Lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo Học kì 2 (hay, chi tiết)

Với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Học kì 2 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết bám sát nội dung từng bài học sgk Toán 11 Tập 2 sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 11.

Lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo Học kì 2

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CTST

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CTST

Phép tính lũy thừa lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo)

Lý thuyết Phép tính lũy thừa

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

Ở cấp Trung học cơ sở, chúng ta đã biết lũy thừa với số mũ tự nhiên:

$a^n=\underset{n\text{\hspace{0.33em}thua\hspace{0.33em}so}}{\underbrace{a.a.a\mathrm{....}a}}$$\left(n\in \mathbb{N},n>0,a\in ℝ\right),$ $a^0=1\left(a\ne 0\right).$

Phép tính lũy thừa có thể mở rộng với số mũ nguyên bất kì. Lũy thừa với số mũ nguyên âm được định nghĩa như sau:

Với số nguyên dương n, số thực a ≠ 0, lũy thừa của a với số mũ –n xác định bởi

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

Chú ý:

a) a⁰ = 1 với mọi a ∈ ℝ, a ≠ 0.

b) 0⁰ và 0^–n (với n > 0) không có nghĩa.

Ví dụ 1. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) 3^-3

b)$5\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^{-2}$

c) ${\left(\frac{3}{4}\right)}^{-2}:{\left(\sqrt{7}\right)}^0$

Hướng dẫn giải

a) $3^{-3}=\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27}$; 

b) $5\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^{-2}=5\cdot \frac{1}{{\left(\frac{2}{3}\right)}^2}$$=5\cdot \frac{1}{\frac{4}{9}}=5\cdot \frac{9}{4}=\frac{45}{4}$ ;

c) ${\left(\frac{3}{4}\right)}^{-2}:{\left(\sqrt{7}\right)}^0=\frac{1}{{\left(\frac{3}{4}\right)}^2}:1$$=\frac{1}{\frac{9}{16}}=\frac{16}{9}$.

2. Căn bậc n

Mở rộng phép lấy căn bậc hai, căn bậc ba đã quen thuộc ở cấp Trung học cơ sờ, ta có định nghĩa sau đây:

Cho số nguyên dương n (n ≥ 2) và số thực b bất kì. Nếu có số thực a sao cho

aⁿ = b

thì a được gọi là một căn bậc n của b.

Chú ý: Ở cấp Trung học cơ sở ta đã biết:

a) Nếu b > 0 thì b có hai căn bậc hai, kí hiệu là $\sqrt{b}$ (gọi là căn bậc hai số học của b) và $-\sqrt{b}$;

b) Số 0 chỉ có duy nhất một căn bậc hai là chính nó;

c) Nếu b < 0 thì b không có căn bậc hai nào;

d) Mọi số thực b có duy nhất một căn bậc ba, kí hiệu là $\sqrt[3]{b}$.

Mở rộng kết quả này, ta có:

Cho n là số nguyên dương (n ≥ 2), b là số thực bất kì. Khi đó:

+ Nếu n là số chẵn thì:

•  b < 0: không tồn tại căn bậc n của b.

•  b = 0: có một căn bậc n của b là 0.

•  b > 0: có hai căn bậc n của b đối nhau, kí hiệu giá trị dương là $\sqrt[n]{b}$ và giá trị âm là $-\sqrt[n]{b}$.

+ Nếu n là số lẻ thì có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu $\sqrt[n]{b}$.

Chú ý:

a) Nếu n chẵn thì căn thức $\sqrt[n]{b}$ có nghĩa chi khi  b ≥ 0.

b) Nếu n lẻ thì căn thức $\sqrt[n]{b}$ luôn có nghĩa với mọi số thực b.

Ví dụ 2. Tính:

a) $\sqrt[3]{-216}$

b) $\sqrt[6]{\frac{1}{729}}$.

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt[3]{-216}=\sqrt[3]{{\left(-6\right)}^3}=-6$;

b) $\sqrt[6]{\frac{1}{729}}=\sqrt[6]{{\left(\frac{1}{3}\right)}^6}=\frac{1}{3}$.

