Phương sai, độ lệch chuẩn và cách giải (hay, chi tiết)

---

---

Với loạt Phương sai, độ lệch chuẩn và cách giải sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 10.

Phương sai, độ lệch chuẩn và cách giải

A. Lí thuyết. 

1. Phương sai: 

Phương sai của bảng thống kê số liệu x kí hiệu là s_x².

Công thức tính phương sai:

+ Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất: n_i, f_i, x_i lần lượt là tần số, tần suất và giá trị của số liệu, n là số các số liệu thống kê,  là số trung bình cộng của các số liệu thống kê đã cho.

s_x² = [n₁(x₁- )² + n₂(x₂- )² + ...  + n_k(x_k- )²]

= f₁(x₁- )² + f₂(x₂- )² + ...  + f_k(x_k- )²

= (n₁x₁² + n₂x₂² + ... + n_kx_k²) = f₁x₁² + f₂x₂² + ... + f_kx_k²

+ Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp: Trong đó n_i, f_i, c_i lần lượt là tần số, tần suất, giá trị đại diện của lớp thứ i, n là số các số liệu thống kê,   là số trung bình cộng của các số liệu thống kê đã cho.

 s_x² = [n₁(c₁- )² + n₂(c₂- )² + ...  + n_k(c_k- )²]

= f₁(c₁- )² + f₂(c₂- )² + ...  + f_k(c_k- )²

= (n₁c₁² + n₂c₂² + ... + n_kc_k²) = f₁c₁² + f₂c₂² + ... + f_kc_k²

- Ý nghĩa của phương sai: 

+ Phương sai được sử dụng để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so với số trung bình). 

+ Khi hai dãy số liệu có cùng đơn vị đo và có số trung bình bằng nhau hoặc xấp xỉ nhau, dãy có phương sai càng nhỏ thì mức độ phân tán (so với số trung bình) của các số liệu thống kê càng bé. 

2. Độ lệch chuẩn: 

Căn bậc hai của phương sai gọi là độ lệch chuẩn, kí hiệu s_x. Ta có: s_x =

- Ý nghĩa độ lệch chuẩn: Độ lệch chuẩn cũng dùng đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so với số trung bình). Khi cần chú ý đến đơn vị đo ta dùng độ lệch chuẩn để đánh giá vì độ lệch chuẩn có cùng đơn vị đó với số liệu được nghiên cứu. 

B. Phương pháp giải. 

- Phương pháp tính phương sai, độ lệch chuẩn:

+ Tính trung bình cộng

+ Tính độ lệch của mỗi số liệu thống kê

+ Áp dụng các công thức: 

s_x =  

Đối với bảng phân bố tần số, tần suất:

s_x² = [n₁(x₁- )² + n₂(x₂- )² + ...  + n_k(x_k- )²]

= f₁(x₁- )² + f₂(x₂- )² + ...  + f_k(x_k- )²

= (n₁x₁² + n₂x₂² + ... + n_kx_k²) = f₁x₁² + f₂x₂² + ... + f_kx_k²

Đối với bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp:

s_x² = [n₁(c₁- )² + n₂(c₂- )² + ...  + n_k(c_k- )²]

= f₁(c₁- )² + f₂(c₂- )² + ...  + f_k(c_k- )²

= (n₁c₁² + n₂c₂² + ... + n_kc_k²) = f₁c₁² + f₂c₂² + ... + f_kc_k² 

C. Ví dụ minh họa.        

Bài 1: Điểm trung bình các môn học của học sinh được cho trong bảng sau: 

Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng phân bố tần số, tần suất. 

Lời giải:

Điểm trung bình của học sinh là: 

= f₁x₁ + f₂x₂ + f₃x₃ + f₄x₄ + f₅x₅ + f₆x₆

= .7,5 + .7,8 + .8,0 + .8,4 + .9,0 + .9,5  8,3

Phương sai: 

s_x² = f₁(x₁- )² + f₂(x₂- )² + ...  + f_k(x_k- )²

= (7,5-8,3)² + (7,8-8,3)² + (8,0-8,3)² + (8,4-8,3)² + (9,0-8,3)² + (9,5-8,3)²

Độ lệch chuẩn: s_x = 0,59

Bài 2: Cho bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp sau: Nhiệt độ trung bình của tháng 2 tại thành phố Vinh từ 1961 đến hết 1990 (30 năm)

Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn. 

