Hàm số mũ. Hàm số lôgarit lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo)

Với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 3: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Hàm số mũ. Hàm số lôgarit lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo)

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CTST

Lý thuyết Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

1. Hàm số mũ

Cho số thực dương a khác 1.

Hàm số cho tương ứng mỗi số thực x với số thực $a^x$ được gọi là hàm số mũ cơ số a, kí hiệu $y=a^x$.

Nhận xét: Hàm số $y=a^x$ có tập xác định là $ℝ$.

Ví dụ 1. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số mũ? Chỉ ra cơ số của nó.

a) $y=2^{\frac{x}{3}}$;

b) $y=x^{-5}$;

c) $y=5^{-2x}$.

Hướng dẫn giải

a) $y=2^{\frac{x}{3}}={\left(2^{\frac{1}{3}}\right)}^x={\left(\sqrt[3]{2}\right)}^x$là hàm số mũ với cơ số $\sqrt[3]{2}$.

b) $y=x^{-5}$ không phải là hàm số mũ.

c) $y=5^{-2x}={\left(5^{-2}\right)}^x={\left(\frac{1}{5^2}\right)}^x={\left(\frac{1}{25}\right)}^x$ là hàm số mũ với cơ số $\frac{1}{25}$.

Đồ thị của hàm số mũ

Tổng quát, ta có đồ thị của hàm số $y=a^x$ với a > 1 và 0 < a < 1 như sau:

Từ đó, hàm số $y=a^x\left(a>0,a\ne 1\right)$ có:

(1) Tập xác định: $D=ℝ$.

Tập giá trị: $T=\left(0;+\infty \right)$.

Hàm số liên tục trên $ℝ$.

(2) Sự biến thiên:

• Nếu a > 1 thì hàm số đồng biến trên $ℝ$ và

• Nếu 0 < a < 1 thì hàm số nghịch biến trên $ℝ$ và

(3) Đồ thị:

• Cắt trục tung tại điểm (0; 1); đi qua điểm (1; a).

• Nằm phía trên trục hoành.

Ví dụ 2. Sử dụng tính chất của hàm số mũ, so sánh các cặp số sau:

a) 5,6³ và 5,6^2,7;

b) 0,7^–2,6 và 0,7^–1,8;

c) $\sqrt[4]{3}$ và $\sqrt[6]{9}$.

Hướng dẫn giải

a) Do 5,6 > 1 nên hàm số y = 5,6^x đồng biến trên ℝ. Mà 3 > 2,7 nên 5,6³ > 5,6^2,7.

b) Do 0,7 < 1 nên hàm số y = 0,7^x nghịch biến trên ℝ.

Mà –2,6 < –1,8 nên 0,7^–2,6 > 0,7^–1,8.

c) Ta có $\sqrt[4]{3}=3^{\frac{1}{4}};\sqrt[6]{9}=\sqrt[6]{3^2}=3^{\frac{2}{6}}=3^{\frac{1}{3}}$.

Do 3 > 1 nên hàm số y = 3^x đồng biến trên ℝ.

Mà $\frac{1}{4}<\frac{1}{3}$ nên $3^{\frac{1}{4}}<3^{\frac{1}{3}}$, suy ra $\sqrt[4]{3}$ < $\sqrt[6]{9}$.

2. Hàm số lôgarit

Cho số thực dương a khác 1.

Hàm số cho tương ứng với mỗi số thực dương x với số thực ${\log }_{a}x$ được gọi là hàm số lôgarit cơ số a, kí hiệu là $y={\log }_{a}x$.

Nhận xét: Hàm số $y={\log }_{a}x$ có tập xác định là $\left(0;+\infty \right)$.

Ví dụ 3. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lôrarit? Chỉ ra cơ số của nó.

a) $y={\log }_{\sqrt{5}}x$;

b) $y=-{\log }_{7}x$;

c) $y=-{\mathrm{xlog}}_{3}4$.

Hướng dẫn giải

a) $y={\log }_{\sqrt{5}}x$ là hàm số lôgarit với cơ số $\sqrt{5}$.

b) $y=-{\log }_{7}x={\log }_{7^{-1}}x={\log }_{\frac{1}{7}}x$ là hàm số lôgarit với cơ số $\frac{1}{7}$.

c) $y=-{\mathrm{xlog}}_{3}4$ không phải là hàm số lôgarit (đây là hàm bậc nhất với hệ số góc $-{\log }_{3}4$>).

Đồ thị của hàm số lôgarit

Tổng quát, ta có đồ thị hàm số $y={\log }_{a}x$ với a > 1 và 0 < a < 1 như sau:

Từ đó, hàm số $y={\log }_{a}x\left(a>0,a\ne 1\right)$ có:

(1) Tập xác định: $D=\left(0;+\infty \right)$.

Tập giá trị: $T=ℝ$.

Hàm số liên tục trên $\left(0;+\infty \right)$.

(2) Sự biến thiên:

• Nếu a > 1 thì hàm số đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$ và

• Nếu 0 < a < 1 thì hàm số nghịch biến trên $\left(0;+\infty \right)$ và

(3) Đồ thị

• Cắt trục hoành tại điểm (1; 0), đi qua điểm (a; 1).

