Lập phương trình Elip đi qua 2 điểm hoặc qua 1 điểm thỏa mãn điều kiện

---

---

Bài viết Lập phương trình Elip đi qua 2 điểm hoặc qua 1 điểm thỏa mãn điều kiện với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Lập phương trình Elip đi qua 2 điểm hoặc qua 1 điểm thỏa mãn điều kiện.

Lập phương trình Elip đi qua 2 điểm hoặc qua 1 điểm thỏa mãn điều kiện

A. Phương pháp giải

+ Bài toán 1: Lập phương trình elip (E) đi qua hai điểm A và B :

- Bước 1: Gọi phương trình chính tắc của elip( E) : = 1 (a > b > 0).

- Bước 2: Do hai điểm A và B thuộc elip (E) nên thạy tọa độ hai điểm này vào phương trình ( E) ta được hai phương trình ẩn a²; b².

Giải hệ phương trình ta được a²; b²...

⇒ Phương trình chính tắc của elip.

+ Bài toán 2: Lập phương trình chính tắc của elip ( E) đi qua điểm M và thỏa mãn điều kiện T ( về tiêu cự ; độ dài trục lớn- trục nhỏ; tâm sai....)

- Bước 1: Gọi phương trình chính tắc của elip( E) : = 1 (a > b > 0).

- Bước 2: Do điểm M thuộc elip (E) nên thạy tọa độ điểm này vào phương trình

( E) ta được một phương trình ẩn a²; b²

- Bước 3: Từ điều kiện T thiết lập một phương trình ẩn a ; b và c.

Mà a² – b² = c². Kết hợp ba phương trình trên để tìm a; b; c.

⇒ Phương trình chính tắc của elip ( E) .

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Elip đi qua các điểm M ( 0; 3) và N( 3; ) có phương trình chính tắc là:

A. = 1     B. = 1

C. = 1     D. = 1

Lời giải

Gọi phương trình chính tắc của Elip là = 1 (a > b > 0).

Elip đi qua điểm M( 0; 3) suy ra: = 1

⇔ = 1 ⇔ b² = 9 ( 1)

Elip đi qua điểm N N( 3; ) suy ra: = 1 ( 2)

Thay( 1) vào ( 2) ta được: = 1

⇔ = 1 ⇔ a²= 25

Vậy phương trình cần tìm là: = 1

Chọn B

Ví dụ 2: Tìm phương trình chính tắc của Elip có tiêu cự bằng 6 và đi qua điểm A( 0; 5).

A. = 1     B. = 1

C. = 1     D. Đáp án khác

Lời giải

Gọi phương trình chính tắc của Elip có dạng = 1 (a > b > 0).

Ta có tiêu cự bằng 6 nên: 2c = 6 ⇒ c = 3 và a² - b² = c² = 9 ( 1)

Do điểm A(0; 5) thuộc ( E) nên:

= 1 ⇔ ⇔ b² = 25 mà b> 0 nên b= 5.

Thay vào (1) ta được : a² – 25 = 9 ⇔ a² = 34

⇒ Phương trình chính tắc của elip ( E) :     = 1

Chọn D

Ví dụ 3: Tìm phương trình chính tắc của Elip có trục lớn gấp đôi trục bé và đi qua điểm

A. = 1     B. = 1

C. = 1     D. = 1

Lời giải

Gọi phương trình chính tắc của Elip có dạng = 1 (a > b > 0).

Theo đề ra: Trục lớn gấp đôi trục bé nên : 2a = 2.( 2b)

⇔ a = 2b ⇔ a² = 4b²

Điểm ( 2; -2) thuộc Elip : = 1 ⇔ = 1

Ta được hệ: ⇒

⇒ Phương trình elip ( E) :     = 1

Chọn D

Ví dụ 4: Phương trình chính tắc của Elip có một tiêu điểm F₁(-√3; 0 ) và đi qua M(1; ) là

A. = 1     B. = 1

C. = 1     D. = 1

Lời giải

Do elip có một tiêu điểm là F1(- √3; 0) nên c = √3

Phương trình chính tắc của elip có dạng :

(E) : = 1 (a > b > 0) ⇒ c = = √3 ⇒ a² - b² = 3(1)

M(1; )∈ (E) ⇒ = 1 ⇔ 4b² + 3a² = 4a² b² (2)

Giải hệ (1) và (2)

⇔ ⇔ ⇔

Vậy phương trình elip là:     = 1

Chọn C

Ví dụ 5: Phương trình chính tắc của elip có hai tiêu điểm F1(- 2;0); F2(2; 0) và đi qua điểm M( 2; 3) là

A. = 1     B. = 1

C. = 1     D. Tất cả sai

Lời giải

+ Gọi phương trình chính tắc của elip cần tìm: = 1 (a > b > 0).