Lời giải:

Số trung bình cộng: 

= f₁c₁ + f₂c₂² + ...  + f_kc_k

= .13 + .15 + .17 + .19 + .21

 17,93

Phương sai: 

s_x² = f₁(c₁- )² + f₂(c₂- )² + ...  + f_k(c_k- )²

= (13-17,93)² + (15-17,93)² + (17-17,93)² + (19-17,93)² + (21-17,93)²

  3,93

Độ lệch chuẩn: s_x 1,98

Bài 3: Lớp 10C của một trường Trung học phổ thông đồng thời làm bài thi môn Ngữ văn theo cùng một đề thi. Kết quả thi được trình bày ở bảng phân bố tần số sau đây:

Hãy tính các số trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn. 

Lời giải:

Số trung bình:

=  = 7,25

Phương sai: 

s_x² = [3.(5-7,25)² + 7.(6-7,25)² + 12.(7-7,25)² + 14.(8-7,25)² + 3(9-7,25)² + 1.(10-7,25)²]

= 1,2875

Độ lệch chuẩn: s_x 1,135

D. Bài tập tự luyện. 

Bài 1: Lớp 10D của một trường Trung học phổ thông đồng thời làm bài thi môn Ngữ văn theo cùng một đề thi. Kết quả thi được trình bày ở bảng phân bố tần số sau đây:

Hãy tính phương sai, độ lệch chuẩn. 

Đáp án: s_x² =  0,7875, s_x   0,8874

Bài 2: Cho bảng tần số ghép lớp : Khối lượng của cá mè trong một bể (đơn vị: kg). Hãy tính phương sai, độ lệch chuẩn. 

Đáp án: s_x² =  0,042, s_x   0,2

Bài 3: Cho bảng tần số ghép lớp : Khối lượng của cá rô phi trong một bể (đơn vị: kg). Hãy tính phương sai, độ lệch chuẩn. 

Đáp án: s_x² =  0,064, s_x  0,253

Bài 4: Cho bảng tần số ghép lớp : Tuổi  thọ của bóng đèn (đơn vị: giờ). Hãy tính phương sai, độ lệch chuẩn. 

Đáp án: s_x² =  120, s_x  0,95

Bài 5: Cho bảng tần số ghép lớp : Điểm kiểm tra Toán của học sinh. Hãy tính phương sai, độ lệch chuẩn. 

Đáp án: s_x² = 2,04, s_x  1,43

Bài 6: Khi điều tra về số cây trồng được của mỗi lớp trong dịp phát động phong trào Tết trồng cây, người ta điều tra và lập được bảng dưới đây: 

Hãy tính phương sai, độ lệch chuẩn. 

Đáp án: s_x² = 48,45, s_x  6,96

Bài 7: Chọn 30 hộp chè mộ cách tùy ý trong kho của một cửa hàng và đem cân, kết quả được ghi lại trong bảng 7 (sau khi đã trừ khối lượng của vỏ):

Hãy tính phương sai, độ lệch chuẩn. 

Đáp án: s_x² = 1,067, s_x  1,033

Bài 8: Hàng ngày, bạn An thử ghi lại thời gian cần thiết để đi từ nhà đến trường và thực hiện trong 10 ngày, kết quả thu được ghi trong bảng sau (đơn vị: phút). Hãy tính phương sai, độ lệch chuẩn. 

Đáp án: s_x² = 1,29, s_x 1,136 

Bài tập bổ sung

Bài 1. Cho bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp sau: Nhiệt độ trung bình của tháng 2 tại thành phố Vinh từ 1961 đến hết 1990 (30 năm).

Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn.

Bài 2. Lớp 10C của một trường Trung học phổ thông đồng thời làm bài thi môn Ngữ văn theo cùng một đề thi. Kết quả thi được trình bày ở bảng phân bố tần số sau đây:

Hãy tính các số trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn.

Bài 3. Điểm trung bình các môn học của học sinh được cho trong bảng sau:

Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng phân bố tần số, tần suất.

Bài 4. Để biết cây đậu phát triển như thế nào sau khi gieo hạt, bạn Châu gieo 5 hạt  đậu vào 5 chậu riêng biệt và cung cấp cho chúng lượng nước, ánh sáng như nhau. Sau hai tuần, 5 hạt đậu đã nảy mầm và phát triển thành 5 cây con. Bạn Châu đo chiều cao từ rễ đến ngọn của mỗi cây (đơn vị: mi-li-mét) và ghi kết quả là mẫu số liệu sau:

112    102    106   94     101

Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.

Bài 5. Mẫu số liệu về số lượng áo bán ra lần lượt từ tháng 1 đến tháng 12 của một doanh nghiệp là: 

430    560    450    550   760   430   525    410    635   450    800   900

Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó.

Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 10 hay, chi tiết khác:

• Góc và cung lượng giác và cách giải
• Giá trị lượng giác của một cung và cách giải
• Công thức lượng giác và cách giải bài tập
• Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ và cách giải
• Tích vô hướng của hai vectơ và cách giải bài tập

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---

---

---