Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng cực hay

Bài viết Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng cực hay

A. Phương pháp giải

* Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng cực hay

Muốn chứng minh đương thẳng d ⊥ (α) ta có thể dùng môt trong hai cách sau.

Cách 1. Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a; b cắt nhau trong (α) .

Cách 2. Chứng minh d vuông góc với đường thẳng a mà a vuông góc với (α) .

Cách 3. Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P).

* Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

- Để chứng minh d ⊥ a, ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

   + Chứng minh d vuông góc với (P) và (P) chứa a.

   + Sử dụng định lí ba đường vuông góc.

   + Sử dụng các cách chứng minh đã biết ở phần trước.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABC có SA ⊥ (ABC) và tam giác ABC vuông ở B , AH là đường cao của tam giác SAB. Khẳng định nào sau đây sai?

A. SA ⊥ BC

B. AH ⊥ BC

C. AH ⊥ AC

D. AH ⊥ SC

Hướng dẫn giải

Chọn C

Vậy câu C sai.

Ví dụ 2: Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông tại B và SA ⊥ (ABC). Khẳng định nào sau đây là đúng nhất.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có AB = AC và DB = DC. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. AB ⊥ (ABC)

B. AB ⊥ BD

C. AB ⊥ (ABD)

D. BC ⊥ AD

Hướng dẫn giải

Chọn D

Gọi E là trung điểm của BC.

Tam giác DCB cân tại D có DE là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao: DE ⊥ BC.

Tam giác ABC cân tại A có AE là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao : AE ⊥ BC

Khi đó ta có

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và AB ⊥ BC Số các mặt của tứ diện S.ABC là tam giác vuông là:

A. 1                   B. 2                   C. 3                   D. 4

Hướng dẫn giải

Có AB ⊥ BC ⇒ ΔABC là tam giác vuông tại B

Ta có SA ⊥ (ABC) ⇒ là các tam giác vuông tại A

Mặt khác là tam giác vuông tại B

Vậy bốn mặt của tứ diện đều là tam giác vuông. Nên đáp án D đúng

Chọn D

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết SA = SC và SB = SD. Khẳng định nào sau đây sai?

A. SO ⊥ (ABCD)

B. CD ⊥ (SBD)

C. AB ⊥ (SAC)

D. CD ⊥ AC

Hướng dẫn giải

Chọn B

Tam giác SAC cân tại S có SO là trung tuyến nên SO cũng là đường cao ⇒ SO ⊥ AC .

Tam giác SBD cân tại S có SO là trung tuyến nên SO cũng là đường cao ⇒ SO ⊥ BD .

Từ đó suy ra SO ⊥ (ABCD) .

Do ABCD là hình thoi nên CD không vuông góc với BD. Do đó CD không vuông góc với (SBD)

Ví dụ 6: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD). Gọi AE, AF lần lượt là các đường cao của tam giác SAB và tam giác SAD. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ?

Hướng dẫn giải

Ta chứng minh phương án D đúng.

Chọn D

Ví dụ 7: Cho hình chóp S. ABC có cạnh SA ⊥ (ABC) và đáy ABC là tam giác cân ở C . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và SB . Khẳng định nào sau đây sai?

A. CH ⊥ SA                 B. CH ⊥ SB                 C. CH ⊥ AK                 D. AK ⊥ SB

Hướng dẫn giải

Chọn D

Do tam giác ABC cân tại C; có CH là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao nên CH ⊥ AB.

Lại có: CH ⊥ SA (vì SA vuông góc với mp(ABC)) .

Suy ra CH ⊥ (SAB). Vậy các câu A, B, C đúng nên D sai.

Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD. Vẽ AH ⊥ (BCD) . Biết H là trực tâm tam giac BCD. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. CD ⊥ BD                 B. AC = BD                 C. AB = CD.                 D. AB ⊥ CD

Hướng dẫn giải

Chọn đáp án D

Ví dụ 9: Cho tứ diện SABC thoả mãn SA= SB= SC. Gọi H là hình chiếu của S lên mp (ABC) . Đối với tam giác ABC ta có điểm H là:

A. Trực tâm.

B. Tâm đường tròn nội tiếp.

C. Trọng tâm.

D. Tâm đường tròn ngoại tiếp.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 10: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O trên mp(ABC) . Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau:

A. H là trực tâm tam giác ABC

B. H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

C.

D. CH là đường cao của tam giác ABC .

Hướng dẫn giải

+ Ta có OA ⊥ (OBC) ⇒ OA ⊥ BC và OH ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (OAH) ⇒ BC ⊥ AH. Tương tự, ta có AB ⊥ CH

Hai đường thẳng AH và CH cắt nhau tại H nên H là trực tâm tam giác ABC

suy ra đáp án A, D đúng

+ Gọi I là giao điểm của AH và BC .