+ Ta có elip có hai tiêu điểm F1(- 2;0); F2(2; 0) nên c = 2

⇒ a²- b²=c² = 4 ⇒ a²= b² + 4 ( 1)

+ Do elip đi qua điểm M( 2; 3) nên :

= 1 ( 2)

+ Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :

+ Giải phương trình ( *) ⇔ 4b² + 9( b²+ 4) = b² ( b² + 4)

⇔ 4b² + 9b²+ 36 = b⁴ + 4b²

⇔ b⁴ – 9b² -36 = 0 ⇔ b² = 12

⇒ a² = b² + 4 = 16

⇒ Phương trình chính tắc của elip ( E) :     = 1

Chọn A

Ví dụ 6: Lập phương trình chính tắc của elip có tâm O; hai trục đối xứng là hai trục toạ độ và qua hai điểm ,

A. = 1     B. = 1

C. = 1     D. = 1

Lời giải

Gọi phương trình chính tắc elip cần tìm là = 1 (a > b > 0).

Do elip đi qua , nên ta có hệ :

⇔

Vậy elip cần tìm là     = 1

Chọn C

Ví dụ 7: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó có chiều rộng hình chữ nhật cơ sở là 8 và đi qua A(5; 0) ?

A. = 1     B. = 1

C. = 1     D. = 1

Lời giải

Gọi phương trình chính tắc của elip = 1 (a > b > 0).

Do chiều rộng hình chữ nhật cơ sở là 8 nên 2b = 8 ⇔ b = 4

Do elip đi qua điểm A( 5;0) nên: = 1

⇔ a² = 25

Phương trình chính tắc của elip :     = 1

Chọn B

Ví dụ 8: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm A(6; 0) và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng .

A. = 1     B. = 1

C. = 1     D. = 1

Lời giải

Gọi phương trình chính tắc của Elip là: = 1 (a > b > 0).

Elip đi qua điểm A( 6;0) suy ra: =1

⇔ =1 ⇔ a² = 36 mà a > 0 nên a = 6.

Tỉ số của tiêu cực với độ dài trục lớn bằng suy ra :

= = ⇒ c = = = 3

⇒ b² = a² – c² = 62 – 32= 27

Vậy phương trình cần tìm là ( E) :     = 1

Chọn A

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm A(2; 1) và có tiêu cự bằng 2√3 ?

A. = 1     B. = 1

C. = 1     D. = 1

Lời giải:

Đáp án: D

Trả lời:

Giả sử elip có phương trình tổng quát là = 1 (a > b > 0).

Do elip có tiêu cự là 2√3 nên 2c= 2√3 ⇔ c= √3.

Do ( E) đi qua điểm A(2; 1) và có tiêu cự bằng nên ta có

⇔

⇔ ⇔ ⇒

Vậy phương trình (E):    = 1

Câu 2: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm A( 6;0) và có tâm sai bằng 1/2

A. = 1     B. = 1

C. = 1     D. = 1

Lời giải:

Đáp án: B

Trả lời:

Giả sử elip có phương trình tổng quát là = 1 (a > b > 0).

Do ( E) đi qua điểm A(6; 0) và có tâm sai bằng 1/2 nên ta có:

⇔

⇔ ⇔ ⇒ ( E ) : = 1

Câu 3: Lập phương trình chính tắc của elip có tiêu cự bằng 8 và đi qua M(√15 ; -1)

A. = 1     B. = 1

C. = 1     D. = 1

Lời giải:

Đáp án: A

Trả lời:

Giả sử elip có phương trình tổng quát là = 1 (a > b > 0).

Do ( E) có tiêu cự bằng 8 và đi qua M(√15 ; -1) nên:

⇔

⇔ ⇔ ⇒

⇔ ⇒

⇒ Phương trình chính tắc của elip(E):     = 1

Câu 4: Tìm phương trình chính tắc của elip, biết elip có chiều dài hình chữ nhật cơ sở bằng 4√5 và đi qua điểm M( 0; -1)?

A. = 1     B. = 1

C. = 1     D. = 1

Lời giải:

Đáp án: D

Trả lời:

Gọi phương trình chính tắc của Elip là: = 1 (a > b > 0).

Elip có chiều dài hình chữ nhật cơ sở bằng 4√5 suy ra:

2a= 4 √5 nên a= 2√5 và a²= 20

Elip đi qua điểm M(0; -1) suy ra: = 1 ( 2)

⇒ = 1 ⇒ b² = 1

Vậy phương trình cần tìm là:     = 1

Câu 5: Elip qua điểm M(2; ) và có một tiêu điểm F( 2; 0) . Phương trình chính tắc của elip là:

A. = 1     B. = 1

C. = 1     D. = 1

Lời giải:

Đáp án: A

Trả lời:

Gọi phương trình chính tắc của Elip là: = 1 (a > b > 0).

