Phép tính lôgarit lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo)

Trang trước Trang sau

Với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 2: Phép tính lôgarit sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Phép tính lôgarit lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo)

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CTST

Quảng cáo

Bài giảng: Bài 2: Phép tính lôgarit - Cô Nguyễn Yến (Giáo viên VietJack)

Lý thuyết Phép tính lôgarit

1. Khái niệm lôgarit

Cho hai số thực dương a, b với $a \neq 1$ . Số thực α thoả mãn đẳng thức $a^{α} = b$ được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là $\log_{a} b$ .

$α = \log_{a} b \Leftrightarrow a^{α} = b$

Chú ý:

a) Biểu thức $\log_{a} b$ chỉ có nghĩa khi $a > 0, a \neq 1$ và b > 0.

b) Từ định nghĩa lôgarit, ta có:

Phép tính lôgarit lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo) (ảnh 1)

Hai công thức (3) và (4) cho thấy phép lấy lôgarit và phép nâng lên luỹ thừa là hai phép toán ngược nhau.

Ví dụ 1. Tính:

a) $\log_{2} \frac{1}{16}$ ;

b) $\log_{5} \sqrt[4]{5}$ .

Quảng cáo

Hướng dẫn giải

a) $\log_{2} \frac{1}{16} = \log_{2} 2^{- 4}$ $= - 4.$

b) $\log_{5} \sqrt[4]{5} = \log_{5} 5^{\frac{1}{4}}$ $= \frac{1}{4}$ .

2. Tính lôgarit bằng máy tính cầm tay

Sử dụng máy tính cầm tay, ta có thể tính nhanh giá trị của các lôgarit (thường cần lấy giá trị gần đúng bằng cách làm tròn đến hàng nào đó).

Chú ý:

a) Lôgarit cơ số 10 được gọi là lôgarit thập phân. Ta viết log N hoặc lg N thay cho $\log_{10} N$ .

b) Lôgarit cơ số e còn được gọi là lôgarit tự nhiên. Ta viết ln N thay cho $\log_{e} N$ .

Ví dụ 2. Sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị các biểu thức sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ tư):

a) $\log 6, 52$ ;

b) $\ln 6, 52$ ;

c) $\log_{14} 17$ .

Quảng cáo

Hướng dẫn giải

Tính (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ tư)	Bấm phím	Màn hình hiện	Kết quả
$\log 6, 52$		0.8142475957	$\log 6, 52 \approx 0, 8142$
$\ln 6, 52$		1.874874376	$\ln 6, 52 \approx 1, 8749$
$\log_{14} 17$		1.073570215	$\log_{14} 17 \approx 1, 0736$

3. Tính chất của phép tính lôgarit

Cho các số thực dương a, M, N với $a \neq 1$ , ta có:

• $\log_{a} (MN) = \log_{a} M + \log_{a} N$

• $\log_{a} \frac{M}{N} = \log_{a} M - \log_{a} N$

• $\log_{a} M^{α} = {αlog}_{a} M$ $(α \in ℝ)$

Chú ý: Đặc biệt, a, M, N với dương, $a \neq 1$ , ta có:

Ví dụ 3. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $\log_{π} \frac{1}{2} + \log_{π} 2$ ;

Quảng cáo

b) $\log_{3} \frac{5}{9} - 2 \log_{3} \sqrt{5}$ ;

c) $\log_{2} \sqrt[4]{8}$ .

Hướng dẫn giải

a) $\log_{π} \frac{1}{2} + \log_{π} 2$ $= \log_{π} (\frac{1}{2} \cdot 2)$ $= \log_{π} 1 = 0;$

b) $\log_{3} \frac{5}{9} - 2 \log_{3} \sqrt{5}$ $= \log_{3} \frac{5}{9} - \log_{3} {(\sqrt{5})}^{2}$ $= \log_{3} \frac{5}{9} - \log_{3} 5$

$= \log_{3} (\frac{5}{9} : 5)$ $= \log_{3} \frac{1}{9} = \log_{3} 3^{- 2}$ $= - 2$ ;

c) $\log_{2} \sqrt[4]{8} = \log_{2} 8^{\frac{1}{4}}$ $= \frac{1}{4} \log_{2} 8 = \frac{1}{4} \cdot 3$ $= \frac{3}{4} .$

4. Công thức đổi cơ số

Cho các số dương $a, b, N (a \neq 1, b \neq 1)$ , ta có

$\log_{a} N = \frac{\log_{b} N}{\log_{b} a}$

Đặc biệt, ta có:

Phép tính lôgarit lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo) (ảnh 8)

Ví dụ 4. Tính:

a) $\log_{8} 16$ ;

b) $\log_{27} 25 \cdot \log_{5} 81$ .

