Đạo hàm lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo)

Với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 1: Đạo hàm sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Đạo hàm lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo)

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CTST

Lý thuyết Đạo hàm

1. Đạo hàm

Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và $x_0\in (a;b)$.

Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$

thì giới hạn này được goi là đạo hàm của hàm số f(x) tại $x_0$, kí hiệu là $f^{\text{'}}\left(x_0\right)$ hoặc $y^{\text{'}}\left(x_0\right)$.

Vậy:

$f^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$

Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số $y=f\left(x\right)=x+\sqrt{x-1}$ tại điểm $x_0=2$.

Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số là $D=[1;+\infty )$

Tại điểm $x_0=2,f\left(x_0\right)$$=2+\sqrt{2-1}=3$. Với $1\le x\ne 2$, ta có:

Vậy $f^{\text{'}}\left(2\right)=\frac{3}{2}$.

Chú ý: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b). Nếu hàm số này có đạo hàm tại mọi điểm $x\in (a;b)$ thì ta nói nó có đạo hàm trên khoảng (a; b), kí hiệu y' hoặc $f^{\text{'}}\left(x\right)$.

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số $y=f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}$ với x ≠ 0.

Hướng dẫn giải

Với $x_0\ne 0$, ta có:

Vậy $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}(x\ne 0)$.

Chú ý: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b), có đạo hàm tại $x_0\in (a;b)$.

a) Đại lượng $\mathrm{\Delta x}=x-x_0$ gọi là số gia của biến tại $x_0$. Đại lượng $\mathrm{\Delta y}=f\left(x\right)-f\left(x_0\right)$ gọi là số gia tương ứng của hàm số. Khi đó, $x=x_0+\mathrm{\Delta x}$ và

$f^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta y}}{\mathrm{\Delta x}}=\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0+\mathrm{\Delta x}\right)-f\left(x_0\right)}{\mathrm{\Delta x}}.$

b) Tỉ số $\frac{\mathrm{\Delta y}}{\mathrm{\Delta x}}$ biểu thị tốc độ thay đổi trung bình của đại lượng y theo đại lượng x trong khoảng từ $x_0$ đến $x_0+\mathrm{\Delta x}$; còn $f^{\text{'}}\left(x_0\right)$ biểu thị tốc độ thay đổi (tức thời) của đại lượng y theo đại lượng x tại điểm $x_0$.

Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

• Nếu hàm số s = f(t) biểu thị quãng đường di chuyển của vật theo thời gian t thì $f^{\text{'}}\left(t_0\right)$ biểu thị tốc độ tức thời của chuyển động tại thời điểm $t_0$.

• Nếu hàm số T = f(t) biểu thị nhiệt độ T theo thời gian t thì $f^{\text{'}}\left(t_0\right)$ biểu thị tốc độ thay đổi nhiệt độ theo thời gian tại thời điểm $t_0$.

2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và có đạo hàm tại $x_0\in \left(a;b\right)$. Gọi (C) là đồ thị của hàm số đó.

Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm $x_0\in \left(a;b\right)$ là hệ số góc của tiếp tuyến $M_{0}T$ của (C) tại điểm $M_0\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)$.

Tiếp tuyến $M_{0}T$ có phương trình là $y-f\left(x_0\right)=f^{\text{'}}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)$.

Ví dụ 3. Cho hàm số $y=f\left(x\right)={(2x+1)}^2$.

a) Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm $x_0=-1$.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $A(-1;1)$.

Hướng dẫn giải

a) Tại điểm $x_0=-1,$ $f\left(x_0\right)={(-2+1)}^2=1$. Với $x\ne -1$, ta có:

$\frac{f\left(x\right)-1}{x-(-1)}$$=\frac{{(2x+1)}^2-1}{x+1}$$=\frac{(2x+1-1)(2x+1+1)}{x+1}$$=2\cdot 2x$.

Do đó: $f^{\text{'}}(-1)=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-1}{x-(-1)}$$=\underset{x\to -1}{\lim }\left(2\cdot 2x\right)=-4$.

b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $A(-1;1)$ là:

$y-1=f^{\text{'}}(-1)(x-(-1\left)\right)$$=-4(x+1)$$\mathrm{hay}y=-4x-3$.

3. Số e

Người ta chứng minh được rằng có giới hạn hữu hạn

$\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$.

Hơn nữa, người ta còn biết rằng e là số vô tỉ và $e=2,718281828\dots$ (số thập phân vô hạn không tuần hoàn).

Số e xuất hiện trong nhiều bài toán ở những lĩnh vực khác nhau như Toán học, Vật lí, Sinh học, Kinh tế, ...

