Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip - Toán lớp 10



Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip

A. Phương pháp giải

+ Phương trình elip có dạng: Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 1 và đường thẳng ∆: y = mx + n

+ Ta xét phương trình: Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 1 (*) . Ta có 3 trường hợp:

TH1: (*) có 2 nghiệm thì số giao điểm là 2 (đường thẳng cắt elip).

TH2: (*) có 1 nghiệm thì số giao điểm là 1 (đường thẳng tiếp xúc elip).

TH3: (*) vô nghiệm thì số giao điểm là 0 (đường thẳng và elip không có điểm chung).

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho elíp (E): Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 1 và đường thẳng d: 3x + 4y - 12 = 0. Số giao điểm của đường thẳng d và elip (E) là:

A. 0    B. 1    C. 2    D. 3

Lời giải

Ta có d: 3x + 4y - 12 = 0 nên y = 3 - Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án , thay vào phương trình (E): Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 1 ta được:

Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

⇔ 2x2 - 8x = 0

Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Vậy d luôn cắt (E) tại hai điểm phân biệt A(0; 3); B (4;0).

Chọn C.

Ví dụ 2: Cho elip (E): Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 1 và đường thẳng d: x - √2y + 2 = 0 . Số giao điểm của đường thẳng d và elip ( E) là:

A. 0    B. 1    C. 2    D. 3

Lời giải

Tọa độ giao điểm của elp (E) và d ( nếu có) là nghiệm của hệ:

Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

+ Giải (*) ta được: (√2 y - 2)2 + 2y2 = 8

⇔ 2y2 - 4√2 y + 4 + 2y2 = 8

⇔ 4y2 - 4√2 y - 8 = 0

phương trình trên có hai nghiệm ⇒ cho ta 2 giá trị x tương ứng.

⇒ Số giao điểm của (E) và d là 2.

Chọn C.

Ví dụ 3 : Cho Elip Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 1 : . Đường thẳng (d): x = - 4 cắt (E) tại hai điểm M, N. Khi đó:

A. MN = Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án    B. MN = Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án    C. MN = Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án    D. MN = Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Hướng dẫn:

Elip (E) có a2 = 25; b2 = 9 ⇒ c2 = 25 - 9 = 16 nên c = 4

Dể thấy (d): x = - 4 là đường thẳng đi qua tiêu điểm F1( - 4; 0) của ( E) .

Do đó MN = 2MF1 = Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Chọn C.

Ví dụ 4: Đường thẳng y = kx cắt Elip Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 1 (a > b > 0) tại hai điểm

A. đối xứng nhau qua trục Oy.    B. đối xứng nhau qua trục Ox.

C. đối xứng nhau qua gốc toạ độ O.    D. Các khẳng định trên đều sai.

Hướng dẫn

Vì (E) có tâm đối xứng là gốc tọa độ O và hàm số y = kx là hàm số lẻ nên đồ thị của nó cũng có tâm đối xứng là O(0; 0)

⇒ đường thẳng y = kx cắt elip tại hai điểm đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O.

Chọn C.

Ví dụ 5: Cho elip 3x2 + 4y2 – 48 = 0 và đường thẳng d: x - 2y + 4 = 0. Giao điểm của d và Elip là :

A. (0; - 4); (-2; -3)    B. (4; 0); (3; 2)    C. (0; 4); (-2; 3)    D. (-4; 0); (2; 3)

Hướng dẫn giải

Xét hệ phương trình:

Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án (*)

Giải (*): 3( 4y2 – 16y + 16) + 4y2 - 48 = 0

⇔ 12y2 – 48y + 48 + 4y2 - 48 = 0

⇔16y2 – 48y = 0

Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Vậy giao điểm của elip ( E) là ( - 4; 0) và ( 2; 3).

Chọn D.

Ví dụ 6: Tìm giao điểm của đường thẳng ( d): x - y - 3 = 0 và elip ( E): Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 1.

A. ( Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )    B. ( Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )    C. ( 10; 7)    D.

Hướng dẫn giải

Xét hệ phương trình:

Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án (*)

Giải ( *) ⇔ (y + 3)2 + 4y2 = 4 ⇔ y2 + 9y + 9 + 4y2 – 4 = 0

⇔ 5y2 + 9y + 5 = 0 phương trình này vô nghiệm

Vậy đường thẳng d không cắt elip (E).

Chọn D.

Ví dụ 7: Tìm giao điểm của đường thẳng d: x + 2y - 5 = 0 và elip ( E): Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 1.

A. M( Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )    B. M( - Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; - Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )    C. M( Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )    D. M( Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )

Lời giải

Xét hệ phương trình:

Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án (*)

Giải phương trình ( *) ⇔ 4(5 - 2y)2 + 9y2 = 36

⇔ 100 - 80y + 16y2 + 9y2 = 36

⇔ 25y2 – 80y + 64 = 0

⇔ y = Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ⇒ x = Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Vậy đường thẳng d cắt elip ( E) tại một điểm là M( Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )

Chọn A.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tìm giao điểm ( nếu có ) của đường thẳng d: x - 2y = 0 và ( E): Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 1.

A. (2; 1)    B. ( - 2; -1) và ( -2; 1)    C. ( 2; 1) và ( -2; -1)    D. ( 2; -3) và ( 2; 1)

Đáp án: C

Trả lời:

Xét hệ phương trình:

Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án (*)

Giải phương trình ( *) ⇔ 4y2 + 4y2 = 8

⇔ 8y2 = 8 ⇔ y2 = 1

Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Vậy đường thẳng (d) cắt elip ( E) tại hai điểm A( 2; 1) và B( -2; -1).

Câu 2: Cho elip( E): 16x2 + 25y2 = 100. Tìm các giá trị của b để đường thẳng
(d): y = x + b có điểm chung với elip?

A. - Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ≤ b ≤ Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án    B. 2 < b < 3    C. - Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ≤ b ≤ Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án    D. Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ≤ b ≤ Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Đáp án: A

Trả lời:

Đường thẳng (d): y = x + b có điểm chung với elip khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm :

Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Thay ( 2) vào ( 1) ta được :

16x2 + 25( x + b)2 = 100 ⇔ 16x2 + 25x2 + 50bx + 25b2 – 100 = 0

⇔ 41x2 + 50bx + 25b2 - 100 = 0 ( *)

Phương trình ( *) có nghiệm ⇔ ∆' ≥ 0

⇔ (25b)2 – 41( 25b2 - 100) ≥0

⇔ - 400b2 + 4100 ≥0

⇔ - Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ≤ b ≤ Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Câu 3: Cho elip ( E): 4x2 + 9y2 = 36 và M(1; 1). Lập phương trình đường thẳng qua M và cắt elip tại hai điểm A; B sao cho MA = MB?

A. x + 3y - 4 = 0    B. x - y = 0    C. 4x + 9y - 13 = 0    D. 2x - y - 1 = 0

Đáp án: C

Trả lời:

+ Phương trình đường thẳng d: qua M(1; 1) ; hệ số góc k là:

(d): y = k( x - 1) + 1 ⇔ y = kx - k + 1

+ Tọa độ giao điểm của (d) và ( E) là nghiệm hệ phương trình :

Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Thay ( 2) vào (1): 4x2 + 9(kx - k + 1)2 = 36

⇔ ( 4 + 9k2) x2 – 18k( k - 1)x + 9k2 - 18k - 27 = 0 ( *)

Để (d) cắt ( E) tại hai điểm thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆' ≥ 0.

⇔ [ 9k(k - 1)]2 – (4 + 9k2) (9k2 – 18k - 27) > 0

⇔ 9k2 (k - 1)2 – (4 + 9k2) ( k2 - 2k - 3) > 0

⇔ 32k2 + 8k + 12 > 0 luôn đúng với mọi k.