Hướng dẫn giải

a) $\log_{8} 16 = \frac{\log_{2} 16}{\log_{2} 8}$ $= \frac{\log_{2} 2^{4}}{\log_{2} 2^{3}} = \frac{4}{3};$

b) $\log_{27} 25 \cdot \log_{5} 81$ $= \frac{\log_{3} 25}{\log_{3} 27} \cdot \frac{\log_{3} 81}{\log_{3} 5}$ $= \frac{\log_{3} 5^{2}}{\log_{3} 3^{3}} \cdot \frac{\log_{3} 3^{4}}{\log_{3} 5}$ $= \frac{2 \log_{3} 5}{3} \cdot \frac{4}{\log_{3} 5}$ $= \frac{8}{3}$ .

Bài tập Phép tính lôgarit

Bài 1. Tính:

a) $\log_{2} \frac{1}{64};$

b) $\log 1000$

c) $\log_{5} 1250 - \log_{5} 10$

d) $4^{\log_{2} 3} .$

Hướng dẫn giải

a) $\log_{2} \frac{1}{64} = \log_{2} 2^{- 6}$ $= - 6$

b) $\log 1000 = \log 10^{3} = 3$

c) $\log_{5} 1250 - \log_{5} 10$ $= \log_{5} \frac{1250}{10} = \log_{5} 125$ $= \log_{5} 5^{3} = 3$

d) $4^{\log_{2} 3} = {(2^{\log_{2} 3})}^{2}$ $= 3^{2} = 9$

Bài 2. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $T = \log_{\sqrt{3}} (\frac{\sqrt[4]{27} \cdot \sqrt[3]{9}}{\sqrt{3}})$ ;

b) $P = \log_{3} 2 \cdot \log_{4} 3 \cdot \log_{5} 4 \cdot . .. \cdot \log_{16} 15$ ;

c) $Q = \log_{2} 4 \sqrt[3]{16} -$ $2 \log_{\frac{1}{3}} 27 \sqrt[3]{3} +$ $\frac{4^{2 + \log_{2} 3}}{3^{\log_{9} 2 - \log_{\frac{1}{3}} 5}}$ ;

d) $M = \log_{2} 2 + \log_{2} 4 +$ $\log_{2} 8 + . .. + \log_{2} 256$ .

Hướng dẫn giải

a) $T = \log_{\sqrt{3}} (\frac{\sqrt[4]{27} \cdot \sqrt[3]{9}}{\sqrt{3}})$ $= \log_{\sqrt{3}} (\sqrt[4]{27} \cdot \sqrt[3]{9})$ $- \log_{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

$= 2 \log_{3} (3^{\frac{3}{4}} \cdot 3^{\frac{2}{3}}) - 1$ $= 2 \log_{3} (3^{\frac{17}{12}}) - 1$ $= 2 \cdot \frac{17}{12} - 1 = \frac{11}{6}$ .

b) $P = \log_{16} 15 \cdot \log_{15} 14 \cdot . .. \cdot$ $\log_{5} 4 \cdot \log_{4} 3 \cdot \log_{3} 2$ $= \log_{16} 2 = \frac{1}{4}$ .

c) Ta có $\log_{2} 4 \sqrt[3]{16} = \log_{2} (2^{2} \cdot 2^{\frac{4}{3}})$ $= \log_{2} 2^{\frac{10}{3}} = \frac{10}{3}$ ;

Phép tính lôgarit lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo) (ảnh 5)

$4^{2 + \log_{2} 3} = 4^{2} \cdot 4^{\log_{2} 3}$ $= 16 \cdot 2^{2 \log_{2} 3}$ $= 16 \cdot 2^{\log_{2} 9} = 16 \cdot 9$ $= 144$ ;

$3^{\log_{9} 2 - \log_{\frac{1}{3}} 5}$ $= \frac{3^{\log_{9} 2}}{3^{\log_{\frac{1}{3}} 5}} = \frac{3^{\frac{1}{2} \log_{3} 2}}{3^{- \log_{3} 5}}$ $= \frac{3^{\log_{3} \sqrt{2}}}{3^{\log_{3} \frac{1}{5}}} = \frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{5}}$ $= 5 \sqrt{2}$ .