• Nằm bên phải trục tung.

Ví dụ 4. So sánh các cặp số sau:

a) ${\log }_{5}8$ và $2{\log }_{5}3$;

b) $3{\log }_{0,2}7$ và $7{\log }_{0,2}3$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $2{\log }_{5}3={\log }_5{3}^2={\log }_{5}9$.

Hàm số $y={\log }_{5}x$ có cơ số 5 > 1 nên đồng biến trên (0; +∞).

Mà 8 < 9 nên ${\log }_{5}8<{\log }_{5}9$. Vậy ${\log }_{5}8$< $2{\log }_{5}3$.

b) Ta có $3{\log }_{0,2}7={\log }_{0,2}{7}^3={\log }_{0,2}343$; $7{\log }_{0,2}3={\log }_{0,2}{3}^7={\log }_{0,2}2187$.

Hàm số $y={\log }_{0,2}x$ có cơ số 0,2 < 1 nên nghịch biến trên (0; +∞).

Mà 343 < 2187 nên ${\log }_{0,2}343>{\log }_{0,2}2187$. Vậy $3{\log }_{0,2}7$ > $7{\log }_{0,2}3$.

Bài tập Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

Bài 1. Vẽ đồ thị hàm số $y={\left(\frac{3}{2}\right)}^x$.

Hướng dẫn giải

Tập xác định: $ℝ$.

Do $\frac{3}{2}>1$ nên hàm số đồng biến trên $ℝ$.

Bảng giá trị:

Đồ thị hàm số đi qua các điểm có toạ độ theo bảng giá trị và nằm phía trên trục hoành.

Từ đó, ta vẽ được đồ thị hàm số như hình dưới đây.

Bài 2. Vẽ đồ thị của hàm số $y={\log }_{\frac{2}{3}}x$.

Hướng dẫn giải

Lập bảng giá trị của hàm số tại một số điểm như sau:

Từ đó, ta vẽ được đồ thị của hàm số $y={\log }_{\frac{2}{3}}x$ như hình sau:

Bài 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y={12}^x$;

b) $y={\log }_5\left(2x-3\right)$.

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định của hàm số $y={12}^x$ là $ℝ$.

b) Hàm số $y={\log }_5\left(2x-3\right)$ xác định khi $2x-3>0$ hay $x>\frac{3}{2}$.

Vậy tập xác định của hàm số $y={\log }_5\left(2x-3\right)$ là $D=\left(\frac{3}{2};+\infty \right)$.

Bài 4. So sánh các cặp số sau:

a) 2,5^0,3 và 2,5^0,5;

b) ${\log }_{0,7}4$ và ${\log }_{0,7}4,1$.

Hướng dẫn giải

a) Do 2,5 > 1 nên hàm số y = 2,5^x đồng biến trên ℝ. Mà 0,3 < 0,5 nên 2,5^0,3 < 2,5^0,5.

b) Hàm số $y={\log }_{0,7}x$ có cơ số 0,7 < 1 nên nghịch biến trên (0; +∞).

Mà 4 < 4,1 nên ${\log }_{0,7}4$ > ${\log }_{0,7}4,1$.

Bài 5. Sau khi bệnh nhân uống một liều thuốc, lượng thuốc còn lại trong cơ thể giảm dần và được tính theo công thức $D\left(t\right)=D_0\cdot a^t\left(\mathrm{mg}\right)$, trong đó D₀ và a là các hằng số dương, t là thời gian tính bằng giờ kể từ thời điểm uống thuốc.

a) Tại sao có thể khẳng định rằng 0 < a < 1?

b) Biết rằng bệnh nhân đã uống 100 mg thuốc và sau 1 giờ thì lượng thuốc trong cơ thể còn 80 mg. Hãy xác định giá trị của D₀ và a.

c) Sau 5 giờ, lượng thuốc đã giảm đi bao nhiêu phần trăm so với lượng thuốc ban đầu?

Hướng dẫn giải

a) Do lượng thuốc trong cơ thể giảm dần, nên hàm số D(t) nghịch biến, mà D₀ là hằng số dương, do đó 0 < a < 1.

b) Bệnh nhân đã uống 100 mg thuốc nên D₀ = 100.

Vì sau 1 giờ thì lượng thuốc trong cơ thể còn 80 mg nên với t = 1, ta có:

D(1) = 100a¹ = 80, suy ra $a=\frac{80}{100}=0,8$.

c) Sau 5 giờ, lượng thuốc còn $D\left(5\right)=100\cdot 0,8^5$. Tỉ lệ lượng thuốc đã giảm so với lượng thuốc ban đầu là$\frac{D_0-D\left(5\right)}{D_0}=\frac{100-100\cdot 0,8^5}{100}$$\approx 0,6723\approx 67,23\%$.

Học tốt Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

Các bài học để học tốt Hàm số mũ. Hàm số lôgarit Toán lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Bài 3: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CTST

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay khác:

• Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Phép tính lôgarit

• Lý thuyết Toán 11 Bài 4: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

• Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 6

• Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Đạo hàm

• Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm

• Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 7

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)

---