Nguyên hàm (Lý thuyết Toán lớp 12) | Chân trời sáng tạo

Với tóm tắt lý thuyết Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 12.

Nguyên hàm (Lý thuyết Toán lớp 12) | Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Nguyên hàm

1. Khái niệm nguyên hàm

● Định nghĩa: Kí hiệu K là một khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của ℝ.

Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K.

Ví dụ 1. Chứng minh rằng hàm số F(x) = $\frac{x^4}{4}+x$ là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x³ + 1 trên ℝ.

Hướng dẫn giải

Ta có F'(x) = ${\left(\frac{x^4}{4}+x\right)}^{\text{'}}=x^3+1$ = f(x) với mọi x ∈ ℝ.

Vậy hàm số F(x) = $\frac{x^4}{4}+x$ là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x³ + 1 trên ℝ.

● Định lí: Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Khi đó:

+ Với mỗi hằng số C, hàm số F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K;

+ Nếu G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì tồn tại hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K.

Như vậy, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là hằng số. Ta gọi F(x) + C, C ∈ ℝ là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K, kí hiệu $\int f\left(x\right)dx$ và viết

$\int f\left(x\right)dx$ = F(x) + C.

Chú ý: Biểu thức f(x)dx gọi là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), kí hiệu là dF(x). Vậy dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx.

Ví dụ 2. Tìm $\int \cos xdx$ trên ℝ.

Hướng dẫn giải

Vì (sin x)' = cos x với mọi x thuộc ℝ nên F(x) = sin x là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x trên ℝ.

Vậy $\int \cos xdx$ = sin x + C trên ℝ.

Chú ý:

+ Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Bài toán tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ khoảng K thì được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của hàm số đó.

+ Từ định nghĩa nguyên hàm, ta có: $\int f^{\text{'}}\left(x\right)dx=f\left(x\right)+C$.

2. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

2.1. Nguyên hàm của hàm số luỹ thừa

• $\int 0dx=C$;

• $\int 1dx=x+C$ ;

• $\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C$ (α ≠ – 1).

Chú ý: Người ta thường viết $\int dx$ thay cho $\int 1dx$.

Ví dụ 3. Tìm:

a) $\int x^{8}dx$;

b) $\int x^{\sqrt{3}}dx$;

c) $\int \frac{1}{x^5}dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $\int x^{8}dx$$=\frac{1}{9}{x}^9+C$.

b) $\int x^{\sqrt{3}}dx$$=\frac{x^{\sqrt{3}+1}}{\sqrt{3}+1}+C$.

c) $\int \frac{1}{x^5}dx$$=\int x^{-5}dx=\frac{x^{-5+1}}{-5+1}+C=\frac{x^{-4}}{-4}+C=\frac{-1}{4x^4}+C$.

2.2. Nguyên hàm của hàm số y = $\frac{1}{x}$

• Ta có: $\int \frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right|+C$.

Ví dụ 4. Cho hàm số f(x) =  với x ≠ 0.

Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) thỏa mãn F(3) = 1.

Hướng dẫn giải

Ta có $\int \frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right|+C$ nên F(x) = ln|x| + C (x ≠ 0).

Do F(3) = 1 nên ln|3| + C = 1 hay C = 1 – ln3.

Vậy F(x) = ln|x| + 1 – ln3 (x ≠ 0). 

2.3. Nguyên hàm của một số hàm số lượng giác

• $\int \cos xdx=\sin x+C$ ;

• $\int \sin xdx=-\cos x+C$ ;

• $\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\tan x+C$ ;

• $\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=-\cot x+C$ .

Ví dụ 5. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = sin x thỏa mãn

F(0) + $F\left(\frac{\pi }{2}\right)$ = 0.

Hướng dẫn giải

Vì $\int \sin xdx=-\cos x+C$ nên F(x) = – cos x + C.

Do F(0) + $F\left(\frac{\pi }{2}\right)$ = 0 nên (– cos 0 + C) + (– cos$\frac{\pi }{2}$ + C) = 0, suy ra C = $\frac{1}{2}$.

Vậy F(x) = – cos x + $\frac{1}{2}$.

2.4. Nguyên hàm của hàm số mũ

• $\int e^{x}dx=e^x+C$ ;

• $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$ (a > 0, a ≠ 1).

Ví dụ 6. Tìm:

a) $\int 4^{x}dx$ ;

b) $\int e^{3x}dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $\int 4^{x}dx$$=\frac{4^x}{\ln 4}+C$ . 

b) $\int e^{3x}dx$$=\int {\left(e^3\right)}^{x}dx=\frac{{\left(e^3\right)}^x}{\ln \left(e^3\right)}+C=\frac{e^{3x}}{3}+C$ .

3. Tính chất cơ bản của nguyên hàm

• Tính chất 1. Nguyên hàm của tích một số với một hàm số

Cho f(x) là hàm số liên tục trên K, ta có:

$\int kf\left(x\right)dx=k\int f\left(x\right)dx$, với k ∈ ℝ, k ≠ 0.

Ví dụ 7. Tìm:

a) $\int \frac{4}{9x}dx$ ;

b) $\int 5\sin xdx$.

Hướng dẫn giải

a) $\int \frac{4}{9x}dx$$=\frac{4}{9}\int \frac{1}{x}dx=\frac{4}{9}\ln \left|x\right|+C$ .

b) $\int 5\sin xdx$$=5\int \sin xdx=-5\cos x+C$ .

• Tính chất 2. Nguyên hàm của tổng, hiệu hai hàm số

Cho f(x), g(x) là các hàm số liên tục trên K, ta có:

• $\int \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx$.

• $\int \left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx-\int g\left(x\right)dx$.