Tính chất của căn bậc n

Ta có các tính chất sau đây (với điều kiện các căn thức đều có nghĩa):

• $\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$

• $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$

• ${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m=\sqrt[n]{a^m}$

• $\sqrt[n]{a^n}=\left\{\begin{array}{l}a\text{ khi }n\text{ le }\\ \left|a\right|\text{ khi }n\text{ chăn }\end{array}\right.$

• $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mm]{a}$

Ví dụ 3. Tính:

a) $\sqrt[5]{-16}\cdot \sqrt[5]{2}$;

b) $\sqrt[3]{7\sqrt{7}}$.

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt[5]{-16}\cdot \sqrt[5]{2}=\sqrt[5]{\left(-16\right)\cdot 2}$$=\sqrt[5]{-32}=\sqrt[5]{{\left(-2\right)}^5}=-2$;

b) $\sqrt[3]{7\sqrt{7}}=\sqrt[3]{{\left(\sqrt{7}\right)}^3}=\sqrt{7}$.

3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực dương a và số hữu tỉ $r=\frac{m}{n}$, trong đó m, n ∈ ℤ, n > 0.

Luỹ thừa của a với số mũ r, kí hiệu a^r, được xác định bởi

$a^r=a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}.$

Ví dụ 4. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) ${36}^{\frac{1}{2}}$;

b) ${\left(\frac{25}{81}\right)}^{-\frac{1}{2}}$;

c) 64^1,5

Hướng dẫn giải

a) ${36}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{36}=6$;

b) ${\left(\frac{25}{81}\right)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{{\left(\frac{25}{81}\right)}^{\frac{1}{2}}}$$=\frac{1}{\sqrt{\frac{25}{81}}}=\frac{1}{\frac{5}{9}}=\frac{9}{5}$;

c) ${64}^{1,5}={64}^{\frac{3}{2}}=\sqrt{{64}^3}=512$.

4. Lũy thừa với mũ thực

Môt cách tổng quát, với a là số thực dương, α là số vô tỷ bất kỳ, người ta chứng minh được rằng có dãy số hữu tỉ (r_n) sao cho $\alpha =\underset{n\to +\infty }{\lim }{r}_n$ và dãy số $\left(a^{r_n}\right)$ có giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy (r_n).

Giới hạn của dãy số $\left(a^{r_n}\right)$ được gọi là lũy thừa của số thực dương a với số mũ α, kí hiệu là $a^{\alpha }$.

 $a^{\alpha }=\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}^{r_n}$ với $\alpha =\underset{n\to +\infty }{\lim }{r}_n$

Chú ý: $1^{\alpha }=1$ với mọi α ∈ ℝ.

5. Tính chất của phép tính lũy thừa

Phép tính luỹ thừa với số mũ thực có tính chất tương tự như luỹ thừa với số mũ tự nhiên.

Cho a, b là những số thực dương; α, β là những số thực bất kì. Khi đó:

$\begin{array}{ll}{a}^{\alpha }\cdot a^{\beta }=a^{\alpha +\beta };& \frac{a^{\alpha }}{a^{\beta }}=a^{\alpha -\beta };\\ {\left(a^{\alpha }\right)}^{\beta }=a^{\alpha \beta };& {\left(ab\right)}^{\alpha }=a^{\alpha }{b}^{\alpha };\\ {\left(\frac{a}{b}\right)}^{\alpha }=\frac{a^{\alpha }}{b^{\alpha }}.& \end{array}$

Ví dụ 5. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A=\frac{\sqrt[3]{a^5}\cdot a^{\frac{7}{3}}}{a^4\cdot \sqrt[7]{a^{-2}}}$ với a > 0;

b) $B=\frac{a^{\sqrt{3}+1}\cdot a^{2-\sqrt{3}}}{{\left(a^{\sqrt{2}-2}\right)}^{\sqrt{2}+2}}$ với a > 0.

