Hai đường thẳng vuông góc lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo)

Với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Hai đường thẳng vuông góc lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo)

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CTST

Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc

1. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Định nghĩa

Góc giữa hai đường thẳng a, b trong không gian, kí hiệu (a, b), là góc giữa hai đường thẳng a' và b' cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với a và b.

Chú ý:

a) Để xác định góc giữa hai đường thẳng a, b ta có thể lấy một điểm O nằm trên một trong hai đường thẳng đó và vẽ đường thẳng song song với đường thẳng còn lại.

b) Góc giữa hai đường thẳng nhận giá trị từ 0° đến 90°.

Ví dụ 1. Cho hình lăng trụ $\mathrm{ABC}.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ có tam giác ABC cân tại A và $\widehat{\mathrm{BAC}}=120°$. Các điểm M, N lần lượt thuộc hai đoạn thẳng AA' và BB' thoả mãn MN // AB, các điểm P, Q lần lượt thuộc hai đoạn thẳng AA' và CC' (P khác M) thoả mãn PQ // AC. Tính các góc sau:

a) (AB, AC);

b) (AB, B'C');

c) (MN, PQ).

Hướng dẫn giải

a) Trong mặt phẳng (ABC), vì $\widehat{\mathrm{BAC}}=120°$ nên $(\mathrm{AB},\mathrm{AC})$$=180°-120°$$=60°$.

b) Vì tam giác ABC cân tại A nên $\widehat{\mathrm{ABC}}=\widehat{\mathrm{ACB}}$$=\frac{180°-\widehat{\mathrm{BAC}}}{2}$$=\frac{180°-120°}{2}$$=30°$.

Ta có BC // B'C' nên $\left(\mathrm{AB},B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)$$=\left(\mathrm{AB},\mathrm{BC}\right)$$=\widehat{\mathrm{ABC}}$$=30°$.

c) Vì MN // AB, PQ // AC nên $\left(\mathrm{MN},\mathrm{PQ}\right)$$=\left(\mathrm{AB},\mathrm{AC}\right)$$=60°$.

2. Hai đường thẳng vuông góc trong không gian

Định nghĩa

Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90°.

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, SD. Chứng minh rằng $\mathrm{MN}\perp \mathrm{SC}$.

Hướng dẫn giải

$\mathrm{\Delta SAD}$ có M, N lần lượt là trung điểm của AD, SD, suy ra MN là đường trung bình của $\mathrm{\Delta SAD}$, suy ra MN // SA.

Khi đó, (MN, SC) = (SA, SC).

$\mathrm{\Delta ABC}$ vuông tại B nên $\mathrm{AC}=\sqrt{{\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2}$$=a\sqrt{2}$.

Xét $\mathrm{\Delta SAC}$, nhận thấy: ${\mathrm{AC}}^2={\mathrm{SA}}^2+{\mathrm{SC}}^2$.

Theo định lí Pythagore đảo, $\mathrm{\Delta SAC}$ vuông tại S.

Suy ra $\widehat{\mathrm{ASC}}=90°$ hay $(\mathrm{MN},\mathrm{SC})$$=\widehat{\mathrm{ASC}}$$=90°$.

Vậy $\mathrm{MN}\perp \mathrm{SC}$.

Chú ý:

a) Hai đường thẳng vuông góc có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

b) Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường này thì cũng vuông góc với đường kia.

c) Trong không gian, khi có hai đường thẳng phân biệt a, b cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba c thì ta chưa kết luận được a // b như trong hình học phẳng.

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O và tam giác SAC vuông tại S. Gọi M là trung điểm của cạnh SB. Chứng minh rằng đường thẳng OM vuông góc với đường thẳng SB.

Hướng dẫn giải

Ta có tam giác SAC vuông tại S và O là trung điểm của AC nên $\mathrm{SO}=\frac{1}{2}\mathrm{AC}$. Ta lại có ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD, suy ra $\mathrm{SO}=\frac{1}{2}\mathrm{BD}$, mà O là trung điểm của BD nên tam giác SBD vuông tại S hay $\mathrm{SD}\perp \mathrm{SB}$. Vì OM // SD (OM là đường trung bình của tam giác SBD) và $\mathrm{SD}\perp \mathrm{SB}$ nên $\mathrm{OM}\perp \mathrm{SB}$.

Bài tập Hai đường thẳng vuông góc

Bài 1. Cho hình hộp $\mathrm{ABCD}.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ có 6 mặt là hình vuông cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AA' và A'B'. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng MN và BD.

Hướng dẫn giải

Gọi P là trung điểm cạnh A'D'.

Vì hình hộp $\mathrm{ABCD}.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ có 6 mặt là hình vuông cạnh bằng a nên $\mathrm{ABCD}.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ là hình lập phương cạnh a, từ đó suy ra ${\mathrm{AB}}^{\text{'}}$$=B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$$=D^{\text{'}}A$$=a\sqrt{2}$.

Ta có MN, NP, PM lần lượt là các đường trung bình của các tam giác AA'B', A'B'D', AA'D'. Suy ra $\mathrm{MN}=\mathrm{NP}=\mathrm{PM}$$=\frac{{\mathrm{AB}}^{\text{'}}}{2}=\frac{B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}{2}=\frac{D^{\text{'}}A}{2}$$=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ và MN // AB', NP // B'D', PM // AD'. Khi đó, tam giác MNP là tam giác đều.