Vậy $Q = \frac{10}{3} - 2 \cdot (- \frac{10}{3})$ $+ \frac{144}{5 \sqrt{2}}$ $= 10 + \frac{144}{5 \sqrt{2}}$ .

d) $M = \log_{2} 2 + \log_{2} 4$ $+ \log_{2} 8 + . .. + \log_{2} 256$ $= \log_{2} (2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot . .. \cdot 256)$

$= \log_{2} (2^{1} \cdot 2^{2} \cdot 2^{3} \cdot ... \cdot 2^{8})$ $= \log_{2} (2^{1 + 2 + 3 + ... + 8})$

$= (1 + 2 + 3 + ... + 8) \log_{2} 2$ $= 1 + 2 + 3 + ... + 8 = 36$ .

Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $P = \log_{a} b^{3} + \log_{a^{2}} b^{6}$ (a, b > 0; a ≠ 1);

b) $S = \ln \frac{a}{b} + \ln \frac{b}{c} + \ln \frac{c}{d} + \ln \frac{d}{a}$ (a, b, c, d > 0);

c) $M = 3 \log_{\sqrt{3}} \sqrt{x} - 6 \log_{9} (3 x)$ $+ \log_{\frac{1}{3}} \frac{x}{9}$ (x > 0);

d) $N = \log_{a^{2}} (a^{10} b^{2})$ $+ \log_{\sqrt{a}} (\frac{a}{\sqrt{b}})$ $+ \log_{\sqrt[3]{b}} (b^{- 2})$ ( $0 < a \neq 1; 0 < b \neq 1$ ).

Hướng dẫn giải

a) $P = \log_{a} b^{3} + \log_{a^{2}} b^{6}$ $= 3 \log_{a} b + \frac{6}{2} \log_{a} b$ $= 6 \log_{a} b$ .

b) $S = \ln \frac{a}{b} + \ln \frac{b}{c} + \ln \frac{c}{d} + \ln \frac{d}{a}$ $= \ln (\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{d} \cdot \frac{d}{a})$ $= \ln 1 = 0$ .

d) Phép tính lôgarit lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo) (ảnh 10)

Bài 4.

a) Cho các số thực dương a, b thỏa mãn $\log_{3} a = x$ , $\log_{3} b = y$ . Tính $P = \log_{3} (3 a^{4} b^{5})$ .

b) Đặt $a = \log_{2} 3; b = \log_{3} 5$ . Biểu diễn $\log_{20} 12$ theo a và b.

Hướng dẫn giải

b) Ta có $\log_{20} 12 = \log_{20} 3 + 2 \log_{20} 2$ $= \frac{1}{2 \log_{3} 2 + \log_{3} 5}$ $+ \frac{2}{\log_{2} 5 + 2}$

$= \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{a} + b} + \frac{2}{ab + 2}$ $= \frac{a + 2}{ab + 2}$ .

Bài 5. Để tính độ tuổi của mẫu vật bằng gỗ, người ta đo độ phóng xạ của có trong mẫu vật tại thời điểm t (năm) (so với thời điểm ban đầu t = 0), sau đó sử dụng công thức tính độ phóng xạ $H = H_{0} e^{- λt}$ (đơn vị là Becquerel, kí hiệu Bq) với H₀ là độ phóng xạ ban đầu (tại thời điểm t = 0); $λ = \frac{\ln 2}{T}$ là hằng số phóng xạ, T = 5730 (năm) (Nguồn: Vật lí 12 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2014). Khảo sát một mẫu gỗ cổ, các nhà khoa học đo được độ phóng xạ là 0,215 Bq. Biết độ phóng xạ của mẫu gỗ tươi cùng loại là 0,250 Bq. Xác định độ tuổi của mẫu gỗ cổ đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).