Hướng dẫn giải

a) $A=\frac{\sqrt[3]{a^5}\cdot a^{\frac{7}{3}}}{a^4\cdot \sqrt[7]{a^{-2}}}=\frac{a^{\frac{5}{3}}\cdot a^{\frac{7}{3}}}{a^4\cdot a^{\frac{-2}{7}}}$$=\frac{a^{\frac{5}{3}+\frac{7}{3}}}{a^{4-\frac{2}{7}}}=\frac{a^4}{a^{\frac{26}{7}}}$$=a^{4-\frac{26}{7}}=a^{\frac{2}{7}}$

b) $B=\frac{a^{\sqrt{3}+1}\cdot a^{2-\sqrt{3}}}{{\left(a^{\sqrt{2}-2}\right)}^{\sqrt{2}+2}}$$=\frac{a^{\sqrt{3}+1+2-\sqrt{3}}}{a^{\left(\sqrt{2}-2\right)\left(\sqrt{2}+2\right)}}$$=\frac{a^3}{a^{-2}}=a^5$

Bài tập Phép tính lũy thừa

Bài 1. Thực hiện phép tính:

a) $\sqrt[3]{2021}\cdot \sqrt[5]{2021}$;

b) ${\left(7+4\sqrt{3}\right)}^{2017}{\left(4\sqrt{3}-7\right)}^{2016}$;

c) ${\left(\frac{1}{27}\right)}^{-\frac{2}{3}}+{\left(\frac{1}{16}\right)}^{-1,25}$;

d) $\frac{3^5\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^3+{\left(2^2\right)}^{-3}\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^{-4}}{5^{-3}\cdot {25}^2+{\left(\frac{3}{2}\right)}^0\cdot {\left(\frac{1}{25}\right)}^{-1}}$.

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt[3]{2021}\cdot \sqrt[5]{2021}={2021}^{\frac{1}{3}}\cdot {2021}^{\frac{1}{5}}$$={2021}^{\frac{1}{3}+\frac{1}{5}}={2021}^{\frac{8}{15}}$.

b) ${\left(7+4\sqrt{3}\right)}^{2017}{\left(4\sqrt{3}-7\right)}^{2016}$$=\left(7+4\sqrt{3}\right){\left[\left(7+4\sqrt{3}\right)\left(4\sqrt{3}-7\right)\right]}^{2016}$

$=\left(7+4\sqrt{3}\right){\left(-1\right)}^{2016}$$=7+4\sqrt{3}$

c) ${\left(\frac{1}{27}\right)}^{-\frac{2}{3}}+{\left(\frac{1}{16}\right)}^{-1,25}={27}^{\frac{2}{3}}+{16}^{\frac{5}{4}}$$=\sqrt[3]{{27}^2}+\sqrt[4]{{16}^5}=\sqrt[3]{3^6}+\sqrt[4]{2^{20}}$$=3^2+2^5=41$

d) $\frac{3^5\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^3+{\left(2^2\right)}^{-3}\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^{-4}}{5^{-3}\cdot {25}^2+{\left(\frac{3}{2}\right)}^0\cdot {\left(\frac{1}{25}\right)}^{-1}}$$=\frac{3^2+2^2}{5+5^2}$$=\frac{13}{30}$

Bài 2. Viết các biểu thức sau dưới dạng một lũy thừa:

a) $5\cdot \sqrt{5}\cdot \sqrt[4]{5}\cdot \sqrt[8]{5}$;

b) $\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}}$ (a ≥ 0);

c) $\frac{\sqrt{b}\cdot \sqrt[4]{b}\cdot \sqrt[5]{b}}{\left({\sqrt[6]{b}}^5\right)\cdot b^{\frac{3}{5}}}$ (b > 0).

Hướng dẫn giải

a) $5\cdot \sqrt{5}\cdot \sqrt[4]{5}\cdot \sqrt[8]{5}=5\cdot 5^{\frac{1}{2}}\cdot 5^{\frac{1}{4}}\cdot 5^{\frac{1}{8}}$$=5^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}}=5^{\frac{15}{8}}$;

b) Với a ≥ 0, ta có

$\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}}=\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a\cdot a^{\frac{1}{2}}}}}$$=\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a^{\frac{3}{2}}}}}$

