Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (Lý thuyết Toán lớp 12) | Kết nối tri thức

Với tóm tắt lý thuyết Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 12.

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (Lý thuyết Toán lớp 12) | Kết nối tri thức

Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

1. Định nghĩa

• Khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.

- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) $\le$ M với mọi x ∈ D và tồn tại x₀ ∈ D sao cho f(x₀) = M.

Kí hiệu $M=\underset{x_0\in D}{\max }f\left(x\right)$ hoặc $M=\underset{D}{\max }f\left(x\right)$ .

- Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) $\ge$ m với mọi x ∈ D và tồn tại x₀ ∈ D sao cho f(x₀) = m.

Kí hiệu $m=\underset{x\in D}{\min }f\left(x\right)$ hoặc $m=\underset{D}{\min }f\left(x\right)$.

Chú ý:

- Ta quy ước rằng khi nói giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) (mà không nói “trên tập D”) thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của f(x) trên tập xác định của hàm số.

- Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập D, ta thường lập bảng biến thiên của hàm số trên tập D để kết luận.

Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = −x³ + 3x – 1 trên đoạn [0; 2].

Hướng dẫn giải

Trên đoạn [0; 2], có y' = −3x² + 3; y' = 0 $\iff$ x = −1 hoặc x = 1.

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, ta có:

$\underset{\left[0;2\right]}{\max }f\left(x\right)=f\left(1\right)=1$ và $\underset{\left[0;2\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(-1\right)=f\left(2\right)=-3$ .

Chú ý:

Trong thực hành, ta cũng dùng các kí hiệu $\underset{D}{\min }y,\underset{D}{\max }y$ để chỉ giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất (nếu có) của hàm số $y=f\left(x\right)$ trên tập D. Do đó, trong ví dụ 1 ta có thể viết: $\underset{\left[0;2\right]}{\max }y=y\left(1\right)=1$ và $\underset{\left[0;2\right]}{\min }y=y\left(-1\right)=y\left(2\right)=-3$ .

2. Cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Giả sử y = f(x) là hàm số liên tục trên [a; b] và có đạo hàm trên (a; b), có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn [a; b] mà đạo hàm f'(x) bằng 0.

Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên đoạn [a; b]:

Bước 1: Tìm các điểm x₁, x₂, …, x_n ∈ (a; b), tại đó f'(x) bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 2: Tính f(x₁), f(x₂), …, f(x_n), f(a) và f(b).

Bước 3: Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có: $M=\underset{\left[a;b\right]}{\max }f\left(x\right);m=\underset{\left[a;b\right]}{\min }f\left(x\right)$ .

Ví dụ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = x³ – 3x² trên đoạn [1; 5].

Hướng dẫn giải

Trên đoạn [1; 5], có y' = 3x² – 6x; y' = 0 $\iff$x = 0 (loại) hoặc x = 2 (nhận).

Có y(1) = −2; y(2) = −4; y(5) = 50.

Vậy $\underset{\left[1;5\right]}{\max }y=y\left(5\right)=50;\underset{\left[1;5\right]}{\min }y=y\left(2\right)=-4$.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x³ + 3x² trên đoạn [−5; −1] bằng

A. 0. B. 4. C. 2. D. −50.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Trên đoạn [−5; −1], có y' = 3x² + 6x;

Có y' = 0 $\iff$ x = 0 (loại) hoặc x = −2 (nhận).

Có y(−5) = −50; y(−2) = 4; y(−1) = 2.

Vậy $\underset{\left[-5;-1\right]}{\min }y=y\left(-5\right)=-50$ .

Bài 2. Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y=\frac{1}{2}x-\sqrt{x+2}$ trên đoạn [−1; 34]. Tổng S = 3m + M bằng.

A. $S=\frac{13}{2}$. B. $S=\frac{25}{2}$ . C. $S=\frac{63}{2}$ . D. $S=\frac{11}{2}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Trên đoạn [−1; 34], có $y^{\text{'}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{x+2}}$ ;

$y^{\text{'}}=0\iff \sqrt{x+2}=1\iff x=-1$ (nhận).

Có $y\left(-1\right)=-\frac{3}{2};y\left(34\right)=11$ .

Do đó $m=-\frac{3}{2};M=11$ . Suy ra $S=3.\left(-\frac{3}{2}\right)+11=\frac{13}{2}$.

Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x³ – 3x² – 9x + 5 trên đoạn [−2; 2].

Hướng dẫn giải

Trên đoạn [−2; 2], có y' = 3x² – 6x – 9; y' = 0 $\iff$ x = −1 (nhận) hoặc x = 3 (loại).

Có y(−2) = 3; y(−1) = 10; y(2) = −17.

Vậy $\underset{\left[-2;2\right]}{\max }y=y\left(-1\right)=10;\underset{\left[-2;2\right]}{\min }y=y\left(2\right)=-17$ .

Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{x^2-4x}{2x+1}$ trên đoạn [0; 3].

Hướng dẫn giải

Trên đoạn [0; 3], có $y^{\text{'}}=\frac{\left(2x-4\right)\left(2x+1\right)-2\left(x^2-4x\right)}{{\left(2x+1\right)}^2}=\frac{2x^2+2x-4}{{\left(2x+1\right)}^2}$ ;

Có y' = 0 $\iff$ 2x² + 2x – 4 = 0 $\iff$ x = −2 (loại) hoặc x = 1 (nhận).

Có y(0) = 0; y (1) = −1; y(3) = $-\frac{3}{7}$ .

Vậy $\underset{\left[0;3\right]}{\max }y=y\left(0\right)=0;\underset{\left[0;3\right]}{\min }y=y\left(1\right)=-1$.

Bài 5. Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là f(t) = 45t² – t³ (kết quả khảo sát được trong tháng 8 vừa qua). Nếu xem f'(t) là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t. Hỏi tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ mấy?

Hướng dẫn giải

Ta có f'(t) = 90t – 3t².

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của g(t) = f'(t) = 90t – 3t² trên (0; +∞).

Có g'(t) = 90 – 6t; g'(t) = 0 $\iff$ t = 15.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ 15

Học tốt Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Các bài học để học tốt Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay khác:

• Lý thuyết Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

• Lý thuyết Toán 12 Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

• Lý thuyết Toán 12 Bài 5: Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

• Tổng hợp lý thuyết Toán 12 Chương 1

• Lý thuyết Toán 12 Bài 6: Vectơ trong không gian

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)

---