Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo)

Với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 5: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo)

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CTST

Lý thuyết Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

1. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Định nghĩa

Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói góc giữa đường thẳng a với (P) bằng 90°.

Nếu đường thẳng a không vuông góc với (P) thì góc giữa a và hình chiếu a' của a trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a và (P).

Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) được kí hiệu là (a, (P)).

Chú ý:

a) Góc α giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn thoả mãn $0°\le \alpha \le 90°$.

b) Nếu đường thẳng a nằm trong (P) hoặc a song song với (P) thì $\left(a,\left(P\right)\right)=0°$.

Ví dụ 1. Cho hình lăng trụ tam giác $\mathrm{ABC}.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ có đáy là tam giác ABC cân tại A, góc BAC bằng 120° và AB = 2a. Hình chiếu của A' trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của BC, biết ${\mathrm{AA}}^{\text{'}}=a\sqrt{2}$. Tính góc giữa đường thẳng AA' và mặt phẳng (ABC).

Hướng dẫn giải

Ta có: AH là hình chiếu của AA' trên mặt phẳng (ABC) và tam giác AA'H vuông tại H. Do đó, góc giữa đường thẳng AA' và mặt phẳng (ABC) bằng góc giữa hai đường thẳng AA' và AH.

Xét tam giác ABH vuông tại H, có: $\widehat{\mathrm{HAB}}=\frac{1}{2}\widehat{\mathrm{BAC}}=60°\text{,}$$\mathrm{suy}\mathrm{ra}\mathrm{AH}=a.$

Xét tam giác AA'H vuông tại H, có: $\cos \widehat{{\mathrm{HAA}}^{\text{'}}}=\frac{\mathrm{AH}}{{\mathrm{AA}}^{\text{'}}}$$=\frac{1}{\sqrt{2}}\text{,}$$\mathrm{suy}\mathrm{ra}\widehat{{\mathrm{HAA}}^{\text{'}}}=45°\text{.}$

Do đó $\left({\mathrm{AA}}^{\text{'}},\mathrm{AH}\right)=45°$, hay góc giữa đường thẳng AA' và mặt phẳng (ABC) bằng 45°.

2. Góc nhị diện và góc phẳng nhị diện

• Góc nhị diện

Định nghĩa

Cho hai nửa mặt phẳng $\left(P_1\right)$ và $\left(Q_1\right)$ có chung bờ là đường thẳng d. Hình tạo bởi $\left(P_1\right),\left(Q_1\right)$ và d được gọi là góc nhị diện tạo bởi $\left(P_1\right)$ và $\left(Q_1\right)$, kí hiệu

Hai nửa mặt phẳng $\left(P_1\right),\left(Q_1\right)$ gọi là hai mặt của nhị diện và d gọi là cạnh của nhị diện.

Chú ý:

a) Hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến d tạo thành bốn góc nhị diện.

b) Góc nhị diện còn được kí hiệu là [M, d, N] với M, N tương ứng thuộc hai nửa mặt phẳng $\left(P_1\right),\left(Q_1\right)$.

• Góc phẳng nhị diện

Định nghĩa

Góc phẳng nhị diện của góc nhị diện là góc có đỉnh nằm trên cạnh của nhị diện, có hai cạnh lần lượt nằm trên hai mặt của nhị diện và vuông góc với cạnh của nhị diện.

Chú ý:

a) Đối với một góc nhị diện, các góc phẳng nhị diện đều bằng nhau.

b) Nếu mặt phẳng (R) vuông góc với cạnh d của góc nhị diện và cắt hai mặt $\left(P_1\right),\left(Q_1\right)$ của góc nhị diện theo hai nửa đường thẳng Ou và Ov thì $\widehat{\mathrm{uOv}}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện tạo bởi $\left(P_1\right),\left(Q_1\right)$.

c) Góc nhị diện có góc phẳng nhị diện là góc vuông được gọi là góc nhị diện vuông.

d) Số đo góc phẳng nhị diện được gọi là số đo góc nhị diện.

e) Số đo góc nhị diện nhận giá trị từ 0° đến 180°.