Vậy phương trình ( *) luôn có hai nghiệm phân biệt và xA + xB = Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ( hệ thức Viet)

Theo giả thiết MA = MB ⇔ xA + xB = 2xM

Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 2 nên k = Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

+ Thay k = Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án vào (2) ta được: (d): 4x + 9y - 13 = 0

Câu 4: Cho elip 2x2 + 3y2 – 18 = 0 và đường thẳng d: 3x + y - 9 = 0. Giao điểm của d và Elip là :

A. (-2; 9) và ( Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )    B. (4;- 9) và ( Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )

C. (0; 2) và ( Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )    D. (3; 0) và (Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ) .

Đáp án: D

Trả lời:

Xét hệ phương trình:

Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Giải (*): 2x2 + 3( 81 - 54x + 9x2) – 18 = 0

⇔ 2x2 + 243 - 162x + 27x2 - 18 = 0

⇔ 29x2 - 162x + 225 = 0

Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Vậy giao điểm của elip ( E) là (3; 0) và (Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ) .

Câu 5: Tìm số giao điểm của đường thẳng ( d): x - 3y - 3 = 0 và elip ( E): Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 1 có hoành độ nguyên?

A. 0    B. 1    C. 2    D. 3

Đáp án: C

Trả lời:

Xét hệ phương trình:

Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Giải ( *) ⇔ 2(3y + 3)2 + 9y2 = 18 ⇔ 18y2 + 36y + 18 + 9y2 – 18 = 0

⇔ 27y2 + 36y = 0 ⇔ Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Vậy đường thẳng d cắt elip (E) tại hai điểm và hai điểm đó có hoành độ nguyên .

Câu 6: Tìm giao điểm của đường thẳng d: x + y - 10 = 0 và elip ( E): Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 1.

A. ∅    B. M( - Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; - Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )    C. M( Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )    D. M( Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án )

Đáp án: A

Trả lời:

Xét hệ phương trình:

Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Giải phương trình ( *) ⇔ ( 10 - y)2 + 9y2 = 9

⇔ 100 – 20y + y2 + 9y2 = 9

⇔ 10y2 - 20y + 91 = 0 phương trình vô nghiệm .

Vậy đường thẳng d không cắt elip ( E).

Câu 7: Đường thẳng d: x - 2y - 2 = 0 cắt elip ( E): Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 1 tại hai điểm có hoành độ x1; x2. Tính x1 + x2

A. 0    B. Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án    C. 2    D. Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Đáp án: D

Trả lời:

Xét hệ phương trình:

Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Giải phương trình ( *) ⇔ (2y + 2)2 + 2y2 = 4

⇔ 4y2 + 8y + 4 + 2y2 = 4 ⇔ 6y2 + 8y = 0

Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Vậy đường thẳng (d) cắt elip ( E) tại hai điểm A( 2; 0) và B(Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; - Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ).

⇒ x1 + x2 = 2 + Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Câu 8: Cho elip( E): 4x2 + 25y2 = 100. Tìm các giá trị của b để đường thẳng
(d): y = 2x + b có điểm chung với elip?

A. -2√26 ≤ b ≤ 2√26    B. -√6 ≤ b ≤ √6

C. - Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ≤ b ≤ Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án    D. Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ≤ b ≤ Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Đáp án: A

Trả lời:

Đường thẳng (d): y = 2x + b có điểm chung với elip khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm :

Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

Thay ( 2) vào ( 1) ta được :

4x2 + 25( 2x + b)2 = 100 ⇔ 4x2 + 100x2 + 100bx + 25b2 – 100 = 0

⇔ 104x2 + 100bx + 25b2 - 100 = 0 ( *)

Phương trình ( *) có nghiệm ⇔ ∆' ≥ 0

⇔ (50b)2 – 104( 25b2 - 100) ≥ 0

⇔ - 100b2 + 10400 ≥ 0

⇔ - 2√26 ≤ b ≤ 2√26

Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 10 tại khoahoc.vietjack.com

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


phuong-phap-toa-do-trong-mat-phang.jsp