Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes (Lý thuyết Toán lớp 12) | Chân trời sáng tạo

Với tóm tắt lý thuyết Toán 12 Bài 2: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 12.

Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes (Lý thuyết Toán lớp 12) | Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

. Công thức xác suất toàn phần

Cho hai biến cố A và B với 0 < P(B) < 1. Khi đó

P(A) = P(B) ∙ P(A | B) + P($\overline{B}$) ∙ P(A | $\overline{B}$)

gọi là công thức xác suất toàn phần.

Chú ý: Công thức xác suất toàn phần cũng đúng với biến cố B bất kì.

Ví dụ 1. Giả sử tỉ lệ người dân của địa phương A nghiện thuốc lá là 20%, tỉ lệ người bị bệnh phổi trong số người nghiện thuốc lá là 70%, trong số người không nghiện thuốc lá là 15%. Chọn ra ngẫu nhiên một người dân của địa phương A, hỏi khả năng người đó bị bệnh phổi là bao nhiêu phần trăm?

Hướng dẫn giải

Gọi A là biến cố “Người dân được chọn bị bệnh phổi”; B là biến cố: “Người dân được chọn nghiện thuốc lá”.

Cần tính P(A).

Theo đề, ta có P(B) = 0,2$\Rightarrow P\left(\overline{B}\right)=0,8.$

Lại có tỉ lệ người bị bệnh phổi trong số người nghiện thuốc lá là 70%, trong số người không nghiện thuốc là là 15% nên P(A | B) = 0,7; $P\left(A|\overline{B}\right)=0,15$.

Theo công thức xác suất toàn phần ta có:

P(A) = P(B) ∙ P(A | B) + P($\overline{B}$)∙ P(A | $\overline{B}$) = 0,2 ∙ 0,7 + 0,8 ∙ 0,15 = 0,26.

Vậy chọn ngẫu nhiên một người dân của địa phương A thì khả năng người đó bị bệnh phổi là 26%.

2. Công thức Bayes

Giả sử A và B là hai biến cố ngẫu nhiên thỏa mãn P(A) > 0 và 0 < P(B) < 1. Khi đó,

$P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right)\cdot P\left(A|B\right)}{P\left(B\right)\cdot P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right)\cdot P\left(A|\overline{B}\right)}$.

gọi là công thức Bayes.

Chú ý:

a) Công thức Bayes vẫn đúng với biến cố B bất kì.

b) Với P(A) > 0, công thức P(B | A) = $\frac{P\left(B\right)\cdot P\left(A|B\right)}{P\left(A\right)}$ cũng được gọi là công thức Bayes.

Ví dụ 2. Một nhà máy có hai phân xưởng I và II. Phân xưởng I sản xuất 45% số sản phẩm và phân xưởng II sản xuất 55% số sản phẩm. Tỉ lệ sản phẩm bị lỗi của phân xưởng I là 3% và của phân xưởng II là 2%. Kiểm tra ngẫu nhiên 1 sản phẩm của nhà máy.

a) Tính xác suất để sản phẩm đó bị lỗi.

b) Biết rằng sản phẩm được kiểm tra bị lỗi. Hỏi xác suất sản phẩm đó do phân xưởng nào sản xuất cao hơn?

Hướng dẫn giải

a) Gọi A là biến cố “Sản phẩm được kiểm tra bị lỗi” và B là biến cố “Sản phẩm được kiểm tra do phân xưởng I sản xuất”.

Do phân xưởng I sản xuất 45% số sản phẩm và phân xưởng II sản xuất 55% số sản phẩm nên P(B) = 0,45 và P($\overline{B}$) = 1 – 0,45 = 0,55.

Do tỉ lệ sản phẩm bị lỗi của phân xưởng I là 3% và của phân xưởng II là 2% nên

P(A | B) = 0,03 và P(A |$\overline{B}$) = 0,02.

Xác suất để sản phẩm được kiểm tra bị lỗi là

P(A) = P(B) P(A | B) + P($\overline{B}$) P(A |$\overline{B}$) = 0,45 ∙ 0,03 + 0,55 ∙ 0,02 = 0,0245.

b) Nếu sản phẩm được kiểm tra bị lỗi thì xác suất sản phẩm đó do phân xưởng I sản xuất là P(B | A) = $\frac{P\left(B\right)P\left(A|B\right)}{P\left(A\right)}=\frac{0,45\cdot 0,03}{0,0245}=\frac{27}{49}$.

Nếu sản phẩm được kiểm tra bị lỗi thì xác suất sản phẩm đó do phân xưởng II sản xuất là P($\overline{B}$|A) = 1 – P(B | A) = $\frac{22}{49}$.

Do $\frac{27}{49}>\frac{22}{49}$ nên nếu sản phẩm được kiểm tra bị lỗi thì xác suất sản phẩm đó do phân xưởng I sản xuất cao hơn sản phẩm đó do phân xưởng II sản xuất.

Bài tập Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Bài 1. Nếu hai biến cố A và B thỏa mãn P(B) = 0,6; P(A | B) = 0,7; $P\left(A|\overline{B}\right)=0,3$ thì  P(A) bằng

A. 0,4.

B. 0,54.

C. 0,55.

D. 0,5.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì P(B) = 0,6 suy ra $P\left(\overline{B}\right)$ = 1 – P(B) = 1 – 0,6 = 0,4.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

P(A) = P(B) ∙ P(A | B) + $P\left(\overline{B}\right)$ ∙ P(A | $\overline{B}$ ) = 0,6 ∙ 0,7 + 0,4 ∙ 0,3 = 0,54.