Ta có BD // B'D' và NP // B'D' nên NP // BD.

Suy ra $(\mathrm{MN},\mathrm{BD})$$=(\mathrm{MN},\mathrm{NP})$$=\widehat{\mathrm{MNP}}$$=60°$.

Bài 2. Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC và AB. Tính góc giữa đường thẳng MN và BD; góc giữa đường thẳng KN và MD.

Hướng dẫn giải

Vì MN // AB nên góc giữa hai đường thẳng MN và BD bằng góc giữa hai đường thẳng AB và BD, mà tam giác ABD là tam giác đều nên góc giữa hai đường thẳng AB và BD bằng $60°$.

Do đó $(\mathrm{MN},\mathrm{BD})$$=(\mathrm{AB},\mathrm{BD})$$=60°$.

Vì NK // AC nên góc giữa hai đường thẳng NK và MD bằng góc giữa hai đường thẳng AC và MD, mà tam giác ACD là tam giác đều, lại có M là trung điểm của AC nên MD là đường cao của tam giác ACD, do đó góc giữa hai đường thẳng AC và MD bằng 90°.

Do đó $(\mathrm{NK},\mathrm{MD})$$=(\mathrm{AC},\mathrm{MD})$$=90°$.

Bài 3. Cho tứ diện ABCD, gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và BD. Biết $\mathrm{MN}=a\sqrt{3};$ $\mathrm{AB}=2\sqrt{2}a$ và CD = 2a. Chứng minh rằng đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng CD.

Hướng dẫn giải

Lấy K là trung điểm của cạnh BC, ta có: NK và MK lần lượt là đường trung bình của tam giác BCD và tam giác ABC nên NK = a và $\mathrm{MK}=a\sqrt{2}$.

Do đó, ${\mathrm{MN}}^2=3a^2$$={\mathrm{MK}}^2+{\mathrm{NK}}^2$ suy ra tam giác MNK vuông tại K, hay $\mathrm{MK}\perp \mathrm{NK}$ mà MK // AB và NK // CD nên $(\mathrm{AB},\mathrm{CD})$$=(\mathrm{MK},\mathrm{NK})$$=90°$, hay $\mathrm{AB}\perp \mathrm{CD}$.

Bài 4. Cho hình lăng trụ $\mathrm{MNPQ}.M^{\text{'}}{N}^{\text{'}}{P}^{\text{'}}{Q}^{\text{'}}$ có tất cả các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng $M^{\text{'}}N\perp P^{\text{'}}Q$.

Hướng dẫn giải

Vì ${\mathrm{PQQ}}^{\text{'}}{P}^{\text{'}}$ là hình thoi (do các cạnh bằng nhau) nên $P^{\text{'}}Q\perp {\mathrm{PQ}}^{\text{'}}$.

Do $\mathrm{NP}=\mathrm{MQ}=M^{\text{'}}{Q}^{\text{'}}$ và $\mathrm{NP}\text{//}\mathrm{MQ}\text{//}{M}^{\text{'}}{Q}^{\text{'}}$ nên ${\mathrm{NPQ}}^{\text{'}}{M}^{\text{'}}$ là hình bình hành, suy ra $M^{\text{'}}N\text{//}{\mathrm{PQ}}^{\text{'}}$.

Từ đó ta có $M^{\text{'}}N\perp P^{\text{'}}Q$.

Bài 5. Một chiếc thang có dạng hình thang cân dài 6 m, hai chân thang cách nhau 80 cm, hai ngọn thang cách nhau 60 cm. Thang được dựa vào bờ tường như hình. Tính góc tạo giữa đường thẳng chân tường và cạnh cột thang (tính gần đúng theo đơn vị độ, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Hướng dẫn giải

Gọi A, B là hai điểm tại hai vị trí chân thang và C, D là hai điểm tại hai vị trí ngọn thang, EF là đường chân tường.

Ta có EF // AB nên $(\mathrm{EF},\mathrm{AC})$$=(\mathrm{AB},\mathrm{AC})$$=\widehat{\mathrm{BAC}}$.

Kẻ CH vuông góc với AB tại H, khi đó $\mathrm{AH}$$=\frac{\mathrm{AB}-\mathrm{CD}}{2}$$=10\text{(cm)}$$=0,1\text{(m).}$

Tam giác ACH vuông tại H nên $\cos \widehat{\mathrm{CAH}}=\frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{AC}}$$=\frac{0,1}{6}$$=\frac{1}{60}$.

Suy ra $\widehat{\mathrm{CAH}}\approx 89,05°$.

Vậy góc tạo giữa đường thẳng chân tường và cạnh cột thang bằng khoảng $89,05°$.

Học tốt Hai đường thẳng vuông góc

Các bài học để học tốt Hai đường thẳng vuông góc Toán lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CTST

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay khác:

• Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 7

• Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

• Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Hai mặt phẳng vuông góc

• Lý thuyết Toán 11 Bài 4: Khoảng cách trong không gian

• Lý thuyết Toán 11 Bài 5: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

• Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 8

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)

---