Tích phân (Lý thuyết Toán lớp 12) | Kết nối tri thức

Với tóm tắt lý thuyết Toán 12 Bài 12: Tích phân sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 12.

Tích phân (Lý thuyết Toán lớp 12) | Kết nối tri thức

Quảng cáo

Lý thuyết Tích phân

1. Khái niệm tích phân

• Diện tích hình thang cong

+) Hình thang cong: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b, (a < b), trong đó f(x) là hàm liên tục không âm trên đọan [a; b], gọi là một hình thang cong.

+) Diện tích hình thang cong

Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b], thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là S = F(b) – F(a), trong đó F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b].

Ví dụ 1. Tính diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) = x33 , trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2.

Quảng cáo

Tích phân (Lý thuyết Toán lớp 12) | Kết nối tri thức

Hướng dẫn giải

Một nguyên hàm của hàm số fx=x33  là Fx=x412 .

Do đó, diện tích của hình thang cong cần tính là:

S = F(2) – F(1) = 24121412=1512=54 .

• Định nghĩa tích phân

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu là abfxdx .

Quảng cáo

Chú ý

a) Hiệu F(b) – F(a) thường được kí hiệu là Fx|ba . Như vậy abfxdx=Fx|ba .

b) Ta gọi ab   là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.

c) Trong trường hợp a = b hoặc a > b, ta quy ước:

aafxdx=0;abfxdx=bafxdx .

Ví dụ 2. Tính

a) 014x3dx ;                                         b) 123xdx .

Quảng cáo

Hướng dẫn giải

a) 014x3dx=x4|01=10=1 .

b) 123xdx=3xln3|12=32ln33ln3=6ln3 .

• Ý nghĩa hình học của tích phân

Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b], thì tích phân abfxdx là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b. Vậy S = abfxdx .

Ví dụ 3. Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính 339x2dx .

Hướng dẫn giải

Ta có y=9x2 là phương trình nửa phía trên trục hoành của đường tròn tâm tại gốc tọa độ O và bán kính 3. Do đó, tích phân cần tính là diện tích nửa phía trên trục hoành của hình tròn tương ứng.

Tích phân (Lý thuyết Toán lớp 12) | Kết nối tri thức

Vậy 339x2dx=12π.32=9π2 .

2. Tính chất của tích phân

1) abkfxdx=kabfxdx  (k là hằng số);

2) abfx+gxdx=abfxdx+abgxdx ;

3) abfxgxdx=abfxdxabgxdx ;

4) abfxdx=acfxdx+cbfxdx  (a < c < b).

Ví dụ 4. Tính

a) I=014x3exdx ;                          b) I=0π21+sinxdx .

Hướng dẫn giải

a) I=014x3exdx=014x3dx01exdx

=x4|01ex|01=1e+1=2e .

b) I=0π21+sinxdx=0π21dx+0π2sinxdx

=x|0π2cosx|0π2=π2+1 .

Bài tập Tích phân

Bài 1. Biết 15fxdx=4 . Giá trị của 153fxdx  bằng

A. 7.

B. 43 .

C. 64.

D. 12.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có  153fxdx=315fxdx= 3.4 = 12.

Bài 2. Biết F(x) = x3 là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên ℝ. Giá trị của 122+fxdx  bằng

A. 234 .

B. 7.

C. 9.

D. 154 .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có 122+fxdx=122dx+12fxdx

=2x|12+Fx|12=2+x3|12  = 9.

Bài 3. Tính

a) 013x+1x+3dx ;                        b) 0π2cos2x2dx .

Hướng dẫn giải

a)  013x+1x+3dx=013x2+10x+3dx

=x3+5x2+3x|01= 9.

b) 0π2cos2x2dx=0π21+cosx2dx=0π212dx+0π2cosx2dx

=12x+sinx|0π2=12π2+1 .

Bài 4. Tính I=22x21dx .

Hướng dẫn giải

I=22x21dx=21x21dx+11x21dx+12x21dx

=21x21dx+111x2dx+12x21dx

=x33x|21+xx33|11+x33x|12

=23+23+23+23+23+23=4

Bài 5. Cho hai quả bóng A, B di chuyển ngược chiều nhau va chạm với nhau. Sau va chạm mỗi quả bóng nảy ngược lại một đoạn thì dừng hẳn. Biết sau khi va chạm, quả bóng A nảy ngược lại với vận tốc vA(t) = 8 – 2t (m/s) và quả bóng B nảy ngược lại với vận tốc vB(t) = 12 – 4t (m/s). Tính khoảng cách giữa hai quả bóng sau khi đã dừng hẳn (giả sử hai quả bóng đều chuyển động thẳng).

Hướng dẫn giải

Thời gian quả bóng A chuyển động từ lúc va chạm đến khi dừng hẳn là

vA(t) = 0 8 – 2t = 0 t = 4 (s).

Quãng đường quả bóng A di chuyển là

SA=0482tdt=8tt2|04=16  (m).

Thời gian quả bóng B chuyển động từ lúc va chạm đến khi dừng hẳn là

vB(t) = 0 12 – 4t = 0 t = 3 (s).

Quãng đường quả bóng B đi được là

SB=03124tdt=12t2t2|03=18  (m).

Khoảng cách giữa hai quả bóng sau khi đã dừng hẳn là:

S = SA + SB = 16 + 18 = 34 (m).

Học tốt Tích phân

Các bài học để học tốt Tích phân Toán lớp 12 hay khác:

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

Săn shopee giá ưu đãi :

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official


Giải bài tập lớp 12 Kết nối tri thức khác
Tài liệu giáo viên