Biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo)

Trang trước Trang sau

Với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 2: Biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo)

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CTST

Quảng cáo

Bài giảng: Bài 2: Biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất - Cô Nguyễn Yến (Giáo viên VietJack)

Lý thuyết Biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất

1. Biến cố hợp

Cho hai biến cố A và B. Biến cố “A hoặc B xảy ra”, kí hiệu là $A \cup B$ , được gọi là biến cố hợp của A và B.

Biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo) (ảnh 1)

Chú ý: Biến cố $A \cup B$ xảy ra khi có ít nhất một trong hai biến cố A và B xảy ra. Tập hợp mô tả biến cố $A \cup B$ là hợp của hai tập hợp mô tả biến cố A và biến cố B.

Ví dụ 1. Một hộp chứa 4 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ có cùng kich thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 2 viên bi từ hộp. Gọi A là biến cố “Hai viên bi lấy ra đều có màu xanh”, B là biến cố “Hai viên bi lấy ra đều có màu đỏ”.

a) Có bao nhiêu kết quả thuận lợi cho biến cố A? Có bao nhiêu kết quả thuận lợi cho biến cố B?

Quảng cáo

b) Hãy mô tả bằng lời biến cố $A \cup B$ và tính số kết quả thuận lợi cho biến cố $A \cup B$ .

Hướng dẫn giải

a) Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là $C_{4}^{2} = 6$ .

Số kết quả thuận lợi cho biến cố B là $C_{6}^{2} = 15$ .

b) $A \cup B$ là biến cố “Hai viên bi lấy ra có cùng màu”.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố $A \cup B$ là $C_{4}^{2} + C_{6}^{2}$ $= 6 + 15$ $= 21$ .

2. Quy tắc cộng xác suất

• Quy tắc cộng cho hai biến cố xung khắc

Để tính xác suất của biến cố hợp hai biến cố xung khắc, ta sử dụng quy tắc sau:

Cho hai biến cố xung khắc A và B. Khi đó:

$P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ .

Ví dụ 2. Một tổ công nhân có 5 nam và 6 nữ. Cần chọn ngẫu nhiên hai công nhân đi thực hiện một nhiệm vụ mới. Tính xác suất của biến cố “Cả hai công nhân được chọn cùng giới tính”.

Hướng dẫn giải

Quảng cáo

Số kết quả chọn được hai công nhân bất kì là $C_{11}^{2} = 55$ .

Gọi A là biến cố “Hai công nhân được chọn là nam”, số kết quả thuận lợi cho biến cố A là $C_{5}^{2} = 10$ . Khi đó, $P (A) = \frac{10}{55}$ .

Gọi B là biến cố “Hai công nhân được chọn là nữ”, số kết quả thuận lợi cho biến cố B là $C_{6}^{2} = 15$ . Khi đó, $P (B) = \frac{15}{55}$ .

Ta có $A \cup B$ là biến cố “Cả hai công nhân được chọn có cùng giới tính”.

Do A và B là hai biến cố xung khắc nên: $P (A \cup B)$ $= P (A) + P (B)$ $= \frac{10}{55} + \frac{15}{55}$ $= \frac{5}{11}$ .

• Quy tắc cộng cho hai biến cố bất kì

Với hai biến cố A, B bất kì, ta có công thức cộng tổng quát như sau:

Cho hai biến cố A và B. Khi đó:

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (AB)$ .

Ví dụ 3. Trong một thùng phiếu bốc thăm trúng thưởng có 30 lá phiếu được đánh số thứ tự từ 1 đến 30. Người ta rút ra từ thùng phiếu một lá thăm bất kì. Tính xác suất của biến cố “Lá thăm rút được có số thứ tự chia hết cho 4 hoặc 5”.

Quảng cáo

Hướng dẫn giải

Gọi A là biến cố “Lá thăm rút được có số thứ tự chia hết cho 4”.

Từ 1 đến 30 có 7 kết quả thuận lợi cho biến cố A, nên $P (A) = \frac{7}{30}$ .

Gọi B là biến cố “Lá thăm rút được có số thứ tự chia hết cho 5”.

Từ 1 đến 30 có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố B, nên $P (B) = \frac{6}{30}$ .

Một số chia hết cho cả 4 và 5 thì nó chia hết cho 20, từ 1 đến 30 có 1 kết quả, nên $P (A B) = \frac{1}{30}$ .

Vậy $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A B)$ $= \frac{7}{30} + \frac{6}{30} - \frac{1}{30}$ $= \frac{2}{5}$ .

Bài tập Biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất

Bài 1. Giả sử từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng các phương tiện: ô tô, tàu hỏa, tàu thủy hoặc máy bay. Mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu hỏa, 3 chuyến tàu thủy và 2 chuyến máy bay. Gọi A là biến cố “chọn phương tiện ô tô hoặc tàu hỏa”, B là biến cố “Chọn phương tiện tàu thủy hoặc máy bay”.

a) Có bao nhiêu kết quả thuận lợi cho biến cố A và B?

b) Hãy mô tả bằng lời biến cố $A \cup B$ và tính số kết quả thuận lợi cho biến cố $A \cup B$ .

Hướng dẫn giải

a) Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là 10 + 5 = 15.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố B là 3 + 2 = 5.

b) Biến cố $A \cup B$ là biến cố “Chọn một phương tiện để di chuyển từ A đến B”. Số kết quả thuận lợi của biến cố $A \cup B$ là: 15 + 5 = 20.