Ta có ; OA ⊥ (OBC) nên OA ⊥ OI

Xét tam giác vuông OAI có đường cao OH Ta có

suy ra đáp án C đúng.

Chọn đáp án B

Ví dụ 11: Cho hình chóp S.ABC có ∠BSC = 120°, ∠CSA = 60°, ∠ASB = 90°, SA = SB = SC. Gọi I là hình chiếu vuông góc của S lên mp ( ABC). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

A. I là trung điểm AB

B. I là trọng tâm tam giác ABC

C. I là trung điểm AC

D. I là trung điểm BC

Hướng dẫn giải

Gọi SA = SB = SC = a

+ Ta có : tam giác SAC đều nên AC = SA = a

Tam giác SAB vuông cân tại S ⇒ AB = a√2

+ Gọi I là trung điểm của BC thì IA = IB = IC nên I là tâm

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .

Ta có : SA = SB = SC và IA = IB = IC

⇒ SI là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

⇒ SI ⊥ (ABC)

Vậy nên I là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC)

Chọn D

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD và AC ⊥ BD. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mp(BCD) . Các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. H là trực tâm tam giác BCD

B. CD ⊥ (ABH)

C. AD ⊥ BC

D. Các khẳng định trên đều sai.

Lời giải:

Ta có

Tương tự BD ⊥ CH

Suy ra H là trực tâm tam giác BCD. Suy ra loại đáp án A, B

Ta có suy ra loại C.

Chọn đáp án D

Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC). Gọi H, K lần lượt là trực tâm các tam giác SBC và ABC. Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau?

A. BC ⊥ (SAH)                 B. HK ⊥ (SBC)

C. BC ⊥ (SAB)                 D. SH, AK và BC đồng quy

Lời giải:

Ta có BC ⊥ SA, BC ⊥ SH ⇒ BC ⊥ (SAH)

Ta có CK ⊥ AB, CK ⊥ SA ⇒ CK ⊥ (SAB) hay CK ⊥ SB

Mặt khác có CH ⊥ SB nên suy ra SB ⊥ (CHK) hay SB ⊥ HK, tương tự SC ⊥ HK nên HK ⊥ (SBC)

Gọi M là giao điểm của SH và BC.

Do BC ⊥ (SAH) ⇒ BC ⊥ AM hay đường thẳng AM trùng với đường thẳng AK

⇒ SH, AK và BC đồng quy

Do dó BC ⊥ (SAB). Sai

Chọn đáp án C

Câu 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết SA = SC và SB = SD. Khẳng định nào sau đây là sai?.

A. SO ⊥ (ABCD)

B. SO ⊥ AC

C. SO ⊥ BD

D. Cả A, B, C đều sai

Lời giải:

Ta có O là trung điểm của AC và SA = SC ⇒ SO ⊥ AC

Tương tự SO ⊥ BD

Vậy

Chọn D

Câu 4: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA ⊥ (ABCD). Các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. SA ⊥ BD                 B. SC ⊥ BD                 C. SO ⊥ BD                 D. AD ⊥ SC

Lời giải:

Ta có SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BD

Do tứ giác ABCD là hình thoi nên BD ⊥ AC mà SA ⊥ BD nên BD ⊥ (SAC) hay BD ⊥ SC, BD ⊥ SO

Chọn đáp án D

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA ⊥ (ABCD). Gọi I; J; K lần lượt là trung điểm của AB, BC và SB. Khẳng định nào sau đây sai?

A. (IJK) // (SAC)

B. BD ⊥ (IJK)

C. Góc giữa SC và BD có số đo 60°

D. BD ⊥ (SAC)

Lời giải:

Chọn C.

+ Tam giác ABC có IJ Là đường trung bình của tam giác nên IJ // AC

Tam giác SAB có IK là đường trung bình của tam giác nên IK // SA

⇒ (IJK) // (SAC). Vậy A đúng

+ Do BD ⊥ AC và BD ⊥ SA nên BD ⊥ (SAC)

nên D đúng.

+ Do BD ⊥ (SAC) và (IJK) // (SAC) nên BD ⊥ (IJK) nên B đúng.

Vậy C sai

Câu 6: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông, Gọi H là trung điểm của AB và SH ⊥ (ABCD). Gọi K là trung điểm của cạnh AD. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. AC ⊥ SH

B. AC ⊥ KH

C. AC ⊥ (SHK)

D. Cả A, B, C đều sai

Lời giải:

+ Ta cos SH ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ AC

+ Tam giác ABD có H và K lần lượt là trung điểm của AB và AD nên HK là đường trung bình của tam giác ⇒ HK // BD

Lại có

⇒ AC ⊥ (SHK)

Chọn D

Câu 7: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA ; OB ; OC đôi một vuông góc. Gọi H là hình chiếu của O lên (ABC). Khẳng định nào sau đây sai?

