Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 9 Chân trời sáng tạo

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 9: Xác suất sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết với bài tập có lời giải sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 11 Chương 9.

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 9 Chân trời sáng tạo

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CTST

Lý thuyết tổng hợp Toán 11 Chương 9

1. Biến cố giao

Cho hai biến cố A và B. Biến cố “Cả A và B cùng xảy ra”, kí hiệu AB hoặc $A\cap B$ được gọi là biến cố giao của A và B.

Chú ý: Tập hợp mô tả biến cố AB là giao của hai tập hợp mô tả biến cố A và biến cố B. Biến cố AB xảy ra khi và chỉ khi cả hai A và B xảy ra.

2. Hai biến cố xung khắc

Hai biến cố A và B được là xung khắc nếu A và B không đồng thời xảy ra.

Chú ý: Hai biến cố A và B là xung khắc khi và chỉ khi $A\cap B=\varnothing$.

3. Biến cố độc lập

Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia.

Nhận xét: Nếu hai biến cố A và B độc lập thì A và $\overline{B}$; $\overline{A}$ và B; $\overline{A}$ và $\overline{B}$ cũng độc lập.

4. Quy tắc nhân xác suất của hai biến cố độc lập

Để tính xác suất của giao các biến cố độc lập, ta sử dụng quy tắc nhân xác suất sau:

Nếu hai biến cố A và B độc lập thì

$P\left(\mathrm{AB}\right)=P\left(A\right)P\left(B\right)$.

Chú ý: Từ quy tắc nhân xác suất ta thấy, nếu $P\left(\mathrm{AB}\right)\ne P\left(A\right)P\left(B\right)$ thì hai biến cố A và B không độc lập.

5. Biến cố hợp

Cho hai biến cố A và B. Biến cố “A hoặc B xảy ra”, kí hiệu là $A\cup B$, được gọi là biến cố hợp của A và B.

Chú ý: Biến cố $A\cup B$ xảy ra khi có ít nhất một trong hai biến cố A và B xảy ra. Tập hợp mô tả biến cố $A\cup B$ là hợp của hai tập hợp mô tả biến cố A và biến cố B.

6. Quy tắc cộng xác suất

• Quy tắc cộng cho hai biến cố xung khắc

Để tính xác suất của biến cố hợp hai biến cố xung khắc, ta sử dụng quy tắc sau:

Cho hai biến cố xung khắc A và B. Khi đó:

$P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$.

• Quy tắc cộng cho hai biến cố bất kì

Với hai biến cố A, B bất kì, ta có công thức cộng tổng quát như sau:

Cho hai biến cố A và B. Khi đó:

$P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(\mathrm{AB}\right)$.

Bài tập tổng hợp Toán 11 Chương 9

Bài 1. Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi A là biến cố “Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là một số lẻ”, B là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là một số chẵn”.

a) Hãy viết tập hợp mô tả biến cố AB.

b) Hãy viết tập hợp mô tả biến cố $\overline{A}B$.

c) Hãy viết tập hợp mô tả biến cố $A\overline{B}$.

d) Hãy viết tập hợp mô tả biến cố $\overline{A}\overline{B}$.

Hướng dẫn giải

Gọi Ω là không gian mẫu.

Suy ra $\Omega =\left(\left(i;j\right)|i,j=1;2;...;6\right)$.

a) Biến cố

Biến cố

Biến cố

b) Biến cố $\overline{A}=\Omega \backslash A.$

Biến cố

c) Biến cố $\overline{B}=\Omega \backslash B.$

Biến cố $A\overline{B}=\varnothing .$

d) Biến cố

Bài 2. Một hộp có 5 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng. Lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 2 viên bi từ hộp. Hãy xác định các cặp biến cố xung khắc trong các biến cố sau:

A: “Hai viên bi lấy ra cùng màu xanh”;

B: “Hai viên bi lấy ra cùng màu đỏ”;

C: “Hai viên bi lấy ra cùng màu”;

D: “Hai viên bi lấy ra khác màu”.

Hướng dẫn giải

Ta có hai biến cố A và B xung khắc.

Biến cố C xảy ra khi lấy ra 2 viên bi xanh hoặc 2 viên bi đỏ hoặc 2 viên bi vàng. Khi lấy được 2 viên bi màu xanh thì biến cố A và biến cố C cùng xảy ra. Khi lấy được 2 viên bi màu đỏ thì biến cố B và biến cố C cùng xảy ra. Do đó biến cố C không xung khắc với biến cố A và biến cố B.

Biến cố D xảy ra khi lấy ra 1 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ ; hoặc 1 viên bi xanh, 1 viên bi vàng; hoặc 1 viên bi đỏ, 1 biên bi vàng. Do đó biến cố D xung khắc với biến cố A, xung khắc với biến cố B và xung khắc với biến cố C.