Bài 2. Trong một hộp có 8 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi trong hộp. Gọi A là biến cố: “Cả hai viên bi có màu xanh”; B là biến cố: “Có một viên bi màu xanh và một viên bi màu đỏ”.

a) Tính P(A) và P(B).

b) Tính xác suất để trong hai viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi màu xanh.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $n (Ω) = C_{14}^{2} = 91;$ $n (A) = C_{8}^{2} = 28,$ $n (B) = 8 \cdot 6$ $= 48$ .

Vậy $P (A) = \frac{28}{91}, P (B) = \frac{48}{91}$ .

b) Cách 1: Xét biến cố C: “Trong hai viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi màu xanh”, nên C là biến cố hợp của A và B. Do A và B là hai biến cố xung khắc.

Do đó, $P (C) = P (A) + P (B)$ $= \frac{28}{91} + \frac{48}{91}$ $= \frac{76}{91}$ .

Cách 2: Xét biến cố đối $\bar{C}$ : “Cả hai viên bi lấy ra đều có màu đỏ”.

Khi đó $n (\bar{C}) = C_{6}^{2} = 15$ . Suy ra $P (\bar{C}) = \frac{15}{91}$ .

Vậy $P (C) = 1 - P (\bar{C})$ $= 1 - \frac{15}{91}$ $= \frac{76}{91}$ .

Bài 3. Trong một căn phòng có 36 người, trong đó có 25 người họ Nguyễn và 11 người họ Trần. Chọn ngẫu nhiên hai người trong phòng đó. Tính xác suất để hai người được chọn có cùng họ.

Hướng dẫn giải

Xét các biến cố sau:

A: “Cả hai người được chọn đều họ Nguyễn”;

B: “Cả hai người được chọn đều họ Trần”;

C: “Cả hai người được chọn có cùng họ”.

C là biến cố hợp của A và B.

Do A và B xung khắc nên $P (C) = P (A \cup B)$ $= P (A) + P (B)$ .

Ta có: $n (Ω) = C_{36}^{2} = 630$ ; $n (A) = C_{25}^{2} = 300;$ $n (B) = C_{11}^{2} = 55.$

Suy ra $P (A) = \frac{300}{630};$ $P (B) = \frac{55}{630}$ .

Vậy $P (C) = P (A) + P (B)$ $= \frac{300}{630} + \frac{55}{630}$ $= \frac{355}{630}$ $= \frac{71}{126}$ .

Bài 4. Người ta tiến thành lập các số có ba chữ số khác nhau từ các chữ số: 0; 1; 2;3;4; 5. Gọi A là biến cố “Số được lập là số chẵn”, B là biến cố “Số được lập là số chia hết cho 5”.

a) Có bao nhiêu kết quả thuận lợi cho biến cố A và B?

b) Tính xác suất của biến cố “Số được chọn chia hết cho 2 hoặc 5”.

Hướng dẫn giải

a) Gọi số có 3 chữ số là: $\bar{a b c}$ .

+ Xét TH số được chọn là số chẵn.

TH1: c = 0, nên 1 có một cách chọn.

Số cách chọn a và a là $A_{5}^{2} = 20$ .

Áp dụng quy tắc nhân 1 ∙ 20 = 20.

TH2: $c \in (2; 4)$ , nên c có 2 cách chọn.

$a \neq 0; c$ nên a có 4 cách chọn.

$b \neq a, c$ , nên b có 4 cách chọn.

Áp dụng quy tắc nhân 2 ∙ 4 ∙ 4 = 32.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là 20 + 32 = 52.

+ Xét TH số được chọn chia hết cho 5.

TH1: c = 0, nên c có 1 cách chọn.

Số cách chọn a và b là $A_{5}^{2} = 20$ .

Áp dụng quy tắc nhân: 1 ∙ 20 = 20.

TH2: c = 5, nên c có 1 cách chọn.

$a \neq 0; c$ nên a có 4 cách chọn.

$b \neq a, c$ , nên b có 4 cách chọn.

Áp dụng quy tắc nhân 1 ∙ 4 ∙ 4 = 16.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố B là 20 + 16 = 36.

b) Gọi C là biến cố “Số được chọn chia hết cho 2 hoặc 5”.

Vậy $C = A \cup B$ .

Không gian mẫu: n(Ω) = $5 \cdot A_{5}^{2} = 100$ . Khi đó P(A) = $\frac{52}{100}$ , P(B) = $\frac{36}{100}$ .

Một số chia hết cho cả 2 và 5 thì chia hết cho 10, nên ta có 5 ∙ 4 ∙ 1 = 20 số, điều đó có nghĩa là P(AB) = $\frac{20}{100}$ .

Do đó: $P (C) = P (A \cup B)$ $= P (A) + P (B) - P (A B)$ $= \frac{52 + 36 - 20}{100}$ $= \frac{17}{25}$ .

Bài 5. Một chiếc máy có hai động cơ hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động cơ I và động cơ II chạy tốt lần lượt là 0,8 và 0,7. Hãy tính xác suất để có ít nhất một động cơ chạy tốt.

Hướng dẫn giải

Gọi A là biến cố: “Động cơ I chạy tốt”. Theo đề bài ta có P(A) = 0,8.

Gọi B là biến cố: “Động cơ II chạy tốt”. Theo đề bài ta có P(B) = 0,7.

Khi đó, biến cố “Có ít nhất 1 động cơ chạy tốt” là $A B \cup \bar{A} B \cup A \bar{B}$ .