Góc và cung lượng giác và cách giải (hay, chi tiết)

• Lý thuyêt bài tập Góc và cung lượng giác
• Các dạng bài tập Góc và cung lượng giác
• Bài tập tự luyện Góc và cung lượng giác

Góc và cung lượng giác và cách giải

1. Lý thuyết

a. Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn: 

* Đơn vị rađian: Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 rađian, gọi tắt là cung 1 rađian. 1 rađian còn viết tắt là 1 rad. 

Vì tính thông dụng của đơn vị rađian người ta thường không viết rađian hay rad sau số đo của cung và góc.

* Độ dài cung tròn. Quan hệ giữa độ và rađian:

= suy ra và 1 rad =  

* Độ dài cung tròn 

Một cung của đường tròn bán kính R có số đo thì độ dài l= R.

b. Góc và cung lượng giác:

* Đường tròn định hướng: Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại gọi là chiều âm. Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ gọi là chiều dương (cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm).

* Góc, cung lượng giác và số đo của chúng.

Cho đường tròn định hướng tâm O và hai tia Ou, Ov lần lượt cắt đường tròn tại U và V. Tia Om cắt đường tròn tại M, tia Om chuyển động theo một chiều (âm hoặc dương) quay quanh O khi đó điểm M cũng chuyển động theo một chiều trên đường tròn.

 

- Góc lượng giác: Tia Om quay xung quanh gốc O từ vị trí Ou đến vị trí Ov. Ta nói tia O đã tạo ra một góc lượng giác có tia đầu là Ou, tia cuối là Ov. Kí hiệu (Ou, Ov)

- Cung lượng giác: Điểm M chuyển động theo một chiều từ điểm U đến trùng với điểm V thì ta nói điểm M đã vạch nên một cung lượng giác có điểm đầu U, điểm cuối V. Kí hiệu là  

- Số đo cung lượng giác:

+) Số đo của một cung lượng giác (U#V) là một số thực, âm hay dương. Kí hiệu số đo của cung là sđ

+) Nếu một cung lượng giác có số đo ( hay rad) thì mọi góc lượng giác cùng tia đầu, tia cuối với nó có số đo dạng + k (hay + k2) với k  Z .
 +) Số đo của góc lượng giác (OU, OV) là số đo của cung lượng giác   tương ứng

c. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác:

Đường tròn lượng giác là đường tròn định hướng có tâm O bán kính R = 1 trong hệ tọa độ Oxy. Ta lấy điểm A(1; 0) là điểm gốc của đường tròn đó. 

Để biểu diễn cung lượng giác có số đo bằng   trên đường tròn lượng giác, ta chọn điểm gốc là điểm A(1;0) và điểm ngọn C sao cho sđ =  .

2. Các dạng bài 

Dạng 1.1: Cách đổi độ sang rađian và rađian sang độ

a. Phương pháp giải:

* Đổi độ sang rađian:

Áp dụng lý thuyết: , ta suy ra: = rad

* Đổi rađian sang độ:

Áp dụng lý thuyết: 1rad =  , ta suy ra: rad = .

Chú ý: Khi viết số đo của một góc (hay cung) theo đơn vị rađian, người ta thường không viết chữ rad sau số đo.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Đổi số đo của các góc sau sang rađian

a. 180^o

b.  22^o33' 

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức: = rad

a. 180^o = 180. rad =

b. 22^o33' = 22,5^o = 22.5.rad =  

Ví dụ 2: Đổi số đo của các góc sau sang độ:

a.  

b.   

Lời giải:

Áp dụng công thức: rad =

a. rad = = 72^o

b. rad = = 20^o

Dạng 1.2: Cách tính độ dài cung tròn

a. Phương pháp giải:

Áp dụng công thức: l = R  , trong đó: l là độ dài cung tròn, R là bán kính đường tròn,   là số đo bằng rad của cung.

Trường hợp   có số đo bằng độ, ta có công thức: l  = R. 