Vậy có 4 cặp biến cố xung khắc là: A và B; A và D; B và D; C và D.

Bài 3. Hai bạn Sơn và Tùng, mỗi bạn gieo đồng thời hai đồng xu cân đối. Xét hai biến cố sau:

E: “Cả hai đồng xu bạn Sơn gieo đều ra mặt sấp”.

F: “Hai đồng xu bạn Tùng gieo có một sấp, một ngửa”.

Chứng tỏ rằng hai biến cố E và F độc lập.

Hướng dẫn giải

Nếu F xảy ra thì $P\left(E\right)=\frac{1}{4}$; nếu F không xảy ra thì $P\left(E\right)=\frac{1}{4}$.

Nếu E xảy ra thì $P\left(F\right)=\frac{1}{2}$; nếu E không xảy ra thì $P\left(F\right)=\frac{1}{2}$.

Vậy hai biến cố E và F độc lập.

Bài 4. Một chiếc túi có 12 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 12. Bạn Hoà rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong túi để sang bên cạnh. Tiếp theo, bạn Bình rút ngẫu nhiên tiếp một tấm thẻ. Xét hai biến cố sau:

M: “Bạn Hoà rút được tấm thẻ ghi số lẻ”;

N: “Bạn Bình rút được tấm thẻ ghi số chẵn”.

Chứng tỏ rằng hai biến cố M và N không độc lập.

Hướng dẫn giải

Có 6 số lẻ là {1; 3; 5; 7; 9; 11} và 6 số chẵn là {2; 4; 6; 8; 10; 12}.

Nếu M xảy ra, tức là bạn Hoà rút được tấm thẻ ghi số lẻ thì sau đó trong túi còn 11 tấm thẻ với 5 tấm thẻ ghi số lẻ và 6 tấm thẻ ghi số chẵn. Vậy $P\left(N\right)=\frac{6}{11}$.

Nếu M không xảy ra, tức là bạn Hoà rút được tấm thẻ ghi số chẵn thì sau đó trong túi còn 11 tấm thẻ với 6 tấm thẻ ghi số lẻ và 5 tấm thẻ ghi số chẵn. Vậy $P\left(N\right)=\frac{5}{11}$.

Như vậy xác suất của N thay đổi tuỳ theo M xảy ra hay M không xảy ra.

Do đó hai biến cố M và N không độc lập.

Bài 5. Cho A và B là hai biến cố độc lập.

a) Biết P(A) = 0,3 và P(B) = 0,7. Hãy tính xác suất của các biến cố $\mathrm{AB},\overline{A}B$ và $\overline{A}\overline{B}$.

b) Biết P(A) = 0,8 và P(AB) = 0,4. Hãy tính xác suất của các biến cố $B,\overline{A}B$ và $\overline{A}\overline{B}$.

Hướng dẫn giải

a) Do A và B là hai biến cố độc lập nên xác suất của biến cố AB là

$P\left(\mathrm{AB}\right)=P\left(A\right)P\left(B\right)$$=0,3\cdot 0,7$$=0,21.$

Vì $\overline{A}$ là biến cố đối của A nên $P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)$$=0,7$.

Do $\overline{A}$ và B là hai biến cố độc lập nên xác suất của biến cố $\overline{A}B$ là

$P\left(\overline{A}B\right)=P\left(\overline{A}\right)P\left(B\right)$$=0,7\cdot 0,7$$=0,49.$

Vì $\overline{B}$ là biến cố đối của B nên $P\left(\overline{B}\right)=1-P\left(B\right)$$=0,3$.

Do $\overline{A}$ và $\overline{B}$ là hai biến cố độc lập nên xác suất của biến cố $\overline{A}\overline{B}$ là

$P\left(\overline{A}\overline{B}\right)$$=P\left(\overline{A}\right)P\left(\overline{B}\right)$$=0,7\cdot 0,3$$=0,21.$

b) Do A và B là hai biến cố độc lập nên $P\left(B\right)=\frac{P\left(\mathrm{AB}\right)}{P\left(A\right)}$$=\frac{0,4}{0,8}$$=0,5.$

Vì $\overline{A}$ là biến cố đối của A nên $P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)$$=0,2$.

Do $\overline{A}$ và B là hai biến cố độc lập nên xác suất của biến cố $\overline{A}B$ là

$P\left(\overline{A}B\right)=P\left(\overline{A}\right)P\left(B\right)$$=0,2\cdot 0,5$$=0,1$.

Vì $\overline{B}$ là biến cố đối của B nên $P\left(\overline{B}\right)=1-P\left(B\right)$$=0,5$.

