Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ (Lý thuyết Toán lớp 12) | Kết nối tri thức

Giảm giá 50% sách VietJack đánh giá năng lực các trường trên Shopee Mall

Với tóm tắt lý thuyết Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 12.

Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ (Lý thuyết Toán lớp 12) | Kết nối tri thức

Quảng cáo

Lý thuyết Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

1. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ

• Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ trong không gian

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\vec{a} = (x; y; z)$ và $\vec{b} = (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ . Ta có:

+) $\vec{a} + \vec{b} = (x + x^{'}; y + y^{'}; z + z^{'})$ ;

+) $\vec{a} - \vec{b} = (x - x^{'}; y - y^{'}; z - z^{'})$ ;

+) $\vec{a} = (k x; k y; k z)$ với k là một số thực.

Nhận xét: Vectơ $\vec{a} = (x; y; z)$ cùng phương với vectơ $\vec{b} = (x^{'}; y^{'}; z^{'}) \neq \vec{0}$ khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho $\{\begin{cases} x = k x^{'} \\ y = k y^{'} \\ z = k z \end{cases}$ .

Ví dụ 1. Cho các vectơ $\vec{a} = (- 2; - 3; 5)$ , $\vec{b} = (3; 5; - 7)$ . Tính $\vec{a} + \vec{b}; \vec{a} - \vec{b}; 3 \vec{a}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $\vec{a} + \vec{b} = (- 2 + 3; - 3 + 5; 5 - 7) = (1; 2; - 2)$ .

$\vec{a} - \vec{b} = (- 2 - 3; - 3 - 5; 5 + 7) = (- 5; - 8; 12)$ .

Quảng cáo

$\vec{3 a} = (- 6; - 9; 15)$ .

• Tọa độ trung điểm đoạn thẳng, tọa độ trọng tâm tam giác

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng A(x_A; y_A; z_A), B(x_B; y_B; z_B) và C(x_C; y_C; z_C). Khi đó:

- Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là $(\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2}; \frac{z_{A} + z_{B}}{2})$ .

- Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là $(\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}; \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3})$ .

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho DABC có ba đỉnh A(2; 1; −3), B(4; 2; 1), C(3; 0; 5). Tìm tọa độ trọng tâm G của DABC.

Hướng dẫn giải

Vì G là trọng tâm của DABC nên $\{\begin{cases} x_{G} = \frac{2 + 4 + 3}{3} = 3 \\ y_{G} = \frac{1 + 2 + 0}{3} = 1 \\ z_{G} = \frac{- 3 + 1 + 5}{3} = 1 \end{cases}$ .

Vậy G(3; 1; 1).

2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

• Biểu thức tọa độ của tích vô hướng trong không gian

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ $\vec{a} = (x; y; z)$ và $\vec{b} = (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ được xác định bởi công thức: $\vec{a} . \vec{b} = x . x^{'} + y . y^{'} + z . z^{'}$ .

Nhận xét:

Quảng cáo

- Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc với nhau nếu và chỉ nếu xx' + yy' + zz' = 0.

- Nếu $\vec{a} = (x; y; z)$ thì $| \vec{a} | = \sqrt{\vec{a} . \vec{a}} = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$ .

- Nếu $\vec{a} = (x; y; z)$ và $\vec{b} = (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ là hai vectơ khác $\vec{0}$ thì $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |} = \frac{x . x' + y . y' + z . z'}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} . \sqrt{x'^{2} + y'^{2} + z'^{2}}}$ .

Ví dụ 3. Cho $\vec{a} = (2; 3; 5)$ và $\vec{b} = (7; 1; 8)$ . Tính góc giữa hai vetơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $\vec{a} . \vec{b} = 2.7 + 3.1 + 5.8 = 57$ ; $| \vec{a} | = \sqrt{2^{2} + 3^{2} + 5^{2}} = \sqrt{38}$ ; $| \vec{b} | = \sqrt{7^{2} + 1^{2} + 8^{2}} = \sqrt{114}$ .

Có $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |} = \frac{57}{\sqrt{38} . \sqrt{114}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 30^{\circ}$ .

Chú ý: Nếu A(x_A; y_A; z_A) và B(x_B; y_B; z_B) thì

$= | \vec{A B} | = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2} + {(z_{B} - z_{A})}^{2}}$ .

Đặc biệt, khi B trùng O thì ta nhận được công thức $O A = \sqrt{x_{A} + y_{A} + z_{A}}$ .

Ví dụ 4. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(−5; −2; 5), B(−3; 4; 9), C(1; 2; 3). Tính diện tích của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Có $\vec{A B} = (- 3 + 5; 4 + 2; 9 - 5) = (2; 6; 4) \Rightarrow | \vec{A B} | = \sqrt{2^{2} + 6^{2} + 4^{2}} = \sqrt{56}$ .

$\vec{A C} = (1 + 5; 2 + 2; 3 - 5) = (6; 4; - 2) \Rightarrow | \vec{A C} | = \sqrt{6^{2} + 4^{2} + {(- 2)}^{2}} = \sqrt{56}$ .

Quảng cáo

$\vec{B C} = (1 + 3; 2 - 4; 3 - 9) = (4; - 2; - 6) \Rightarrow | \vec{B C} | = \sqrt{4^{2} + {(- 2)}^{2} + {(- 6)}^{2}} = \sqrt{56}$

Nhận thấy AB = AC = BC. Do đó DABC đều.

Suy ra diện tích DABC là $A B^{2} \frac{\sqrt{3}}{4} = {(\sqrt{56})}^{2} . \frac{\sqrt{3}}{4} = 14 \sqrt{3}$ .

