Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo)

Với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo)

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CTST

Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Định nghĩa

Đường thẳng d gọi là vuông góc với mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong $\left(\alpha \right)$, kí hiệu $d\perp \left(\alpha \right)$.

Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ thì $d\perp \left(\alpha \right)$.

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông và $\mathrm{SA}\perp \left(\mathrm{ABCD}\right)$. Chứng minh rằng:

a) $\mathrm{BC}\perp \left(\mathrm{SAB}\right)$;

b) $\mathrm{BD}\perp \left(\mathrm{SAC}\right)$.

Hướng dẫn giải

a) Vì $\mathrm{SA}\perp \left(\mathrm{ABCD}\right)$ và $\mathrm{BC}\subset \left(\mathrm{ABCD}\right)$ nên $\mathrm{SA}\perp \mathrm{BC}$, mà $\mathrm{BC}\perp \mathrm{AB}$ (do ABCD là hình vuông) và đường thẳng SA cắt đường thẳng AB nên $\mathrm{BC}\perp \left(\mathrm{SAB}\right)$.

b) Vì $\mathrm{SA}\perp \left(\mathrm{ABCD}\right)$ và $\mathrm{BD}\subset \left(\mathrm{ABCD}\right)$ nên $\mathrm{SA}\perp \mathrm{BD}$, mà $\mathrm{BD}\perp \mathrm{AC}$ (do ABCD là hình vuông) và đường thẳng SA cắt đường thẳng AC nên $\mathrm{BD}\perp \left(\mathrm{SAC}\right)$.

Định lí 2

• Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

• Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau, đáy ABCD là hình vuông tâm O (xem hình vẽ). Gọi d là đường thẳng đi qua S và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Chứng minh d đi qua O.

Ta có: SA = SC suy ra $\mathrm{SO}\perp \mathrm{AC};\mathrm{SB}=\mathrm{SD}$ suy ra $\mathrm{SO}\perp \mathrm{BD}$. Suy ra $\mathrm{SO}\perp \left(\mathrm{ABCD}\right)$.

Theo giả thiết, ta có đường thẳng d đi qua S và vuông góc với (ABCD). Do qua điểm S chỉ có duy nhất một đường thẳng vuông góc với (ABCD) nên d phải trùng với đường thẳng SO, suy ra d di qua O.

Ví dụ 3. Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua O và vuông góc với AB; M, N là hai điểm cách đều hai đầu của đoạn thẳng AB sao cho M, N, O không thẳng hàng (xem hình vẽ). Chứng minh M và N thuộc mặt phẳng (P).

Hướng dẫn giải

Ta có: MA = MB suy ra $\mathrm{OM}\perp \mathrm{AB};\mathrm{NA}=\mathrm{NB}$ suy ra $\mathrm{ON}\perp \mathrm{AB}$.

Suy ra $\mathrm{AB}\perp \left(\mathrm{OMN}\right)$.

Theo giả thiết, ta có (P) là mặt phẳng đi qua O và vuông góc với AB. Do qua điểm O chỉ có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với AB nên (P) phải trùng với (OMN), suy ra M và N thuộc (P).

2. Liên hệ giữa tính song song và tính vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng

Định lí 3

a) Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

Định lí 4

a) Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

Ví dụ 4. Cho hình hộp $\mathrm{ABCD}.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ có ${\mathrm{AA}}^{\text{'}}\perp \left(\mathrm{ABCD}\right)$. Chứng minh rằng:

a) ${\mathrm{AA}}^{\text{'}}\perp \left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}\right)$;

b) ${\mathrm{BB}}^{\text{'}}\perp \left(\mathrm{ABCD}\right)$.

Hướng dẫn giải

a) Vì ${\mathrm{AA}}^{\text{'}}\perp \left(\mathrm{ABCD}\right)$ và $\left(\mathrm{ABCD}\right)\text{//}\left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}\right)$ nên ${\mathrm{AA}}^{\text{'}}\perp \left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}\right)$.

b) Vì ${\mathrm{AA}}^{\text{'}}\perp \left(\mathrm{ABCD}\right)$ và AA' // BB' nên ${\mathrm{BB}}^{\text{'}}\perp \left(\mathrm{ABCD}\right)$.

Định lí 5

a) Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng $\left(\alpha \right)$. Đường thẳng nào vuông góc với $\left(\alpha \right)$ thì cũng vuông góc với a.

b) Nếu đường thẳng a và mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ (không chứa a) cùng vuông góc với một đường thẳng b thì chúng song song với nhau.

Ví dụ 5. Cho ba đoạn thẳng OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau.

a) Cho M là trung điểm của CA và a là đường thẳng tuỳ ý đi qua M và song song với mặt phẳng (OAB). Chứng minh $a\perp \mathrm{OC}$.

b) Gọi b là một đường thẳng tuỳ ý đi qua C và b vuông góc với OC.

Chứng minh b // (OAB).

