Giá trị lượng giác của một cung và cách giải (hay, chi tiết)

• Lý thuyêt bài tập Giá trị lượng giác của một cung
• Các dạng bài tập Giá trị lượng giác của một cung
• Bài tập tự luyện Giá trị lượng giác của một cung

Giá trị lượng giác của một cung và cách giải

1. Lý thuyết

a. Định nghĩa:

 

Trên đường tròn lượng giác cho cung có sđ=  , khi đó:

+) Tung độ của M gọi là sin của , kí hiệu là sin=:  

+) Hoành độ của M gọi là cosin của  , kí hiệu là cos=:  

+) Nếu cos#0, tỉ số gọi là tang của , kí hiệu là tan =   :  

+) Nếu sin#0, tỉ số gọi là côtang của , kí hiệu là cot =  :  

Các giá trị sin , cos  ,tan ,cot được gọi là các giá trị lượng giác của cung  . Ta cũng gọi trục tung là trục sin, trục hoành là trục cosin.

b. Hệ quả:

+) sin , cos xác định với mọi giá trị của và -1sin1, -1cos1  .

+) tan được xác định khi #+k, cot xác định khi #k 

+) sin = sin(+k2), cos = cos(+k2)

 tan = tan(+k), cot = cot(+k)

+) Dấu của các giá trị lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm M nằm trên đường tròn lượng giác.

Ta có bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác:

Phần tư Giá trị lượng giác	I	II	III	IV
cos	+	–	–	+
sin	+	+	–	–
tan	+	–	+	–
cot	+	–	+	–

c.   c. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt:

	0									2
	00	300	450	600	900	1200	1350	1800	2700	3600
sin	0				1			0	–1	0
cos	1				0			–1	0	1
tan	0		1		||		–1	0	||	0
cot	||		1		0		–1	||	0	||

d.   d. Các công thức lượng giác cơ bản:

+) sin² + cos² = 1

+) 1 + tan² = (#+k, k Z)

+)  1 + cot² = (#k, k Z)

+) tan .cot = 1( #, k Z)

e. Giá trị lượng giác của góc (cung) có liên quan đặc biệt:

Góc (cung) đối nhau  (  và  )	Góc (cung) bù nhau (  và  )	Góc (cung) phụ nhau (  và  )
cos( ) = cos	sin( ) = sin	sin = cos
sin( ) = -sin	cos( ) = -cos	cos = sin
tan( ) = -tan	tan( ) = -tan	tan = cot
cot( ) = -cot	cot( ) = -cot	cot = tan

Góc (cung) hơn kém    (  và  )	Góc (cung) hơn kém    (  và  )
sin( ) = -sin	sin = cos
cos( ) = -cos	cos = -sin
tan( ) = tan	tan = -cot
cot( ) = cot	cot= -tan

2. Các dạng bài

Dạng 2.1: Tính các giá trị lượng giác còn lại khi đã cho trước một giá trị

a. Phương pháp giải:

Để làm dạng bài tập này, ta sử dụng các công thức lượng giác cơ bản, giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt và dấu của các giá trị lượng giác.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho cos= với 0<<. Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc .

Lời giải:

Ta có: sin² = 1-cos² = 1 - = sin = .

Do 0<<nên sin>0. Suy ra, sin=  .

Từ đó, suy ra: tan = = ; cot= = .

Ví dụ 2: Cho tan = với < <2. Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc .

Lời giải:

Ta có: 

+) cot =

+) 1 + tan² =  1 +=  =  cos² =

cos =

+) sin² = 1- cos² = 1 -  =  sin=

Do <<2 

Dạng 2.2: Chứng minh một đẳng thức giữa các giá trị lượng giác

a. Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác và các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt để thực hiện phép biến đổi.

Ta lựa chọn một trong các cách biến đổi sau:

* Cách 1: Biến đổi một vế thành vế còn lại (vế trái thành vế phải hoặc vế phải thành vế trái)

* Cách 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết là luôn đúng.

* Cách 3: Biến đổi một đẳng thức đã biết là luôn đúng thành đẳng thức cần chứng minh.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Chứng minh rằng:
a. cos + sin - cos - sin = 2sin 

b. sin(+x ) + cos + cot(2-x) + tan = -2sinx

Lời giải:

a. Ta có:

VT = cos + sin - cos - sin 

= sin + cos - cos = 2sin = VP 

Suy ra đpcm.

b. Ta có:

 VT = sin(+x) - cos + cot(2-x) + tan

= -sinx - sinx + cot(+-x  ) + tan

= -sinx - sinx + cot(-x) + tan

= -2sinx - cotx + cotx = -2sinx = VP

Suy ra đpcm.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng: = tan³+ tan²+ tan + 1 với #+k, kZ.

Lời giải:

Ta có:

VT =  

= (1+tan²).(1+tan)  

= tan³+ tan²+ tan + 1 = VP

Suy ra đpcm.

