x) = −f(x).

Chú ý:

• Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

• Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

Ví dụ: Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = f(x) = sin(2x + 1).

Ta có hàm số y = f(x) = sin(2x + 1) có tập xác định là ℝ. Với mọi x ∈ ℝ ta có –x ∈ ℝ và f(–x) = sin[2(–x) + 1] = sin(–2x + 1) = –sin(2x – 1).

Nhận thấy f(–x) ≠ f(x) và f(–x) ≠ –f(x).

Vậy hàm số y = sin(2x + 1) không phải hàm số chẵn, không phải hàm số lẻ.

2.2. Hàm số tuần hoàn

- Hàm số y = f(x) với tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại một số T khác 0 sao cho với mọi x ∈ D ta có x ± T ∈ D và f(x + T) = f(x).

- Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên (nếu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn y = f(x).

Chú ý:

• Đồ thị của hàm số tuần hoàn chu kì T được lặp lại trên từng đoạn giá trị của x có độ dài T.

• Các hàm số y = sin x và y = cos x là các hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.

• Các hàm số y = tan x và y = cot x là các hàm số tuần hoàn với chu kì π.

3. Đồ thị của các hàm số lượng giác

3.1. Hàm số y = sin x

Hàm số y = sin x có tập xác định là ℝ, tập giá trị là [−1; 1] và có các tính chất sau:

- Hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.

- Hàm số lẻ, có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O.

- Hàm số đồng biến trên các khoảng ($\left(-\frac{\pi }{2}+2k\pi ;\frac{\pi }{2}+2k\pi \right)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em})(}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$) và nghịch biến trên các khoảng ($\left(\frac{\pi }{2}+2k\pi ;\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em})(}\left(k\in \mathbb{Z}\right).$)

Đồ thị của hàm số y = sin x trên ℝ như sau:

Chú ý:

• Vì y = sin x là hàm số lẻ nên để vẽ đồ thị của nó trên đoạn [−π; π], ta có thể vẽ trên đoạn [0; π], sau đó lấy đối xứng qua gốc tọa độ.

3.2. Hàm số y = cos x

Hàm số y = cos x có tập xác định là ℝ, tập giá trị là [−1; 1] và có các tính chất sau:

- Hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.

- Hàm số chẵn, có đồ thị đối xứng qua trục Oy.

- Hàm số đồng biến trên các khoảng ($\left(-\pi +2k\pi ;2k\pi \right)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em})(}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$) và nghịch biến trên các khoảng ($\left(2k\pi ;\pi +2k\pi \right)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em})(}\left(k\in \mathbb{Z}\right).$)

Đồ thị của hàm số y = cos x trên ℝ như sau:

Chú ý:

• Vì y = cos x là hàm số chẵn nên để vẽ đồ thị của nó trên đoạn [−π; π], ta có thể vẽ trên đoạn [0; π], sau đó lấy đối xứng qua trục tung.

3.3. Hàm số y = tan x

Hàm số y = tan x có tập xác định là  và có các tính chất sau:

- Hàm số tuần hoàn với chu kì π.

- Hàm số lẻn, có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O.

- Hàm số đồng biến trên các khoảng ($\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi \right)\left(k\in \mathbb{Z}\right).$)

Đồ thị của hàm số y = tan x trên  như sau:

Chú ý:

• Vì y = tan x là hàm số lẻ nên để vẽ đồ thị của nó trên khoảng ($\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right),$) ta có thể vẽ trên nửa khoảng [$\left[0;\frac{\pi }{2}\right),$) sau đó lấy đối xứng qua gốc tọa độ.

3.4. Hàm số y = cot x

Hàm số y = cot x có tập xác định là  và có các tính chất sau:

- Hàm số tuần hoàn với chu kì π.

- Hàm số lẻn, có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O.

- Hàm số nghịch biến trên các khoảng ($\left(k\pi ;\pi +k\pi \right)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em})(}\left(k\in \mathbb{Z}\right).$)

Đồ thị của hàm số y = cot x trên  như sau:

Bài tập Hàm số lượng giác và đồ thị

Bài 1. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a) $f\left(x\right)=\frac{x^2}{\sin x+\tan x}.$

b) f(x) = |x|.sin x.

Hướng dẫn giải

⇔ sin 2x ≠ 0 ⇔ 2x ≠ kπ ⇔ $x\ne \frac{k\pi }{2}$, k ∈ ℤ.

Vậy hàm số f(x) xác định trên  là tập đối xứng.

Ta có: $f\left(-x\right)=\frac{{\left(-x\right)}^2}{\sin \left(-x\right)+\tan \left(-x\right)}=-\frac{x^2}{\sin x+\tan x}=-f\left(x\right)$

Vậy hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2}{\sin x+\tan x}$ là hàm số lẻ.

b) Hàm số f(x) xác định trên D = ℝ là tập đối xứng

Ta có: f(−x) = |−x|.sin (−x) = |x|.sin x = −f(x).

Vậy hàm số f(x) = |x|.sin x là hàm số lẻ.

Bài 2. Tìm tập xác định của hàm số: $y=\sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}.$

Hướng dẫn giải

Hàm số $y=\sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}$ xác định ⇔

Vì $-1\le \cos x\le 1,\forall x\in ℝ$ nên

⇒ $\frac{1+\cos x}{1-\cos x}\ge 0,\left(1-\cos x\right)\ne 0.$

Do đó y xác định khi và chỉ khi $1-\cos x\ne 0$ ⇔ cos x ≠ 1 ⇔ x ≠ k2π.

Vậy tập xác định của hàm số là D = ℝ \ {k2π, k ∈ ℤ}.

Bài 3. Dựa vào đồ thị của hàm số y = sin x, vẽ đồ thị của hàm số y = |sin x|.

Hướng dẫn giải

Ta biết đồ thị hàm số y = sin x có dạng như sau:

Với hàm số y = |sin x| ta có:

Từ dồ thị hàm số y = sin x ta có thể suy ra đồ thị hàm số y = |sin x| bằng cách:

- Giữ nguyên phần đồ thị nằm phía trên trục Ox (sin x > 0).

- Lấy đối xứng phần đồ thị nằm phía dưới Ox qua Ox.

Như vậy, ta được đồ thị hàm số y = |sin x| có dạng như sau (nét liền).

Học tốt Hàm số lượng giác và đồ thị

Các bài học để học tốt Hàm số lượng giác và đồ thị Toán lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 hay khác:

• Lý thuyết Toán 11 Bài 5: Phương trình lượng giác cơ bản

• Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 1

• Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Dãy số

• Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Cấp số cộng

• Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Cấp số nhân

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)

---