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\mathrm{OC}\perp \mathrm{OA}$ và $\mathrm{OC}\perp \mathrm{OB}$, suy ra $\mathrm{OC}\perp \left(\mathrm{OAB}\right)$. (1)

Ta có a // (OAB). (2)

Từ (1) và (2) suy ra $a\perp \mathrm{OC}$.

b) Ta có $b\perp \mathrm{OC}$. (3)

Từ (1) và (3), suy ra b // (OAB).

3. Phép chiếu vuông góc

Định nghĩa

Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d vuông góc với (P). Phép chiếu song song theo phương của d lên mặt phẳng (P) được gợi là phép chiếu vuông góc lên (P).

Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABCD, SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình vuông tâm O. Tìm hình chiếu vuông góc của đường thẳng SB lên mặt phẳng (SAC).

Hướng dẫn giải

Vì ABCD là hình vuông tâm O nên BO ⊥ AC (1).

Mà SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BO (2).

Từ (1) và (2), suy ra BO ⊥ (SAC) nên O là hình chiếu của B lên mặt phẳng (SAC).

Do đó SO là hình chiếu của đường thẳng SB trên mặt phẳng (SAC).

Chú ý:

a) Phép chiếu vuông góc lên một mặt phẳng là một trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song nên có đầy đủ các tính chất của phép chiếu song song.

b) Người ta còn dùng “phép chiếu lên (P)” thay cho “phép chiếu vuông góc lên (P)” và dùng $\left(H^{\text{'}}\right)$ là hình chiếu của $\left(H\right)$ trên (P) thay cho $\left(H^{\text{'}}\right)$ là hình chiếu vuông góc của $\left(H\right)$ trên (P).

Định lí ba đường vuông góc

Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) và b là đường thẳng không nằm trong (P) và không vuông góc với (P). Gọi b' là hình chiếu vuông góc của b trên (P). Khi đó a vuông góc với b khi và chi khi a vuông góc với b'.

Ví dụ 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD và có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Chứng minh $\mathrm{CD}\perp \mathrm{SD}$ và $\mathrm{CB}\perp \mathrm{SB}$.

Hướng dẫn giải

Ta có $\mathrm{SA}\perp \left(\mathrm{ABCD}\right)$, suy ra DA là hình chiếu vuông góc của DS trên (ABCD) và BA là hình chiếu vuông góc của BS trên (ABCD). Do ABCD là hình chữ nhật nên $\mathrm{CD}\perp \mathrm{DA}$, suy ra theo định lí ba đường vuông góc ta có $\mathrm{CD}\perp \mathrm{SD}$.

Tương tự ta cũng có $\mathrm{CB}\perp \mathrm{AB}$, suy ra theo định lí ba đường vuông góc ta có $\mathrm{CB}\perp \mathrm{SB}$.

Bài tập Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông có tâm O và SA = SB = SC = SD.

a) Xác định hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD).

b) Xác định hình chiếu vuông góc của đường thẳng SA trên mặt phẳng (ABCD).

c) Chứng minh BD ⊥ SA.

d) Tìm hình chiếu vuông góc của tam giác SOB trên mặt phẳng (ABCD).

Hướng dẫn giải

a) Vì ∆SBD, ∆SAC cân tại S nên ta có .

Suy ra O là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD).

b) Ta có hình chiếu vuông góc của đường thẳng SA trên (ABCD) là OA.

c) Ta có hình chiếu vuông góc của SA trên (ABCD) là OA, mặt khác ta có OA ⊥ BD.

Theo định lí ba đường vuông góc ta suy ra BD ⊥ SA.

d) Hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD) là điểm O.

Hình chiếu vuông góc của các điểm O và B trên (ABCD) lần lượt là điểm O và B.

Vậy hình chiếu vuông góc của tam giác SOB trên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng OB.

Bài 2. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O đến mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:

a) $BC\perp \left(OAH\right)$;

b) H là trực tâm của tam giác ABC;

c) $\frac{1}{{\mathrm{OH}}^2}=\frac{1}{{\mathrm{OA}}^2}+\frac{1}{{\mathrm{OB}}^2}+\frac{1}{{\mathrm{OC}}^2}$.

Hướng dẫn giải

a) Vì $\mathrm{OA}\perp \mathrm{OB},$$\mathrm{OA}\perp \mathrm{OC}$ nên $\mathrm{OA}\perp \left(\mathrm{OBC}\right)$, suy ra $\mathrm{OA}\perp \mathrm{BC}$.

Vì $\mathrm{OH}\perp \left(\mathrm{ABC}\right)$ nên $\mathrm{OH}\perp \mathrm{BC}$, suy ra $\mathrm{BC}\perp \left(\mathrm{OAH}\right)$.

b) Vì $\mathrm{BC}\perp \left(\mathrm{OAH}\right)$ nên $\mathrm{BC}\perp \mathrm{AH}$. Tương tự, $\mathrm{CA}\perp \mathrm{BH}$, do đó H là trực tâm của tam giác ABC.

c) Gọi K là giao điểm của AH và BC, ta có: $\mathrm{OK}\perp \mathrm{BC}$ và $\mathrm{OA}\perp \mathrm{OK}$ nên OK là đường cao của tam giác vuông OBC và OH là đường cao của tam giác vuông OAK.

Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông OAK và OBC, ta có:

$\frac{1}{{\mathrm{OH}}^2}=\frac{1}{{\mathrm{OA}}^2}+\frac{1}{{\mathrm{OK}}^2}$$\text{và}$$\frac{1}{{\mathrm{OK}}^2}=\frac{1}{{\mathrm{OB}}^2}+\frac{1}{{\mathrm{OC}}^2}\text{.}$

Từ đó suy ra: $\frac{1}{{\mathrm{OH}}^2}=$$\frac{1}{{\mathrm{OA}}^2}+\frac{1}{{\mathrm{OB}}^2}+\frac{1}{{\mathrm{OC}}^2}$.

Bài 3. Cho tứ diện ABCD có ABC và BCD là các tam giác cân tại A và D. Gọi I là trung điểm của BC.

a) Chứng minh rằng $\mathrm{BC}\perp \mathrm{AD}$.

b) Kẻ AH là đường cao của tam giác ADI. Chứng minh rằng $\mathrm{AH}\perp \left(\mathrm{BCD}\right)$.

Hướng dẫn giải

a) Tam giác ABC cân tại A và I là trung điểm của BC nên $\mathrm{AI}\perp \mathrm{BC}$.(1)

Tam giác DCB cân tại D và I là trung điểm của BC nên $\mathrm{DI}\perp \mathrm{BC}$.(2)

Từ (1) và (2) suy ra $\mathrm{BC}\perp \left(\mathrm{AID}\right)$, suy ra $\mathrm{BC}\perp \mathrm{AD}$.

b) Ta có $\mathrm{AH}\perp \mathrm{DI}$ và $\mathrm{AH}\perp \mathrm{BC}$ (vì $\mathrm{BC}\perp \left(\mathrm{ADI}\right)$, $\mathrm{AH}\subset \left(\mathrm{ADI}\right)$), suy ra $\mathrm{AH}\perp \left(\mathrm{BCD}\right)$.

Bài 4. Cho tứ diện ABCD có $\mathrm{DA}\perp \left(\mathrm{ABC}\right),$$\mathrm{ABC}$ là tam giác cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Vẽ $\mathrm{AH}\perp \mathrm{MD}$ tại H.

a) Chứng minh rằng $\mathrm{AH}\perp \left(\mathrm{BCD}\right)$.

b) Gọi G, K lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và DBC. Chứng minh rằng $\mathrm{GK}\perp \left(\mathrm{ABC}\right)$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\mathrm{BC}\perp \mathrm{DA},$$\mathrm{BC}\perp \mathrm{AM}$, suy ra $\mathrm{BC}\perp \left(\mathrm{ADM}\right)$, suy ra $\mathrm{BC}\perp \mathrm{AH}$.

Ta lại có $AH\perp DM$, suy ra $AH\perp \left(BCD\right)$.

b) Ta có $\frac{\mathrm{MK}}{\mathrm{MD}}=\frac{\mathrm{MG}}{\mathrm{MA}}=\frac{1}{3}$, suy ra GK // AD.

Ta lại có $\mathrm{AD}\perp \left(\mathrm{ABC}\right)$, suy ra $\mathrm{GK}\perp \left(\mathrm{ABC}\right)$.

Bài 5. Cho hình lăng trụ tam giác $\mathrm{ABC}.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ có AA' vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đáy là tam giác ABC vuông tại B. Chứng minh rằng:

a) ${\mathrm{BB}}^{\text{'}}\perp \left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)$;

b) $B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\perp \left({\mathrm{ABB}}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)$.

Hướng dẫn giải

a) Vì ${\mathrm{AA}}^{\text{'}}\perp \left(\mathrm{ABC}\right),$${\mathrm{AA}}^{\text{'}}\text{//}{\mathrm{BB}}^{\text{'}}$ và $\left(\mathrm{ABC}\right)\text{//}\left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)$ nên ${\mathrm{BB}}^{\text{'}}\perp \left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right).$

b) Vì $\mathrm{BC}\perp \mathrm{AB},\mathrm{BC}\perp {\mathrm{BB}}^{\text{'}}$ nên $\mathrm{BC}\perp \left({\mathrm{ABB}}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)$.

Mà BC // B'C', suy ra $B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\perp \left({\mathrm{ABB}}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right).$

Học tốt Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Các bài học để học tốt Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Toán lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CTST

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay khác:

• Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc

• Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Hai mặt phẳng vuông góc

• Lý thuyết Toán 11 Bài 4: Khoảng cách trong không gian

• Lý thuyết Toán 11 Bài 5: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

• Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 8

• Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Biến cố giao và quy tắc nhân xác suất

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)

---