Dạng 2.3: Rút gọn biểu thức lượng giác

a. Phương pháp giải:

Để giải dạng bài này, ta sẽ áp dụng các công thức lượng giác cơ bản và các giá trị lượng giác của các góc có mối liên hệ đặc biệt để đưa biểu thức ban đầu trở nên đơn giản, ngắn gọn hơn.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức:
a. A = .tan

b. B = sin⁶x + cos⁶x + 3sin²xcos²x

Hướng dẫn:

a. Ta có:

A = - cot(-).tan
= + tan.cot  

= +1 = = .

b. Ta có:

B = sin⁶x + cos⁶x + 3sin²xcos²x 

= (sin²x)³ + (cos²x)³ + 3sin²xcos²x 

= (sin²x+cos²x)³ - 3sin²xcos²x (sin²x+cos²x) + 3sin²xcos²x

= 1 - 3sin²xcos²x + 3sin²xcos²x

= 1

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: A = - tan18^o.

Hướng dẫn:

Ta có:

A = - tan18^o

= - tan18^o

= - tan18^o

= - tan18^o 

= - tan18^o = 0

 3. Bài tập tự luyện

a. Tự luận

Câu 1: Cho cot= với <<. Tính giá trị sin  + cos  .

Lời giải:

= 1 + cot²= 1 + 18 = 19

sin² = sin =

Vì: <<  sin>0 sin =

cos = cot.sin =

Suy ra: sin  + cos =

Câu 2: Cho sinx + cosx = và 0<x<  . Tính giá trị của sinx.

Lời giải:

Từ sinx + cosx = cosx =  - sinx (1)

Mặt khác: sin²x + cos²x = 1 (2). Thế (1) vào (2), ta được:

sin²x +  = 1

2sin²x + sinx -  = 0

 

Vì 0<x< sinx>0 sinx =   .

Câu 3: Cho sinx = và cosx nhận giá trị âm, tính giá trị của biểu thức A = .

Lời giải:

Vì cosx nhận giá trị âm.

Ta có: cosx =

Suy ra: A =

Câu 4: Rút gọn biểu thức A = .

Lời giải:

Ta có: A =  

A = .

Câu 5: Rút gọn biểu thức B = - cot²x.cot²y.

Lời giải:

Ta có: B = - cot²x.cot²y

 =

 =

 =

=  = -1

Câu 6: Rút gọn biểu thức:

 A = cos( +26 ) - 2sin( +7) - cos1,5- cos + cos( -1,5).cot(-8)

Lời giải:

 A = cos( +26 ) - 2sin( +7) - cos1,5 - cos + cos( -1,5).cot(-8)

= cos - 2sin( - ) + cos- cos + cos.cot 

= cos +2sin + 0 - sin - sin.cot

= cos + sin - cos = sin .

Câu 7: Chứng minh rằng = 4tan²a với sin#, cos#0.

Hướng dẫn:

VT =  - 2

=  - 2

=  - 2

= 2 + 2 

= 4tan²a = VP

Suy ra đpcm.

Câu 8: Chứng minh đẳng thức sau: .

Hướng dẫn:

Ta có:
VT =   

=  

=   = VP

Câu 9: Cho cung lượng giác có số đo x thỏa mãn tanx = 2. Giá trị của biểu thức M = .

Lời giải:

Do tanx = 2 cosx # 0. Chia cả tử và mẫu của biểu thức cho cos³x , ta được:

M =  

=

Câu 10: Rút gọn biểu thức A = .

Lời giải:

Ta có 

A =  

=  

= . = cosx - sinx

b. Trắc nghiệm

Câu 1: Chọn đẳng thức sai trong các đẳng thức sau:

A. sin = cosx.               

B. sin = cosx.

C. tan = cotx.

D. tan = cotx.

Câu 2: Chọn hệ thức sai trong các hệ thức sau:

A. tan = cotx.

B. sin(3 -x) = sinx.

C. cos(3 -x) = cosx.          

D. cos(-x) = cosx.

Câu 3: Cho cos15^o = . Giá trị của 15^o bằng:

A.  - 2.   

B. .          

C. 2 - .  

D. .

Câu 4: Biểu thức B = - cot72^o.cot18^o có kết quả rút gọn bằng:

A. -1. 

B. 1.   

C. .        

D. .

Câu 5: Trong các công thức sau, công thức nào sai?

A. sin + cos  = 1.      

B. 1 + tan² =  (#+k, kZ)  

C. 1 + cot² = (#k, kZ)

D.  tan + cot = 1(#, kZ)

Đáp án:

Câu 1	Câu 2	Câu 3	Câu 4	Câu 5
D	C	C	B	D

Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 10 hay, chi tiết khác:

• Công thức lượng giác và cách giải bài tập
• Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ và cách giải
• Tích vô hướng của hai vectơ và cách giải bài tập
• Hệ thức lượng trong tam giác và cách giải bài tập
• Hệ trục tọa độ trong mặt phẳng và cách giải bài tập

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---

---

---