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA ⊥ (ABCD) và $\mathrm{SA}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Tính số đo của góc nhị diện [S, BD, C].

Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD, khi đó CO ⊥ BD. (1)

Ta có BD ⊥ AC và BD ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD)) nên BD ⊥ (SAC), suy ra BD ⊥ SO. (2)

Từ (1) và (2), suy ra góc phẳng nhị diện [S, BD, C] bằng góc SOC.

Xét tam giác SAO, có $\mathrm{AO}=\frac{a\sqrt{2}}{2}=\mathrm{SA}$ và góc SAO là góc vuông nên tam giác SAO là tam giác vuông cân tại A, suy ra $\widehat{\mathrm{SOA}}=45°$; do đó $\widehat{\mathrm{SOC}}=135°$.

Vậy số đo của góc nhị diện [S, BD, C] bằng 135°.

Bài tập Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có $\mathrm{SA}\perp \left(\mathrm{ABC}\right)$, tam giác ABC vuông tại B, AC = 2a, BC = a, $\mathrm{SB}=2a\sqrt{3}$. Tính góc giữa SA và mặt phẳng (SBC).

Hướng dẫn giải

Trong mặt phẳng (SAB) kẻ $\mathrm{AH}\perp \mathrm{SB}$$\left(H\in \mathrm{SB}\right)$.

Vì .

Mà $\mathrm{SB}\perp \mathrm{AH}$(do cách dựng) nên $AH\perp \left(SBC\right)$, hay H là hình chiếu của A lên mặt phẳng (SBC), suy ra góc giữa SA và (SBC) là góc giữa hai đường thẳng SA và AH, đây chính là góc ASH hay góc ASB.

Tam giác ABC vuông ở B $\Rightarrow \mathrm{AB}=\sqrt{{\mathrm{AC}}^2-{\mathrm{BC}}^2}$$=a\sqrt{3}$.

Tam giác SAB vuông ở A $\Rightarrow \sin \widehat{\mathrm{ASB}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{SB}}$$=\frac{1}{2}$$\Rightarrow \widehat{\mathrm{ASB}}=30°$.

Vậy góc giữa SA và mặt phẳng (SBC) bằng 30°.

Bài 2. Cho hình lập phương $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$. Tính góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng $\left(BD{D}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\right)$.

Hướng dẫn giải

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD khi đó ta có $\mathrm{AO}\perp \mathrm{BD}$ (1).

Mặt khác ta lại có$ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ là hình lập phương nên $B{B}^{\text{'}}\perp \left(ABCD\right)$$\Rightarrow B{B}^{\text{'}}\perp AO$ (2).

Từ (1) và (2) ta có $AO\perp \left(BD{D}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\right)$.

Khi đó, góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng $\left(BD{D}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\right)$ chính là góc giữa đường thẳng AB' và B'O.

Xét tam giác vuông AB'O có $\sin \widehat{A{B}^{\text{'}}O}=\frac{AO}{A{B}^{\text{'}}}$$=\frac{1}{2}$ $\Rightarrow \widehat{{\mathrm{AB}}^{\text{'}}O}=30°$.

Vậy góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng $\left({\mathrm{BDD}}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\right)$ bằng 30°.

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, $\widehat{\mathrm{BAD}}=120°,$$\mathrm{SA}\perp \left(\mathrm{ABCD}\right)$ và $\mathrm{SA}=\sqrt{3}a$. Tính tang góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD).

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ADC cân tại D, có $\hat{D}=60°$ nên tam giác ADC đều.

Kẻ $\mathrm{CI}\perp \mathrm{AD}$ tại I.

Ta có: $CI\perp SA$$\Rightarrow CI\perp \left(SAD\right)$nên SI là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (SAD).

Do đó, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD) là góc giữa hai đường thẳng SC và SI, chính là góc CSI.

Ta có: $\mathrm{SI}=\sqrt{{\mathrm{SA}}^2+{\mathrm{AI}}^2}$$=\sqrt{{\left(a\sqrt{3}\right)}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}$$=\frac{\sqrt{13}}{2}a$.