Do $\overline{A}$ và $\overline{B}$ là hai biến cố độc lập nên xác suất của biến cố $\overline{A}\overline{B}$ là

$P\left(\overline{A}\overline{B}\right)=P\left(\overline{A}\right)P\left(\overline{B}\right)$$=0,2\cdot 0,5$$=0,1.$

Bài 6. Một công ty may mặc có hai hệ thống máy chạy độc lập với nhau. Xác suất để hệ thống máy thứ nhất hoạt động tốt là 95%, xác suất để hệ thống máy thứ hai hoạt động tốt là 85%. Công ty chỉ có thể hoàn thành đơn hàng đúng hạn nếu ít nhất một trong hai hệ thống máy hoạt động tốt. Tính xác suất để công ty hoàn thành đúng hạn.

Hướng dẫn giải

Goi A là biến cố: “Hệ thống máy thứ nhất hoạt động tốt”.

B là biến cố: “Hệ thống máy thứ hai hoạt động tốt”.

C là biến cố: “Công ty hoàn thành đúng hạn”.

Ta có $\overline{A}$ là biến cố: “Hệ thống máy thứ nhất hoạt động không tốt”.

$\overline{B}$ là biến cố: “Hệ thống máy thứ hai hoạt động không tốt”.

$\overline{C}$ là biến cố: “Công ty hoàn thành không đúng hạn”.

$P\left(A\right)=0,95$; $P\left(B\right)=0,85$; $P\left(\overline{A}\right)=0,05$; $P\left(\overline{B}\right)=0,15$.

Vì A và B là hai biến cố độc lập nên $\overline{A}$ và $\overline{B}$ là hai biến cố độc lập.

Mà $\overline{C}=\overline{A}\overline{B}$. Khi đó, $P\left(\overline{C}\right)=P\left(\overline{A}\overline{B}\right)$$=P\left(\overline{A}\right)\cdot P\left(\overline{B}\right)$$=0,0075$.

$\Rightarrow P\left(C\right)=1-P\left(\overline{C}\right)$$=0,9925.$

Bài 7. Giả sử từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng các phương tiện: ô tô, tàu hỏa, tàu thủy hoặc máy bay. Mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu hỏa, 3 chuyến tàu thủy và 2 chuyến máy bay. Gọi A là biến cố “chọn phương tiện ô tô hoặc tàu hỏa”, B là biến cố “Chọn phương tiện tàu thủy hoặc máy bay”.

a) Có bao nhiêu kết quả thuận lợi cho biến cố A và B?

b) Hãy mô tả bằng lời biến cố $A\cup B$ và tính số kết quả thuận lợi cho biến cố $A\cup B$.

Hướng dẫn giải

a) Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là 10 + 5 = 15.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố B là 3 + 2 = 5.

b) Biến cố $A\cup B$ là biến cố “Chọn một phương tiện để di chuyển từ A đến B”. Số kết quả thuận lợi của biến cố $A\cup B$ là: 15 + 5 = 20.

Bài 8. Trong một hộp có 8 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi trong hộp. Gọi A là biến cố: “Cả hai viên bi có màu xanh”; B là biến cố: “Có một viên bi màu xanh và một viên bi màu đỏ”.

a) Tính P(A) và P(B).

b) Tính xác suất để trong hai viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi màu xanh.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $n\left(\Omega \right)=C_{14}^2=91;$ $n\left(A\right)=C_8^2=28,$ $n\left(B\right)=8\cdot 6$$=48$.

Vậy $P\left(A\right)=\frac{28}{91},P\left(B\right)=\frac{48}{91}$.

b) Cách 1: Xét biến cố C: “Trong hai viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi màu xanh”, nên C là biến cố hợp của A và B. Do A và B là hai biến cố xung khắc.

Do đó, $P\left(C\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$$=\frac{28}{91}+\frac{48}{91}$$=\frac{76}{91}$.

Cách 2: Xét biến cố đối $\overline{C}$: “Cả hai viên bi lấy ra đều có màu đỏ”.

Khi đó $n\left(\overline{C}\right)=C_6^2=15$. Suy ra $P\left(\overline{C}\right)=\frac{15}{91}$.

Vậy $P\left(C\right)=1-P\left(\overline{C}\right)$$=1-\frac{15}{91}$$=\frac{76}{91}$.

Bài 9. Trong một căn phòng có 36 người, trong đó có 25 người họ Nguyễn và 11 người họ Trần. Chọn ngẫu nhiên hai người trong phòng đó. Tính xác suất để hai người được chọn có cùng họ.

Hướng dẫn giải

Xét các biến cố sau:

A: “Cả hai người được chọn đều họ Nguyễn”;

B: “Cả hai người được chọn đều họ Trần”;

C: “Cả hai người được chọn có cùng họ”.