Ví dụ 4. Công thức $T=A\cdot e^{\mathrm{rt}}$ được dùng để tính tổng sổ tiền vốn và lãi mà người gửi nhận được sau thời gian t kể từ thời điểm người đó gửi tiết kiệm A đồng theo thể thức “lãi kép liên tục” với lãi suất r năm. Trong đó, A và T tính theo đồng, t tính theo năm và t có thể nhận giá trị thực bất kì. Sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của T (làm tròn đến hàng đơn vị) khi $A=2000000;r=0,05$ và

a) $t=\frac{1}{4}$;

b) $t=\frac{1}{365}$.

Hướng dẫn giải

a) $T=2000000\cdot e^{0,05\cdot \frac{1}{4}}$$=2000000\cdot e^{0,0125}$$\approx 2025157$ (đồng).

b) $T=2000000\cdot e^{0,05\cdot \frac{1}{365}}$$\approx 2000274$ (đồng).

Bài tập Đạo hàm

Bài 1. Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $f\left(x\right)=x^2+\sqrt{x}$ với $x>0$;

b) $f\left(x\right)=\frac{x}{x-1}$ với $x\ne 1$.

Hướng dẫn giải

a) Với bất kì $x_0>0$, ta có:

Vậy $f^{\text{'}}\left(x\right)=2x+\frac{1}{2\sqrt{x}}$ trên khoảng $(0;+\infty )$.

b) Với $x_0\ne 1$, ta có:

Vậy $f^{\text{'}}\left(x\right)=-\frac{1}{{(x-1)}^2}$ trên các khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$.

Bài 2. Chứng minh rằng hàm số f(x) = |x – 2| không có đạo hàm tại điểm x₀ = 2, nhưng có đạo hàm tại mọi điểm x ≠ 2.

Hướng dẫn giải

+ Với x > 2, ta có: f(x) = |x – 2| = x – 2.

Đạo hàm của hàm số f(x) = |x – 2| tại điểm x > 2 là 1.

+ Với x < 2, ta có: f(x) = |x – 2| = 2 – x.

Đạo hàm của hàm số f(x) = |x – 2| tại điểm x < 2 là –1.

+ Ta có f(x) – f(2) = |x – 2| – |2 – 2| = |x – 2|.

Với x ≠ 2, ta có $\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}$$=\frac{|x-2|}{x-2}$.

Do đó, không tồn tại $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}$.

Vậy hàm số f(x) = |x – 2| không có đạo hàm tại điểm x₀ = 2, nhưng có đạo hàm tại mọi điểm x ≠ 2.

Bài 3. Một viên đạn được bắn lên cao theo phương trình $s\left(t\right)=196t-4,9t^2$ trong đó $t>0,$t tính bằng giây kể từ thời điểm viên đạn được bắn lên cao và s(t) là khoảng cách của viên đạn so với mặt đất được tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc của viên đạn bằng 0 thì viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét?

Hướng dẫn giải

Ta tính được $s^{\text{'}}\left(t\right)=196-9,8t.$

Vận tốc của viên đạn $v\left(t\right)=s^{\text{'}}\left(t\right)=196-9,8t$$\Rightarrow v\left(t\right)=0$$\iff 196-9,8t=0$$\iff t=20.$

Khi đó viên đạn cách mặt đất một khoảng $h=s\left(20\right)$$=196\cdot 20-4,9\cdot {20}^2$$=1960(\text{m)}.$

Bài 4. Cho hàm số $y=\frac{8}{x},x\ne 0$.

a) Tính đạo hàm của hàm số tại điểm $x_0$ bất kì, $x_0\ne 0$.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x_0=2$.

Hướng dẫn giải

a) Với $x_0\ne 0$ bất kì, ta có:

$y^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\frac{8}{x}-\frac{8}{x_0}}{x-x_0}$$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{8\left(x_0-x\right)}{\left(x-x_0\right)x_0\cdot x}$$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{-8}{x_0\cdot x}$$=-\frac{8}{x_0^2}.$

b) Với $x_0=2$ ta có $y_0=4$ và $y^{\text{'}}\left(2\right)=-2$. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x_0=2$ là:

$y-4=-2(x-2)$$=-2x+4$$\text{hay}y=-2x+8$.

Học tốt Đạo hàm

Các bài học để học tốt Đạo hàm Toán lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Bài 1: Đạo hàm

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CTST

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay khác:

• Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 6

• Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm

• Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 7

• Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc

• Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

• Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Hai mặt phẳng vuông góc

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)

---