$=\sqrt{a\sqrt{a\cdot a^{\frac{3}{4}}}}$$=\sqrt{a\sqrt{a^{\frac{7}{4}}}}=\sqrt{a\cdot a^{\frac{7}{8}}}$$=\sqrt{a^{\frac{15}{8}}}=a^{\frac{15}{16}}$

c) Với b > 0, ta có $\frac{\sqrt{b}\cdot \sqrt[4]{b}\cdot \sqrt[5]{b}}{\left({\sqrt[6]{b}}^5\right)\cdot b^{\frac{3}{5}}}$$=\frac{b^{\frac{1}{2}}\cdot b^{\frac{1}{4}}\cdot b^{\frac{1}{5}}}{b^{\frac{5}{6}}\cdot b^{\frac{3}{5}}}$$=b^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{5}{6}-\frac{3}{5}}=b^{-\frac{29}{60}}$

Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\frac{x^{\frac{1}{3}}\sqrt[6]{x}}{\sqrt[4]{x}}$ (x > 0);

b) $a^{\sqrt{2}}\cdot {\left(\frac{1}{a}\right)}^{\sqrt{2}-1}$ (a > 0);

c) $\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x^2}}}$ (x ≥ 0);

d) $\frac{a^{\frac{1}{4}}\sqrt[3]{b}+b^{\frac{1}{4}}\sqrt[3]{a}}{\sqrt[12]{a}+\sqrt[12]{b}}$ (a, b > 0).

Hướng dẫn giải

a) $\frac{x^{\frac{1}{3}}\sqrt[6]{x}}{\sqrt[4]{x}}=\frac{x^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{1}{6}}}{x^{\frac{1}{4}}}$$=x^{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}-\frac{1}{4}}=x^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{x}$;

b) $a^{\sqrt{2}}\cdot {\left(\frac{1}{a}\right)}^{\sqrt{2}-1}=a^{\sqrt{2}}\cdot {\left(a^{-1}\right)}^{\sqrt{2}-1}$$=a^{\sqrt{2}}\cdot a^{-\sqrt{2}+1}=a^{\sqrt{2}-\sqrt{2}+1}$$=a^1=a$;

c) $\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x^2}}}=\sqrt{x\sqrt{x\cdot x}}$$=\sqrt{x\cdot x}=x$

d) $\frac{a^{\frac{1}{4}}\sqrt[3]{b}+b^{\frac{1}{4}}\sqrt[3]{a}}{\sqrt[12]{a}+\sqrt[12]{b}}=\frac{a^{\frac{1}{4}}{b}^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{4}}{a}^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{12}}+b^{\frac{1}{12}}}$$=\frac{a^{\frac{1}{4}}{b}^{\frac{1}{4}}\left(b^{\frac{1}{12}}+a^{\frac{1}{12}}\right)}{\left(a^{\frac{1}{12}}+b^{\frac{1}{12}}\right)}=a^{\frac{1}{4}}{b}^{\frac{1}{4}}$

Bài 4. Ông An gửi 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 0,8%/ tháng. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho tháng tiếp theo và từ tháng thứ hai trở đi, mỗi tháng ông gửi thêm vào tài khoản với số tiền 2 triệu đồng. Hỏi sau đúng 2 năm số tiền ông An nhận được cả gốc lẫn lãi là bao nhiêu? Biết rằng trong suốt thời gian gửi lãi suất không thay đổi và ông An không rút tiền ra.

Hướng dẫn giải

Với 100 triệu đồng ban đầu số tiền cả lãi và gốc thu được sau hai năm là

 $T_1=100\cdot {10}^6\cdot {\left(1+0,8\%\right)}^{24}$$\approx 121074524$(đồng).

Mỗi tháng tiếp theo gửi 2 triệu đồng thì tổng số tiền cả lãi và gốc là

 $T_2=\frac{2\cdot {10}^6}{0,008}\cdot \left[{\left(1+0,008\right)}^{23}-1\right]\cdot \left(1+0,008\right)$$\approx 50686310$(đồng).

Vậy tổng số tiền ông An nhận được là $T=T_1+T_2\approx 171761000$ (đồng).

................................

................................

................................

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CTST

Xem thêm đề thi lớp 11 các môn học có đáp án hay khác:

Tài liệu giáo án lớp 11 các môn học chuẩn khác:

Xem online sách lớp 11 mới

• PDF Bộ sách lớp 11 Kết nối tri thức
• PDF Bộ sách lớp 11 Cánh diều
• PDF Bộ sách lớp 11 Chân trời sáng tạo

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)

---