Tổng hợp lý thuyết Toán 12 Chương 6 Kết nối tri thức

Tổng hợp lý thuyết Toán 12 Chương 6: Xác suất có điều kiện sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết với bài tập có lời giải sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 12 Chương 6.

Tổng hợp lý thuyết Toán 12 Chương 6 Kết nối tri thức

Lý thuyết Bài tập cuối Chương 6

1. Xác suất có điều kiện

1.1. Khái niệm xác suất có điều kiện

Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A, được tính khi biết biến cố B đã xảy ra, được gọi là xác suất của A với điều kiện B và kí hiệu P(A| B).

1.2. Công thức tínhxác suất có điều kiện

Cho hai biến cố A và B bất kì, với P(B) > 0. Khi đó $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(B\right)}$ .

1.3. Công thức nhân xác suất

Với hai biến cố A và B bất kì, ta có: P(AB) = P(B).P(A| B).

Công thức trên được gọi là công thức nhân xác suất.

2. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

2.1. Công thức xác suất toàn phần

Cho hai biến cố A và B. Khi đó, ta có công thức sau:

$P\left(B\right)=P\left(A\right).P\left(B|A\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)$.

Công thức trên được gọi là công thức xác suất toàn phần.

Chú ý. Một phương pháp mô tả trực quan công thức xác suất toàn phần là dùng sơ đồ hình cây.

2.2. Công thức Bayes

Cho A và B là hai biến cố, với P(B) > 0. Khi đó ta có công thức sau:

$P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\right).P\left(B|A\right)}{P\left(A\right).P\left(B|A\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)}$.

Công thức trên có tên là công thức Bayes.

Chú ý. Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P\left(B\right)=P\left(A\right).P\left(B|A\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)$.

Do đó, công thức Bayes còn có thể viết dưới dạng

$P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\right).P\left(B|A\right)}{P\left(B\right)}$ .

Ý nghĩa của công thức Bayes: Một nhà nghiên cứu quan tâm đến xác suất xảy ra của biến cố A. Theo tính toán ban đầu A có xác suất là P(A) = p. Sau đó, nhà nghiên cứu có được thông tin rằng: “Biến cố B đã xảy ra”. Với thông tin mới này, nhà nghiên cứu sẽ cập nhật hiểu biết của mình về khả năng xảy ra biến cố A, bằng cách tính P(A| B), xác suất của A khi biết B đã xảy ra. Công thức Bayes giúp ta tính P(A| B).

Bài tập Bài tập cuối Chương 6

1. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1. Cho hai biến cố A và B, với P(A) = 0,6; P(B) = 0,7; P(AÇB) = 0,3.

Tính P(A| B).

A. $\frac{3}{7}$.

B. $\frac{1}{2}$.

C. $\frac{6}{7}$.

D. $\frac{1}{7}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Có $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(B\right)}=\frac{0,3}{0,7}=\frac{3}{7}$.

Bài 2. Gieo lần lượt hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 6. Biết rằng con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm.

A. $\frac{2}{6}$.

B. $\frac{1}{2}$.

C. $\frac{1}{6}$.

D. $\frac{5}{6}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi A là biến cố: “Con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm”.

B là biến cố: “Tổng số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc bằng 6”.

Khi con xúc xắc thứ nhất đã xuất hiện mặt 4 chấm thì lần thứ hai xuất hiện mặt 2 chấm thì tổng hai lần xuất hiện là 6 chấm. Do đó $P\left(B|A\right)=\frac{1}{6}$.

Cho hai biến cố A và B, với P(B) = 0,8; P(A| B) = 0,7; $P\left(A|\overline{B}\right)=0,45$.

(Sử dụng cho bài 3, 4)

Bài 3. Tính P(A).

A. 0,25.

B. 0,65.

C. 0,55.

D. 0,5.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì P(B) = 0,8 suy ra $P\left(\overline{B}\right)=0,2$.

Có $P\left(A\right)=P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right)$= 0,8.0,7 + 0,2.0,45 = 0,65.

Bài 4. Tính P(B| A).

A. 0,25.

B. 0,65.

C. $\frac{56}{65}$.

D. 0,5.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Có $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right).P\left(A|B\right)}{P\left(A\right)}=\frac{0,8.0,7}{0,65}=\frac{56}{65}$.

2. Bài tập tự luận

Bài 1. Một bình đựng 9 viên bi xanh và 7 viên bi đỏ. Lần lượt lấy ngẫu nhiên ra 2 bi, mỗi lần lấy 1 bi không hoàn lại. Tính xác suất để bi thứ 2 màu xanh nếu biết bi thứ nhất màu đỏ.

Hướng dẫn giải

Gọi biến cố A: “Bi thứ nhất là màu đỏ”.

Biến cố B: “Bi thứ hai là màu xanh”.

Ta cần tính P(B| A).

Ta có $P\left(A\right)=\frac{7}{16}$; $P\left(AB\right)=\frac{7}{16}.\frac{9}{15}=\frac{21}{80}$.

Do đó $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(A\right)}=\frac{21}{80}:\frac{7}{16}=\frac{3}{5}$.

Bài 2. Áo sơ mi An Phước trước khi xuất khẩu sang Mỹ phải trải qua 2 lần kiểm tra, nếu cả hai lần đều đạt thì chiếc áo đó mới đủ tiêu chuẩn xuất khẩu. Biết rằng bình quân 98% sản phẩm làm ra qua được lần kiểm tra thứ nhất và 95% sản phẩm qua được lần kiểm tra đầu sẽ tiếp tục qua được lần kiểm tra thứ hai. Tính xác suất để 1 chiếc áo sơ mi đủ tiêu chuẩn xuất khẩu?