Bài 2. Nếu hai biến cố A, B thỏa mãn P(A) = 0,5; P(B) = 0,6; P(A | B) = 0,4 thì ta có P(B | A) bằng

A. 0,7.

B. 0,5.

C. 0,48.

D. 0,58.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Áp dụng công thức Bayes, ta có P(B | A) = $\frac{P\left(B\right)\cdot P\left(A|B\right)}{P\left(A\right)}=\frac{0,6\cdot 0,4}{0,5}=0,48$.

Bài 3. Một hộp có 80 viên bi, trong đó có 50 viên bi màu đỏ và 30 viên bi màu vàng; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Sau khi kiểm tra, người ta thấy có 60% số viên bi màu đỏ đánh số và 50% số viên bi màu vàng có đánh số, những viên bi còn lại không đánh số. Lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi trong hộp. Tính xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số.

Hướng dẫn giải

Gọi biến cố A: “Viên bi lấy ra là màu đỏ”.

Biến cố B: “Viên bi lấy ra được đánh số”.

Ta cần tính P(B).

Theo đề ta có: $P\left(A\right)=\frac{50}{80}=\frac{5}{8}\Rightarrow P\left(\overline{A}\right)=\frac{3}{8}$;

Ta có $P\left(B|A\right)=0,6$; $P\left(B|\overline{A}\right)=0,5$.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P\left(B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B|A\right)+P\left(\overline{A}\right)\cdot P\left(B|\overline{A}\right)$$=\frac{5}{8}\cdot 0,6+\frac{3}{8}\cdot 0,5=\frac{9}{16}$ = 0,5625.

Vậy xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số là 0,5625

Bài 4. Tỉ lệ người dân đã tiêm phòng vaccine phòng bệnh A ở một địa phương là 75%. Trong số những người đã tiêm phòng, tỉ lệ mắc bệnh A là 4%; trong số những người chưa tiêm phòng, tỉ lệ mắc bệnh A là 18%. Chọn ngẫu nhiên một người ở địa phương đó.

a) Tính xác suất người được chọn mắc bệnh A.

b) Biết rằng người được chọn mắc bệnh A. Tính xác suất người đó chưa tiêm vaccine phòng bệnh A.

Hướng dẫn giải

a) Gọi B là biến cố “Người được chọn đã tiêm phòng”, khi đó $\overline{B}$ là biến cố “Người được chọn chưa tiêm phòng”.

Ta có P(B) = 0,75 và P($\overline{B}$) = 1 – P(B) = 1 – 0,75 = 0,25.

Gọi H là biến cố “Người được chọn mắc bệnh A”.

Ta có P(H | B) = 0,04 và P(H | $\overline{B}$ ) = 0,18.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

P(H) = P(B) ∙ P(H | B) + P($\overline{B}$) ∙ P(H | $\overline{B}$ ) = 0,75 ∙ 0,04 + 0,25 ∙ 0,18 = 0,075.

b) Ta cần tính P( $\overline{B}$ | H). Áp dụng công thức Bayes, ta có:

$P\left(\overline{B}|H\right)=\frac{P\left(\overline{B}\right)\cdot P\left(H|\overline{B}\right)}{P\left(H\right)}=\frac{0,25\cdot 0,18}{0,075}=0,6$.

Bài 5. Một công ty có 60% nhân viên là nữ. Tỉ lệ nhân viên nữ và tỉ lệ nhân viên nam mua bảo hiểm nhân thọ lần lượt là 8% và 5%. Chọn ngẫu nhiên một nhân viên của công ty.

a) Tính xác suất nhân viên được chọn có mua bảo hiểm nhân thọ.

b) Biết rằng nhân viên được chọn có mua bảo hiểm nhân thọ. Tính xác suất nhân viên đó là nam.

Hướng dẫn giải

a) Gọi A là biến cố “Nhân viên được chọn có mua bảo hiểm nhân thọ”, B là biến cố “Nhân viên được chọn là nữ”, suy ra $\overline{B}$ là biến cố “Nhân viên được chọn là nam”.

Ta có P(B) = 0,6 và P($\overline{B}$) = 1 – 0,6 = 0,4.

Từ giả thiết ta có: P(A | B) = 0,08 và P(A | $\overline{B}$ ) = 0,05.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

P(A) = P(B) ∙ P(A | B) + P($\overline{B}$) ∙ P(A | $\overline{B}$ ) = 0,6 ∙ 0,08 + 0,4 ∙ 0,05 = 0,068.

b) Ta cần tính P($\overline{B}$ | A ). Áp dụng công thức Bayes, ta có:

P($\overline{B}$ | A ) = $\frac{P\left(\overline{B}\right)\cdot P\left(A|\overline{B}\right)}{P\left(A\right)}=\frac{0,4\cdot 0,05}{0,068}=\frac{5}{17}$.

Học tốt Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Các bài học để học tốt Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes Toán lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Bài 2: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay khác:

• Lý thuyết Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian

• Lý thuyết Toán 12 Bài 3: Phương trình mặt cầu

• Tổng hợp lý thuyết Toán 12 Chương 5

• Lý thuyết Toán 12 Bài 1: Xác suất có điều kiện

• Tổng hợp lý thuyết Toán 12 Chương 6

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)

---