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Một đường tròn có bán kính R = cm. Tìm độ dài cung tròn có số đo   trên đường tròn.

Hướng dẫn:

Độ dài cung tròn có số đo là: l = R = . = 5cm

Ví dụ 2: Một đường tròn có bán kính R = 10 cm. Tìm độ dài cung tròn có số đo bằng 40^o trên đường tròn.

Lời giải:

Độ dài của cung tròn có số đo bằng 40^o là: l = .R = .10 7cm

3. Bài tập tự luyện

a. Tự luận

Câu 1: Tìm số đo theo đơn vị rađian của góc 315^o .

Lời giải:

Ta có 315^o = = (rađian).

Câu 2: Cho a = + k2 . Tìm k để 10 <a<11 

Lời giải:

Để 10 <a<11 thì < k2<  k = 5.

Câu 3: Góc có số đo  đổi sang độ là bao nhiêu?

Lời giải:

= = 7,5^o = 7^o30'

Câu 4: Đổi góc 63^o48' bằng (với  = 3,1416) sang rađian

Lời giải:

Ta có 63^o48' = 63,8^o =  1,114rad

Câu 5: Một đồng hồ treo tường, kim giờ dài 10,57 cm và kim phút dài 13,34 cm.Trong 30 phút mũi kim giờ vạch lên cung tròn có độ dài là bao nhiêu?

Lời giải:

Đồng hồ chỉ 6 giờ đúng thì kim giờ vạch lên 1 cung có số đo   nên 30 phút kim giờ vạch lên 1 cung có số đo là = , suy ra độ dài cung tròn mà nó vạch lên là: l = R = 10,57 x  2,77  cm

Câu 6: Trên đường tròn bán kính r = 15 cm, tìm độ dài của cung có số đo 50^o.

Lời giải:

l = r. = 15. 13,09  cm.

Câu 7: Cung tròn bán kính bằng 8,43 cm có số đo 3,85 rad có độ dài là bao nhiêu?

Lời giải:

Độ dài cung tròn là l = R = 8,43 x 3,85 = 32,4555cm.

Câu 8: Cho a = + k2 (kZ). Tìm giá trị của k để a (19;27).

Lời giải:

19 <   + k2 (kZ) <27

19 - < k2 < 27-  2,86<k<4,13

   k ={3;4}

 Câu 9: Đổi góc có số đo  sang số đo độ.

Lời giải:

Vì 1rad = nên = = -33,75^o = -33^o45'.

Câu 10: Cho đường tròn có bán kính 6 cm. Tìm số đo theo đơn vị   của cung có độ dài là 3 cm.

Lời giải:

Theo công thức tính độ dài cung tròn ta có l = R với có số đo bằng rad nên ta có: =  = 0,5 (rad).

b. Trắc nghiệm:

Câu 1: Góc lượng giác nào sau đây có cùng điểm cuối với góc ?

A. 

B. 

C.    

D. 

Câu 2: Cung có mút đầu là A và mút cuối là M thì số đo của   là:

A.  + k 

B.   + k 

C.    + k2         

D.   + k2 

Câu 3: Góc có số đo bằng độ là:

A. 18^o     

B. 36^o

C. 20^o    

D. 12^o

Câu 4: Một bánh xe có 72 răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 10 răng là:

A. 60^o      

B. 30^o     

C. 40^o      

D. 50^o

Câu 5: Một đường tròn có bán kính 20 cm. Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo .

A. 4,19 cm.  

B. 4,17 cm.  

C. 95,49 cm.          

D. 95,50 cm.

Đáp án:

Câu 1	Câu 2	Câu 3	Câu 4	Câu 5
A	D	C	D	A

Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 10 hay, chi tiết khác:

• Giá trị lượng giác của một cung và cách giải
• Công thức lượng giác và cách giải bài tập
• Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ và cách giải
• Tích vô hướng của hai vectơ và cách giải bài tập
• Hệ thức lượng trong tam giác và cách giải bài tập

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---

---

---