C là biến cố hợp của A và B.

Do A và B xung khắc nên $P\left(C\right)=P(A\cup B)$$=P\left(A\right)+P\left(B\right)$.

Ta có: $n\left(\Omega \right)=C_{36}^2=630$; $n\left(A\right)=C_{25}^2=300;$ $n\left(B\right)=C_{11}^2=55.$

Suy ra $P\left(A\right)=\frac{300}{630};$$P\left(B\right)=\frac{55}{630}$.

Vậy $P\left(C\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$$=\frac{300}{630}+\frac{55}{630}$$=\frac{355}{630}$$=\frac{71}{126}$.

Bài 10. Người ta tiến thành lập các số có ba chữ số khác nhau từ các chữ số: 0; 1; 2;3;4; 5. Gọi A là biến cố “Số được lập là số chẵn”, B là biến cố “Số được lập là số chia hết cho 5”.

a) Có bao nhiêu kết quả thuận lợi cho biến cố A và B?

b) Tính xác suất của biến cố “Số được chọn chia hết cho 2 hoặc 5”.

Hướng dẫn giải

a) Gọi số có 3 chữ số là: $\overline{abc}$.

+ Xét TH số được chọn là số chẵn.

TH1: c = 0, nên 1 có một cách chọn.

Số cách chọn a và a là $A_5^2=20$.

Áp dụng quy tắc nhân 1 ∙ 20 = 20.

TH2: $c\in \left(2;4\right)$, nên c có 2 cách chọn.

$a\ne 0;c$ nên a có 4 cách chọn.

$b\ne a,c$, nên b có 4 cách chọn.

Áp dụng quy tắc nhân 2 ∙ 4 ∙ 4 = 32.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là 20 + 32 = 52.

+ Xét TH số được chọn chia hết cho 5.

TH1: c = 0, nên c có 1 cách chọn.

Số cách chọn a và b là $A_5^2=20$.

Áp dụng quy tắc nhân: 1 ∙ 20 = 20.

TH2: c = 5, nên c có 1 cách chọn.

$a\ne 0;c$ nên a có 4 cách chọn.

$b\ne a,c$, nên b có 4 cách chọn.

Áp dụng quy tắc nhân 1 ∙ 4 ∙ 4 = 16.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố B là 20 + 16 = 36.

b) Gọi C là biến cố “Số được chọn chia hết cho 2 hoặc 5”.

Vậy $C=A\cup B$.

Không gian mẫu: n(Ω) = $5\cdot A_5^2=100$. Khi đó P(A) = $\frac{52}{100}$, P(B) = $\frac{36}{100}$.

Một số chia hết cho cả 2 và 5 thì chia hết cho 10, nên ta có 5 ∙ 4 ∙ 1 = 20 số, điều đó có nghĩa là P(AB) = $\frac{20}{100}$.

Do đó: $P\left(C\right)=P\left(A\cup B\right)$$=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(AB\right)$$=\frac{52+36-20}{100}$$=\frac{17}{25}$.

Bài 11.Một chiếc máy có hai động cơ hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động cơ I và động cơ II chạy tốt lần lượt là 0,8 và 0,7. Hãy tính xác suất để có ít nhất một động cơ chạy tốt.

Hướng dẫn giải

Gọi A là biến cố: “Động cơ I chạy tốt”. Theo đề bài ta có P(A) = 0,8.

Gọi B là biến cố: “Động cơ II chạy tốt”. Theo đề bài ta có P(B) = 0,7.

Khi đó, biến cố “Có ít nhất 1 động cơ chạy tốt” là $AB\cup \overline{A}B\cup A\overline{B}$.

Ta có $P\left(\overline{A}\right)=1-0,8=0,2;$ $P\left(\overline{B}\right)=1-0,7=0,3$.

Vậy xác suất để có ít nhất một động cơ chạy tốt là

$P\left(AB\cup \overline{A}B\cup A\overline{B}\right)$$=P\left(A\right)P\left(B\right)+P\left(\overline{A}\right)P\left(B\right)+P\left(A\right)P\left(\overline{B}\right)$

$=0,8\cdot 0,7+0,2\cdot 0,7+0,8\cdot 0,3$$=0,94$.

Học tốt Toán 11 Chương 9

Các bài học để học tốt Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 9 Toán lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Bài tập cuối chương 9

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CTST

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay khác:

• Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Hai mặt phẳng vuông góc

• Lý thuyết Toán 11 Bài 4: Khoảng cách trong không gian

• Lý thuyết Toán 11 Bài 5: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

• Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 8

• Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Biến cố giao và quy tắc nhân xác suất

• Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)

---