Hướng dẫn giải

Gọi biến cố A: “Chiếc áo sơ mi đó qua được lần kiểm tra thứ nhất”.

Biến cố B: “Chiếc áo sơ mi qua được lần kiểm tra thứ hai”.

Cần tính P(AB).

Theo đề ta có: P(A) = 0,98; P(B| A) = 0,95.

Do đó P(AB) = P(A). P(B| A) = 0,98.0,95 = 0,931.

Bài 3. Lớp Toán Sư Phạm có 95 Sinh viên, trong đó có 40 nam và 55 nữ. Trong kỳ thi môn Xác suất thống kê có 23 sinh viên đạt điểm giỏi (trong đó có 12 nam và 11 nữ). Gọi ngẫu nhiên một sinh viên trong danh sách lớp. Tìm xác suất gọi được sinh viên đạt điểm giỏi môn Xác suất thống kê, biết rằng sinh viên đó là nữ?

Hướng dẫn giải

Gọi biến cố A: “Sinh viên đó đạt điểm giỏi môn Xác suất thống kê”.

Biến cố B: “Sinh viên đó là nữ”.

Biến cố AB: “Sinh viên nữ đạt điểm giỏi môn xác suất thống kê”

Ta cần tính P(A| B).

Theo đề ta có: $P\left(AB\right)=\frac{11}{95}$; $P\left(B\right)=\frac{55}{95}$.

Do đó $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(B\right)}=\frac{11}{95}:\frac{55}{95}=\frac{1}{5}$

Bài 4. Một hộp có 80 viên bi, trong đó có 50 viên bi màu đỏ và 30 viên bi màu vàng; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Sau khi kiểm tra, người ta thấy có 60% số viên bi màu đỏ đánh số và 50% số viên bi màu vàng có đánh số, những viên bi còn lại không đánh số. Lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi trong hộp. Tính xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số.

Hướng dẫn giải

Gọi biến cố A: “Viên bi lấy ra là màu đỏ”.

Biến cố B: “Viên bi lấy ra được đánh số”.

Ta cần tính P(B).

Theo đề ta có: $P\left(A\right)=\frac{50}{80}=\frac{5}{8}\Rightarrow P\left(\overline{A}\right)=\frac{3}{8}$;

Ta có $P\left(B|A\right)=0,6$; $P\left(B|\overline{A}\right)=0,5$.

Do đó $P\left(B\right)=P\left(A\right).P\left(B|A\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)$

$=\frac{5}{8}.0,6+\frac{3}{8}.0,5=\frac{9}{16}$ .

Bài 5. Có hai chiếc hộp, hộp I có 5 viên bi màu trắng và 5 viên bi màu đen, hộp II có 6 viên bi màu trắng và 4 viên bi màu đen, các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp I bỏ sang hộp II. Sau đó lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp II.

a) Tính xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi màu trắng.

b) Giả sử viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi màu trắng. Tính xác suất viên bi màu trắng đó thuộc hộp I.

Hướng dẫn giải

a) Gọi A là biến cố: “Lấy được viên bi màu trắng từ hộp thứ I”.

B là biến cố: “Lấy được viên vi màu trắng từ hộp thứ II”.

Cần tính P(B).

Theo đề ta có: $P\left(A\right)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$$\Rightarrow P\left(\overline{A}\right)=\frac{1}{2}$.

Có $P\left(B|A\right)=\frac{7}{11}$; $P\left(B|\overline{A}\right)=\frac{6}{11}$.

Ta có

$P\left(B\right)=P\left(A\right).P\left(B|A\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)$$\frac{1}{2}.\frac{7}{11}+\frac{1}{2}.\frac{6}{11}=\frac{13}{22}$.

b) Cần tính P(A| B).

Có $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\right).P\left(B|A\right)}{P\left(B\right)}$$=\frac{1}{2}.\frac{7}{11}:\frac{13}{22}=\frac{7}{13}$.

Bài 6. Một công ty một ngày sản xuất được 850 sản phẩm trong đó có 50 sản phẩm không đạt chất lượng. Lần lượt lấy ra ngẫu nhiên không hoàn lại 2 sản phẩm để kiểm tra.

a) Tính xác suất để sản phẩm thứ hai không đạt chất lượng biết sản phẩm thứ nhất đạt chất lượng.

b) Tính xác suất để sản phẩm thứ hai không đạt chất lượng.

Hướng dẫn giải

a) Gọi biến cố A: “Sản phẩm thứ nhất đạt chất lượng”.

Biến cố B: “Sản phẩm thứ hai không đạt chất lượng”.

Cần tính P(B| A).

Do sản phẩm thứ nhất đạt chất lượng nên $P\left(B|A\right)=\frac{50}{849}$ .

b) Cần tính P(B).

Ta có $P\left(A\right)=\frac{800}{850}$; $P\left(\overline{A}\right)=\frac{50}{850}$; $P\left(B|A\right)=\frac{50}{849}$; $P\left(B|\overline{A}\right)=\frac{49}{849}$.

Do đó $P\left(B\right)=P\left(A\right).P\left(B|A\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)$

$=\frac{800}{850}.\frac{50}{849}+\frac{50}{850}.\frac{49}{849}=\frac{1}{17}$ .

Học tốt Bài tập cuối Chương 6

Các bài học để học tốt Bài tập cuối Chương 6 Toán lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Bài tập cuối Chương 6

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay khác:

• Lý thuyết Toán 12 Bài 16: Công thức tính góc trong không gian

• Lý thuyết Toán 12 Bài 17: Phương trình mặt cầu

• Tổng hợp lý thuyết Toán 12 Chương 5

• Lý thuyết Toán 12 Bài 18: Xác suất có điều kiện

• Lý thuyết Toán 12 Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)

---