Lời giải:

Xét tam giác AOI vuông tại O có OH đường cao:

Từ (1) và (2) ⇒ H là trực tâm tam giác ABC ⇒ Đáp án C đúng.

Chọn đáp án D.

Câu 8: Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc nhau. Hãy chỉ ra điểm O cách đều bốn điểm A, B ; C ; D.

A. O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

B. O là trọng tâm tam giác ACD

C. O là trung điểm cạnh BD

D. O là trung điểm cạnh AD

Lời giải:

Chọn D

Câu 9: Cho tứ diện ABCD. Vẽ AH ⊥ (BCD). Biết H là trực tâm tam giác BCD . Khẳng định nào sau đây không sai?

A. AB = CD                   B. AC = BD                   C. AB ⊥ CD                   D. CD ⊥ BB

Lời giải:

Chọn C

Do AH ⊥ (BCD) ⇒ AH ⊥ CD .

Mặt khác, H là trực tâm tam giác BCD nên BH ⊥ CD

Suy ra CD ⊥ (ABH) nên CD ⊥ AB.

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC = a√2. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD. Khẳng định nào sau đây là sai?.

A. SH ⊥ (ABCD)

B. SH ⊥ HC

C. A, B đều đúng

D. A, B là sai

Lời giải:

Vì H là trung điểm của AB và tam giác SAB đều nên SH ⊥ AB

Câu 11: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Đường thẳng AC’ vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?

A. ( A’BD)                B. ( A’DC’)                C. ( A’CD’)                D. ( A’B’CD)

Lời giải:

Ta có

Vậy chọn đáp án A

Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, O là giao điểm của 2 đường chéo và SA = SC. Các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. SA ⊥ (ABCD)                 B. BD ⊥ (SAC)

C. AC ⊥ (SBD)                   D. AB ⊥ (SAC)

Lời giải:

Ta có: SA = SC nên tam giác SAC là tam giác cân

Mặt khác: O là trung điểm của AC (tính chất hình thoi)

Khi đó ta có: AC ⊥ SO

Vậy chọn đáp án C

Câu 13: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA ⊥ (ABCD). Mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD theo thứ tự tại H, M, K . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?

A. AK ⊥ HK                 B. HK ⊥ AM                 C. BD // KH                  D. AH ⊥ SB .

Lời giải:

Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có ∠BSC = 120°, ∠CSA = 60°, ∠ASB = 90°, SA = SB = SC. Gọi I là hình chiếu vuông góc của S lên mp(ABC). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

A. I là trung điểm AB

B. I là trọng tâm tam giác ABC

C. I là trung điểm AC

D. I là trung điểm BC

Lời giải:

Gọi SA = SB = SC = a

Ta có: tam giác SAC cân có 1 góc bằng 60° nên tam giác SAC đều ⇒ AC = SA = a

+ tam giác SAB vuông cân tại S

⇒ AB = a√2

⇒ AC² + AB² = BC² nên tam giác ABC vuông tại A

+ Gọi I là trung điểm của AC thì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi d là trục của tam giác ABC thì d đi qua I và d ⊥ (ABC)

Mặt khác : SA = SB = SC nên S ∈ d . Vậy SI ⊥ (ABC) nên I là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC)

Chọn C

Câu 15: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng ( ABC) . Xét các mệnh đề sau :

I. Vì OC ⊥ OA, OC ⊥ OB nên OC ⊥ (OAB)

II. Do AB ⊂ (ABC) nên AB ⊥ OC     (1)

III. Có OH ⊥ (ABC) và AB ⊂ (ABC) nên AB ⊥ OH   (2)

IV. Từ (1) và (2) AB ⊥ (OCH)

Trong các mệnh đề trên mệnh đề nào đúng ?

A. I, II, III, IV

B. I, II, III

C. II, III, IV

D. I, IV

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án A

Câu 16: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Có đáy là hình thoi ∠BAD = 60° và AA’ = A’B = A’D. Gọi O = AC ∩ BD. Hình chiếu của A’ trên (ABCD) là :

A. trung điểm của AO

B. trọng tâm tam giác ABD

C. giao của hai đoạn AC và BD

D. trọng tâm tam giác BCD.

Lời giải:

Vì A’A = A’B = A’D nên hình chiếu của A’ trên ( ABCD) trùng với H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD (1).

Mà tứ giá ABCD là hình thoi và ∠BAD = 60° nên tam giác BAD là tam giác đều (2)

Từ (1) và ( 2) suy ra H là trọng tâm tam giác ABD

Chọn đáp án B

---