Cách tính bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác (cách giải + bài tập)

Bài viết phương pháp giải bài tập tính bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập tính bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác.

Cách tính bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Áp dụng định lí sin, công thức tính diện tích tam giác, ta suy ra công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác, p là nửa chu vi tam giác và S là diện tích tam giác.

+) Theo định lí sin ta có: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

Từ đó suy ra: R =$\frac{a}{2\sin A}=\frac{b}{2\sin B}=\frac{c}{2\sin C}$.

+) Ta có: $S=\frac{abc}{4R}\Rightarrow R=\frac{abc}{4S}$.

+) S = pr $\Rightarrow r=\frac{S}{p}$ với $p=\frac{a+b+c}{2}$.

+) Ngoài ra, để tính diện tích S, ta sử dụng các công thức:

$S=\frac{1}{2}a{h}_a=\frac{1}{2}b{h}_b=\frac{1}{2}c{h}_c$ với h_a; h_b; h_c lần lượt là các đường cao hạ từ đỉnh A, B, C của tam giác ABC.

$S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ac\sin B$

$S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$(công thức Hê – rông).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tam giác ABC có BC = 8 và $\widehat{A}=30°$. Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

Ta áp dụng công thức $\frac{a}{\sin A}=2R$ 

$\Rightarrow R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{8}{2\sin 30°}=\frac{8}{2.\frac{1}{2}}=8$ .

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R = 8.

Ví dụ 2. Tam giác ABC có AB = 6, AC = 8 và $\widehat{BAC}=60°$. Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho.

Hướng dẫn giải:

Theo địn lí côsin ta có: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2.AB.AC.\cos A$

Thay số: $B{C}^2=6^2+8^2-\mathrm{2.6.8.}\cos 60°=52$

$\Rightarrow BC=\sqrt{52}$

Do đó ta có nửa chu vi tam giác ABC là:

$p=\frac{1}{2}\left(AB+AC+BC\right)=\frac{1}{2}\left(6+8+\sqrt{52}\right)=7+\sqrt{13}$

Diện tích tam giác ABC là:

$S=\sqrt{p\left(p-AB\right)\left(p-AC\right)\left(p-BC\right)}=12\sqrt{3}$

Mặt khác $S=p.r\Rightarrow r=\frac{S}{p}=\frac{12\sqrt{3}}{7+\sqrt{13}}\approx \mathrm{1,96}$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tam giác ABC có a = 20, b = 15, c = 9. Bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho gần với giá trị nào dưới đây?

A. 1,38;

B. 2,75;

C. 4,38;

D. 5,75.

Bài 2. Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 8 và $\widehat{A}=30°$. Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

A. 7;

B. 6;

C. 5;

D. 4.

Bài 3. Cho tam giác ABC biết a = 21 cm, b = 17 cm, c = 10. Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

A. 5,625;

B. 10,625;

C. 15,625;

D. 20,625.

Bài 4. Tam giác DEF có DE = 5, DF = 8 và $\widehat{EDF}=50°$. Bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho gần nhất với giá trị nào sau đây?

A. 1,5;

B. 15;

C. 2;

D. 20.

Bài 5. Cho tam giác ABC có: $\widehat{A}$ = 60°, a = 14. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng:

A. 14;

B. 14 ;

C. $\frac{14\sqrt{3}}{2}$;

D. $\frac{14\sqrt{3}}{3}$.

Bài 6. Tam giác đều cạnh a nội tiếp đường tròn bán kính R. Khi đó R bằng:

A. a;

B. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$;

C. $\frac{a\sqrt{3}}{6}$;

D. $\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Bài 7. Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a.

A. a;

B. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$;

C. $\frac{a\sqrt{3}}{6}$;

D. $\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Bài 8. Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH = 4,8 và $\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}$. Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

A. 3;

B. 4;

C. 5;

D. 6.

Bài 9. Tam giác ABC vuông cân tại A có AB = 2a. Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp đã cho.

A. 2a – a$\sqrt{2}$;

B. 2a + a$\sqrt{2}$;

C. a + 2a$\sqrt{2}$;

D. − a +  a$\sqrt{2}$.

Bài 10. Tam giác ABC vuông cân tại A và nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Khi đó tỉ số  bằng:

A. $\sqrt{2}$;

B. 1 + $\sqrt{2}$;

C. 1;

D. 1 + 2$\sqrt{2}$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 hay, chi tiết khác:

• Các cách tính diện tích tam giác

• Chứng minh tam giác (vuông, nhọn, tù)

• Cách làm các bài tập giải tam giác

• Áp dụng giải tam giác vào các bài toán thực tế

• Xác định vectơ. Tìm điểm đầu, điểm cuối, giá của vectơ

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---