Chứng minh tam giác (vuông, nhọn, tù) (cách giải + bài tập)

Bài viết phương pháp giải bài tập Chứng minh tam giác (vuông, nhọn, tù) lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Chứng minh tam giác (vuông, nhọn, tù).

Chứng minh tam giác (vuông, nhọn, tù) (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

* Định nghĩa:

- Tam giác nhọn là tam giác có ba góc nhọn (góc nhọn có số đo lớn hơn 0° và nhỏ hơn 90°).

- Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông (góc có số đo bằng 90°).

- Tam giác tù là tam giác có một góc tù (góc tù có số đo lớn hơn 90° và nhỏ hơn 180°).

- Tam giác cân là tam giác có 2 cạnh bằng nhau.

- Tam giác đều là tam giác có 3 cạnh bằng nhau.

* Sử dụng định lí côsin; định lí sin; định lí Pythagore; công thức tính diện tích tam giác để biến đổi giả thiết, ta tính được số đo các góc hoặc biết được hệ thức liên hệ cạnh (hoặc góc) từ đó suy ra dạng của tam giác.

* Chú ý: Nếu α là góc nhọn thì các giá trị lượng giác của góc α đều mang dấu dương.

Nếu α là góc tù thì sin α > 0, cos α < 0, tan α < 0 và cot α < 0.

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC thỏa mãn sin C = 2sin Bcos A. Chứng minh rằng tam giác ABC cân.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có: $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.

Theo định lí sin ta có: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\Rightarrow \sin B=\frac{b}{2R};\sin C=\frac{c}{2R}$.

Từ đó ta có: sinC = 2sinBcosA

$\iff \frac{c}{2R}=2.\frac{b}{2R}.\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.

$\iff c^2=b^2+c^2-a^2\Rightarrow a=b$.

Suy ra tam giác ABC cân tại đỉnh C.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Chứng minh các khẳng định sau:

a) Góc A nhọn khi và chỉ khi a² < b² + c²;

b) Góc A vuông khi và chỉ khi a² = b² + c²;

c) Góc A tù khi và chỉ khi a² > b² + c².

Hướng dẫn giải:

Theo định lí côsin trong tam giác, ta có:

$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.

a) Từ  a² < b² + c² ⇔ b² + c² – a² > 0 ⇔ cos A > 0 ⇔ Góc A là góc nhọn.

b) Từ  a² = b² + c² ⇔ b² + c² – a² = 0 ⇔ cos A = 0 ⇔ Góc A là góc vuông.

c) Từ  a² > b² + c² ⇔ b² + c² – a² < 0 ⇔ cos A < 0 ⇔ Góc A là góc tù.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tam giác ABC có a = 4, b = 6, c = 8. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Tam giác ABC nhọn;

B. Tam giác ABC tù;

C. Tam giác ABC đều;

D. Tam giác ABC vuông.

Bài 2. Cho tam giác có: a = 8, b = 11, $\widehat{C}=30°$. Xét dạng của tam giác ABC.

A. Tam giác ABC nhọn;

B. Tam giác ABC tù;

C. Tam giác ABC đều;

D. Tam giác ABC vuông.

Bài 3. Cho tam giác ABC có a = 9; b = 12; c = 15. Xét dạng của tam giác ABC

A. Tam giác ABC nhọn;

B. Tam giác ABC tù;

C. Tam giác ABC đều;

D. Tam giác ABC vuông.

Bài 4. Cho tam giác ABC có a = 10, c = 5$\sqrt{3}$, $\widehat{B}=30°$. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

A. Tam giác ABC nhọn;

B. Tam giác ABC tù;

C. Tam giác ABC vuông;

D. Tam giác ABC cân.

Bài 5. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Nếu b² + c² – a² > 0 thì góc A nhọn;

B. Nếu b² + c² – a² < 0 thì góc A nhọn;

C. Nếu b² + c² – a² > 0 thì góc A tù;

D. Nếu b² + c² – a² < 0 thì góc A vuông.

Bài 6. Cho tam giác ABC có: $\widehat{B}=60°$, a = 12, R = 4$\sqrt{3}$. Xác định dạng của tam giác?

A. Tam giác ABC nhọn;

B. Tam giác ABC tù;

C. Tam giác ABC đều;

D. Tam giác ABC vuông.

Bài 7. Tam giác ABC thỏa mãn $\frac{\sin B}{\sin A}=2.\cos C$. Khi đó:

A. Tam giác ABC nhọn;

B. Tam giác ABC tù;

C. Tam giác ABC cân;

D. Tam giác ABC vuông.

Bài 8. Cho tam giác ABC thỏa mãn $\frac{a}{\cos A}=\frac{b}{\cos B}$. Xác định dạng của tam giác ABC.

A. Tam giác ABC nhọn;

B. Tam giác ABC tù;

C. Tam giác ABC cân;

D. Tam giác ABC vuông.

Bài 9. Xác định dạng của tam giác ABC biết S = p(p – a) với S là diện tích tam giác ABC và p là nửa chu vi tam giác.

A. Tam giác ABC nhọn;

B. Tam giác ABC tù;

C. Tam giác ABC đều;

D. Tam giác ABC vuông.

Bài 10. Cho a², b², c² là độ dài các cạnh của một tam giác nào đó và a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác ABC. Khi đó, khẳng định nào sau đây đúng?

A. Tam giác ABC tù;

B. Tam giác ABC vuông;

C. Tam giác ABC vuông cân;

D. Tam giác ABC nhọn.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 hay, chi tiết khác:

• Cách làm các bài tập giải tam giác

• Áp dụng giải tam giác vào các bài toán thực tế

• Xác định vectơ. Tìm điểm đầu, điểm cuối, giá của vectơ

• Tính độ dài của vectơ

• Tìm các vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---