Xét $\Delta SCI$ vuông tại I có $\tan \widehat{\mathrm{CSI}}=\frac{\mathrm{IC}}{\mathrm{SI}}$$=\frac{\frac{\sqrt{3}a}{2}}{\frac{a\sqrt{13}}{2}}$$=\frac{\sqrt{39}}{13}$.

Vậy tang góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD) bằng $\frac{\sqrt{39}}{13}$.

Bài 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD với O là tâm của đáy và có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính số đo của các góc nhị diện [S, BC, O];[C, SO, B].

Hướng dẫn giải

Hình chóp S.ABCD đều nên $\mathrm{SO}\perp \left(\mathrm{ABCD}\right)$.

Kẻ $\mathrm{SH}\perp \mathrm{BC}$ tại H. Ta có $\mathrm{BC}\perp \mathrm{SO}$ nên $\mathrm{BC}\perp \left(\mathrm{SOH}\right)$.

Suy ra $\mathrm{OH}\perp \mathrm{BC}$.Do đó, $\widehat{\mathrm{SHO}}$ là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BC, O].

Ta xác định được $\mathrm{OH}=\frac{a}{2},$$\mathrm{OC}=\mathrm{OB}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, $\mathrm{SO}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}$$=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Do đó, $\tan \widehat{\mathrm{SHO}}=\frac{\mathrm{SO}}{\mathrm{OH}}=\sqrt{2}$. Suy ra $\widehat{\mathrm{SHO}}\approx 54,7°$.

Lại có $\mathrm{SO}\perp \left(\mathrm{ABCD}\right)$ nên $\mathrm{SO}\perp \mathrm{OB},$$\mathrm{SO}\perp \mathrm{OC}$.

Do đó, $\widehat{\mathrm{BOC}}$ là một góc phẳng của góc nhị diện [C, SO, B]. Ta có $\widehat{\mathrm{BOC}}=90°$.

Vậy các góc nhị diện [S, BC, O];[C, SO, B] tương ứng có số đo là $54,7°;90°$.

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a, CD = a. Gọi I là trung điểm cạnh AD, biết hai mặt phẳng (SBI), (SCI) cùng vuông góc với đáy và $\mathrm{SI}=\frac{3a\sqrt{5}}{5}$. Tính số đo góc nhị diện [S, BC, D].

Hướng dẫn giải

Ta có SI vuông góc với đáy (ABCD) và $\mathrm{BC}=\sqrt{{\left(2a\right)}^2+a^2}$$=a\sqrt{5}$.

Vẽ $IH\perp CB$ tại H.

Do đó,IH là hình chiếu của SH lên mặt phẳng (ABCD) nên $SH\perp CB$ (theo định lý ba đường vuông góc).

Khi đó, $\widehat{SHI}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện[S, BC, D].

Ta có $S_{\mathrm{ICB}}=S_{\mathrm{ABCD}}-S_{\mathrm{IDC}}-S_{\mathrm{AIB}}$$=3a^2-\frac{a^2}{2}-a^2$$=\frac{3a^2}{2}$$\Rightarrow \mathrm{IH}\cdot \mathrm{CB}=3a^2$$\Rightarrow \mathrm{IH}=\frac{3a\sqrt{5}}{5}$.

Ta có $\tan \widehat{\mathrm{SHI}}=\frac{\mathrm{SI}}{\mathrm{IH}}$$=\frac{\frac{3a\sqrt{5}}{5}}{\frac{3a\sqrt{5}}{5}}=1$$\Rightarrow \widehat{\mathrm{SHI}}=45°$.

Vậy góc nhị diện [S, BC, D] bằng 45°.

Học tốt Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

Các bài học để học tốt Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện Toán lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Bài 5: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CTST

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay khác:

• Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Hai mặt phẳng vuông góc

• Lý thuyết Toán 11 Bài 4: Khoảng cách trong không gian

• Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 8

• Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Biến cố giao và quy tắc nhân xác suất

• Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất

• Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 9

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)

---