Elip có một tiêu điểm là F( 2; 0) suy ra c= 2 và c²= 4 ⇔ a²- b² = 4 (1).

Elip đi qua điểm M(2; ) suy ra = 1 ( 2).

Từ (1) suy ra a²= b² + 4 thay vào (2) ta được :

= 1

⇔ 36b² + 25( b² +4) = 9b² ( b² + 4)

⇔ 36b² + 25b² + 100 = 9b⁴ + 36b²

⇔ 9b⁴ – 25b² – 100 = 0

⇔ b² = 5 nên a² = b² + 4 = 9

Vậy phương trình cần tìm là ( E):     = 1

Câu 6: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm N(2; ) và tỉ số của tiêu cự với độ dài

A. = 1     B. = 1

C. = 1     D. = 1

Lời giải:

Đáp án: B

Trả lời:

Gọi phương trình chính tắc của Elip là: = 1 (a > b > 0).

Elip đi qua điểm N( 2; ) suy ra: = 1 ( 1)

Tỉ số của tiêu cực với độ dài trục lớn bằng suy ra:

= = ⇒ c =

⇒ c²= .

Kết hợp với điều kiện b² = a² – c² ta được :

b² = a² - = hay 9b² = 5a² (2)

Thay ( 2) vào ( 1) ta được :

= 1 ⇔ = 1

⇔a²= 9 ⇔ b² = 5

Vậy phương trình cần tìm là ( E):    = 1

Câu 7: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm A(2; √3) và tỉ số của độ dài trục lớn với tiêu cự bằng .

A. = 1     B. = 1

C. = 1     D. = 1

Lời giải:

Đáp án: A

Trả lời:

Gọi phương trình chính tắc của Elip là: = 1 (a > b > 0).

Elip đi qua điểm A( 2; √3) suy ra: =1 ( 1)

Tỉ số của độ dài trục lớn với tiêu cự bằng suy ra:

= = ⇒ c = và c² =

Kết hợp với điều kiện b² = a² - c² ta được :

b² = a² - = nên a²= 4b² ( 2) .

Thay ( 2) vào (1) ta được : = 1 ⇔ b² = 4

⇒ a² = 4b² = 16

Vậy phương trình cần tìm là:     = 1

Câu 8: . Lập phương trình chính tắc của elip, biết elip đi qua hai điểm A( 7;0) và B(0; 3).

A. = 1     B. = 1

C. = 1     D. = 1

Lời giải:

Đáp án: D

Trả lời:

Gọi phương trình chính tắc của Elip là : = 1 (a > b > 0).

Elip đi qua điểm A( 7; 0) suy ra: = 1

⇔ = 1 ⇔ a²= 49.

Elip đi qua điểm B(0; 3) suy ra: = 1

⇔ = 1 ⇔ b² = 9

Vậy phương trình cần tìm là :    = 1

Câu 9: Elip đi qua các điểm A( 0; 1) và N( 1; ) có phương trình chính tắc là:

A. = 1     B. = 1

C. = 1     D. = 1

Lời giải:

Đáp án: C

Trả lời:

Gọi phương trình chính tắc của Elip là : = 1 (a > b > 0).

Elip đi qua điểm A( 0; 1) suy ra: = 1

⇔ =1 ⇔ b² = 1 ( 1)

Elip đi qua điểm N( 1; ) suy ra: : = 1 ( 2)

Thay( 1) vào ( 2) ta được: = 1

⇔ = ⇔ a²= 4

Vậy phương trình cần tìm là ( E) :    = 1

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm phương trình chính tắc của elip đi qua hai điểm $M\left(2\sqrt{2};\frac{1}{3}\right)$ và $N(2;\frac{\sqrt{5}}{3})$.

Bài 2. Tìm phương trình chính tắc của elip đi qua hai điểm $M\left(-\sqrt{3};0\right)$ và $N(-4;-\frac{9}{5})$.

Bài 3. Tìm phương trình chính tắc của elip đi qua hai điểm $M\left(-\sqrt{3};0\right)$ và $N(1;\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Bài 4. Tìm phương trình chính tắc của elip đi qua hai điểm M(0;1) và $N(1;\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Bài 5. Tìm phương trình chính tắc của elip đi qua hai điểm $M(4;\frac{9}{5})$ và $N(3;\frac{12}{5})$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:

• Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn, trục nhỏ của Elip
• Viết phương trình chính tắc của Elip
• Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip
• Các dạng bài tập khác về đường Elip

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---

---

---