Ví dụ 8. Tìm $\int \left(4x^3-4x+5\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $\int \left(4x^3-4x+5\right)dx$$=4\int x^{3}dx-4\int xdx+5\int dx$

= x4 – 2x2 + 5x + C.

Bài tập Nguyên hàm

Bài 1. $\int {\cot }^{2}xdx$ bằng:

A. sin x – x + C.

B. – cot x – x + C.

C. tan x + x + C.

D. – cos x – x + C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $\int {\cot }^{2}xdx$$=\int \left(\frac{1}{{\sin }^{2}x}-1\right)dx$$=\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx-\int dx$ = – cot x – x + C.

Bài 2. $\int e^{2x+1}dx$ bằng:

A. e^{2x + 1} + C.

B. e^2x + C.

C. $\frac{e^{2x+1}}{\ln 2}+C$.

D. $\frac{e^{2x+1}}{2}+C$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\int e^{2x+1}dx=e\int {\left(e^2\right)}^{x}dx=e\cdot \frac{{\left(e^2\right)}^x}{\ln e^2}+C=\frac{e^{2x+1}}{2}+C$.

Bài 3. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 3x² + 4x³ + $\frac{1}{x}$, biết F(1) = 3.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\int \left(3x^2+4x^3+\frac{1}{x}\right)dx=3\int x^{2}dx+4\int x^{3}dx+\int \frac{1}{x}dx$ = x³ + x⁴ + ln|x| + C.

Vì F(1) = 3 nên 1³ + 1⁴ + ln|1| + C = 3, suy ra C = 1.

Vậy F(x) = x³ + x⁴ + ln|x| + 1.

Bài 4. Tìm:

a) $\int \frac{2}{x^5}dx$;

b) $\int \left(x^{\frac{3}{7}}+5x^4\right)dx$;

c)$\int \frac{4}{-9x}dx$;

d) $\int \frac{3x^3-2}{x}dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $\int \frac{2}{x^5}dx$$=2\int x^{-5}dx=2\cdot \frac{x^{-5+1}}{-5+1}+C=-\frac{1}{2x^4}+C$ .

b) $\int \left(x^{\frac{3}{7}}+5x^4\right)dx$$=\int x^{\frac{3}{7}}dx+5\int x^{4}dx=\frac{x^{\frac{3}{7}+1}}{\frac{3}{7}+1}+5\cdot \frac{x^5}{5}+C=\frac{7}{10}{x}^{\frac{10}{7}}+x^5+C$.

c) $\int \frac{4}{-9x}dx$$=-\frac{4}{9}\int \frac{1}{x}dx=-\frac{4}{9}\ln \left|x\right|+C$.

d) $\int \frac{3x^3-2}{x}dx$$=\int \left(3x^2-\frac{2}{x}\right)dx=3\int x^{2}dx-2\int \frac{1}{x}dx=x^3-2\ln \left|x\right|+C$ .

Bài 5. Tìm:

a) $\int \left(7\cos x-9\sin x\right)dx$;

b) $\int \left(3+2{\cot }^{2}x\right)dx$ ;

c) $\int 3^{2x-6}dx$ ;

d) $\int \left(\frac{1}{3^x}+e^{3x+2}\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $\int \left(7\cos x-9\sin x\right)dx$$=7\int \cos xdx-9\int \sin xdx$= 7sin x – 9 ∙ (– cos x) + C

                                     = 7sin x + 9cos x + C.

b) $\int \left(3+2{\cot }^{2}x\right)dx$$=\int \left[1+2\left(1+{\cot }^{2}x\right)\right]dx$$=\int \left(1+2\cdot \frac{1}{{\sin }^{2}x}\right)dx$

                               $=\int dx+2\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=x-2\cot x+C$.

c) $\int 3^{2x-6}dx$$=\frac{1}{3^6}\int {\left(3^2\right)}^{x}dx=\frac{1}{3^6}\cdot \frac{{\left(3^2\right)}^x}{\ln 3^2}+C=\frac{3^{2x-6}}{2\ln 3}+C$.

d) $\int \left(\frac{1}{3^x}+e^{3x+2}\right)dx$$=\int {\left(\frac{1}{3}\right)}^{x}dx+e^2\int {\left(e^3\right)}^{x}dx$$=\frac{{\left(\frac{1}{3}\right)}^x}{\ln \frac{1}{3}}+e^2\cdot \frac{{\left(e^3\right)}^x}{\ln e^3}+C$

                             $=\frac{-1}{3^x\ln 3}+\frac{e^{3x+2}}{3}+C$ .

Bài 6. Một ô tô đang di chuyển với tốc độ 20 m/s thì hãm phanh và chuyển động chậm dần đều với tốc độ v(t) = 20 – 4t (m/s) (0 ≤ t ≤ 5). Kể từ khi hãm phanh, quãng đường ô tô đó đi được sau 3 giây là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Công thức tính quãng đường s(t) của ô tô đi được trong t (giây) kể từ khi hãm phanh là một nguyên hàm của hàm số v(t).

Do $\int \left(20-4t\right)dx=20t-2t^2+C$ nên ta có s(t) = 20t – 2t² + C với C là hằng số nào đó. Do s(0) = 0 nên C = 0. Suy ra s(t) = 20t – 2t².

Vậy quãng đường ô tô đó đi được sau 3 giây kể từ khi hãm phanh là:

s(3) = 20 ∙ 3 – 2 ∙ 3²  = 42 (m).

Học tốt Nguyên hàm

Các bài học để học tốt Nguyên hàm Toán lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay khác:

• Lý thuyết Toán 12 Bài 2: Tích phân

• Lý thuyết Toán 12 Bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân

• Tổng hợp lý thuyết Toán 12 Chương 4

• Lý thuyết Toán 12 Bài 1: Phương trình mặt phẳng

• Lý thuyết Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)

---