3. Vận dụng tọa độ của vectơ trong một số bài toán có liên quan đến thực tiễn

Ví dụ 5. Tính công sinh bởi lực $\vec{F} (20; 30; - 10)$ (đơn vị: N) tạo bởi một drone giao hàng khi thực hiện một độ dịch chuyển $\vec{d} = (150; 200; 100)$ (đơn vị: m).

Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ (Lý thuyết Toán lớp 12) | Kết nối tri thức

Hướng dẫn giải

Công sinh bởi lực $\vec{F}$ là $A = \vec{F} . \vec{d} = 20.150 + 30.200 + (- 10) .100 = 8000$ J.

Học tốt Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(3; 2; 1), B(−1; 3; 2), C(2; 4; −3). Tích vô hướng $\vec{A B} . \vec{A C}$ là

A. 10.

B. −6.

C. 2.

D. −2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Có $\vec{A B} = (- 4; 1; 1)$ và $\vec{A C} = (- 1; 2; - 4)$ .

Khi đó $\vec{A B} . \vec{A C} = (- 4) . (- 1) + 1.2 + 1 . (- 4) = 2$ .

Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ $\vec{a} = (5; 7; 2)$ , $\vec{b} = (3; 0; 4), \vec{c} = (- 6; 1; - 1)$ . Tìm tọa độ của vectơ $\vec{m} = 3 \vec{a} - 2 \vec{b} + \vec{c}$ .

A. $\vec{m} = (3; - 22; 3)$ .

B. $\vec{m} = (3; 22; - 3)$ .

C. $\vec{m} = (3; 22; 3)$ .

D. $\vec{m} = (- 3; 22; - 3)$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Có $\vec{a} = (15; 21; 6)$ ; $\vec{b} = (6; 0; 8)$ .

Khi đó $\vec{m} = 3 \vec{a} - 2 \vec{b} + \vec{c} = (15 - 6 - 6; 21 - 0 + 1; 6 - 8 - 1) = (3; 22; - 3)$ .

Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 0; 2), B(1; 1; 4) và trọng tâm G(1; −1; 2).

a) Tìm tọa độ điểm C.

b) Tính chu vi tam giác ABC.

c) Tính $\hat{B A C}$ .

Hướng dẫn giải

a) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên

$\{\begin{cases} x_{C} = 3 x_{G} - x_{A} - x_{B} \\ y_{C} = 3 y_{G} - y_{A} - y_{B} \\ z_{C} = 3 z_{G} - z_{A} - z_{B} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{C} = 3.1 - 1 - 1 = 1 \\ y_{C} = 3 . (- 1) - 0 - 1 = - 4 \\ z_{C} = 3.2 - 2 - 4 = 0 \end{cases}$ .

Vậy C(1; −4; 0).

b) Có $\vec{A B} = (1 - 1; 1 - 0; 4 - 2) = (0; 1; 2) \Rightarrow | \vec{A B} | = \sqrt{0^{2} + 1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{5}$ .

$\vec{A C} = (1 - 1; - 4 - 0; 0 - 2) = (0; - 4; - 2) \Rightarrow | \vec{A C} | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 2)}^{2}} = 2 \sqrt{5}$

$\vec{B C} = (1 - 1; - 4 - 1; 0 - 4) = (0; - 5; - 4) \Rightarrow | \vec{B C} | = \sqrt{{(- 5)}^{2} + {(- 4)}^{2}} = \sqrt{41}$

Chu vi tam giác ABC là: AB + AC + BC = $\sqrt{5} + \sqrt{41}$ .

c) $\cos \hat{B A C} = \frac{\vec{A B} . \vec{A C}}{| \vec{A B} | . | \vec{A C} |} = \frac{0.0 + 1 . (- 4) + 2 . (- 2)}{\sqrt{5} .2 \sqrt{5}} = - \frac{4}{5}$ .

Suy ra $\hat{B A C} \approx 143^{\circ}$ .

Bài 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; 4; 1) và B(1; 2; 1).

a) Tìm tọa độ trung điểm I của AB.

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oy và cách đều hai điểm A và B.

Hướng dẫn giải

a) Vì I là trung điểm của AB nên $\{\begin{cases} x_{I} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} \\ y_{I} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} \\ z_{I} = \frac{z_{A} + z_{B}}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{I} = \frac{3 + 1}{2} = 2 \\ y_{I} = \frac{4 + 2}{2} = 3 \\ z_{I} = \frac{1 + 1}{2} = 1 \end{cases}$ .

Vậy I(2; 3; 1).

b) Vì M thuộc Oy nên M(0; y; 0).

Do M cách đều hai điểm A và B nên MA = MB

$\Leftrightarrow \sqrt{10 + {(4 - y)}^{2}} = \sqrt{2 + {(2 - y)}^{2}}$ .

$\Leftrightarrow 26 - 8 y + y^{2} = 6 - 4 y + y^{2}$

$\Leftrightarrow 4 y = 20 \Leftrightarrow y = 5$ .

Vậy M(0; 5; 0).

Bài 5. Cho biết máy bay A đang bay với vectơ vận tốc $\vec{a} = (300; 200; 400)$ (đơn vị: km/h). Máy bay B bay cùng hướng và có tốc độ gấp hai lần tốc độ của máy bay A.

a) Tìm tọa độ vectơ vận tốc $\vec{b}$ của máy bay B.

b) Tính tốc độ của máy bay B.

Hướng dẫn giải

a) Có $\vec{b} = 2 \vec{a} = (600; 400; 800)$ .

b) Tốc độ của máy bay B là:

$| \vec{b} | = \sqrt{600^{2} + 400^{2} + 800^{2}} \approx 1077, 03$ km/h.

Bài tập Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Các bài học để học tốt Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ Toán lớp 12 hay khác:

Giải sgk Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Sách VietJack thi THPT quốc gia 2025 cho học sinh 2k7:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official