Tổng hợp các công thức tính đạo hàm chi tiết - Toán lớp 11

Tổng hợp các công thức tính đạo hàm chi tiết

I. Định nghĩa đạo hàm

1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

* Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 thuộc (a; b).Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) : Tổng hợp các công thức tính đạo hàm chi tiết | Toán lớp 11

Thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y= f(x) tại điểm x0 và được kí hiệu là f' (x0 ). Vậy Tổng hợp các công thức tính đạo hàm chi tiết | Toán lớp 11

* Chú ý:

Đại lượng ∆x= x- x0 được gọi là số gia của đối số tại x0.

Đại lượng ∆y= f(x) – f( x0)= f( x0+ ∆x)- f( x0) được gọi là số gia tương ứng của hàm số.

Tổng hợp các công thức tính đạo hàm chi tiết | Toán lớp 11

• Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Quy tắc tính hàm định nghĩa:

+ Bước 1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0; tính :

∆y= f( x0+ ∆x)- f( x0) .

+ Bước 2: Lập tỉ số ∆y/∆x.

+ Bước 3:

Tổng hợp các công thức tính đạo hàm chi tiết | Toán lớp 11

3. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số.

* Định lí: Nếu hàm số y= f( x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

* Chú ý:

+ Nếu hàm số y= f(x) gián đoạn tại x0 thì hàm số không có đạo hàm tại điểm đó.

+ Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.

4. Đạo hàm một bên. Đạo hàm trên khoảng; trên đoạn.

a. Đạo hàm bên trái, bên phải

+ Nếu tồn tại giới hạn( hữu hạn) bên phảiTổng hợp các công thức tính đạo hàm chi tiết | Toán lớp 11

ta gọi giới hạn đó là đạo hàm bên phải của hàm số y= f(x) tại x=x0 và kí hiệu f'(x0+)

+ Tương tự; đạo hàm bên trái của hàm số làTổng hợp các công thức tính đạo hàm chi tiết | Toán lớp 11

Hệ quả : Hàm số y= f(x) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi tồn tại f'(x0+) và f;(x0-) đồng thời f' (x0+ )=f'(x0-) .

b. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn

Hàm số y=f(x) có đạo hàm trên (a;b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b).

Hàm số y= f(x) có đạo hàm trên[a;b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng (a; b) đồng thời tồn tại đạo hàm trái tại x= b và đạo hàm phải tại x= a.

5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Định lí: Đạo hàm của hàm số y= f(x) taị điểm x=x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của đồ thị hàm số y= f( x) tại điểm M0(x0; f(x0)).

Định lí: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) tại điểm M0(x0; f(x0)) là:

y – y0= f’(x0) ( x- x0)

trong đó y0= f( x0) .

6. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm.

a. Vận tốc tức thời.

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s= s(t); với s= s(t) là một hàm số có đạo hàm. Vận tốc tức thời tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số s= s(t) tại t0:

v(t0) = s’(t0)

b. Cường độ tức thời.

Nếu điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian: Q= Q(t) ( là hàm số có đạo hàm) thì cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số Q= Q(t) tại t0:

I(t0)= Q’(t0) .

II. Các quy tắc tính đạo hàm

1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp

a. Định lí 1: Hàm số y= xn (n ∈ N; n > 1) có đạo hàm tại mọi x∈R và :

(xn )'=nx(n-1)

Nhận xét :

Đạo hàm của hàm hằng bằng 0 : (c)'=0 .

Đạo hàm của hàm số y=x bằng 1 : (x)'=1.

b. Định lí 2. Hàm số y= √x có đạo hàm tại mọi x dương và :

(√x)'= 1/(2√x)

2. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của hàm số

a. Định lí : Giả sử u= u(x) ; v= v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có :

(u+v)'=u'+v'

(u-v)'=u'-v'

(u.v)'=u'.v+u.v'

(u/v)'= (u'.v-u.v')/v2 ( v=v(x)≠0 )

(u1±u2±⋯±un) '= u1'±u2'±⋯±un'

b.Hệ quả.

Nếu k là một hằng số thì : ( ku)'=k.u'

(1/v)'= (- v')/v2 ( v=v(x)≠0)

3. Đạo hàm của hàm số hợp

Định lí : Nếu hàm số u= g(x) có đạo hàm tại x là u'xvà hàm số y=f(u) có đạo hàm tại u là y'u thì hàm hợp y=f(g(x)) có đạo hàm tại x là :

y'x= y'u.u'x

Bảng tóm tắt

( u+v-w)'=u'+v'-w'

(ku)^'=k.u' ( k là hằng số)

(uv)'=u^'.v+uv'

( u/v)'= (u' v-uv')/v2

(1/v)'=(-v')/v2

y'x= y'u.u'x

III. Đạo hàm của hàm số lượng giác

1. Giới hạn lượng giác

Tổng hợp các công thức tính đạo hàm chi tiết | Toán lớp 11

2. Đạo hàm của hàm số y= sinx

* Định lí : Hàm số y= sinx có đạo hàm tại mọi x∈R và (sinx)'=cosx

* Chú ý : Nếu y= sinx và u= u(x) thì : ( sinu)'=u'.cosu

3. Đạo hàm của hàm số y= cosx

* Định lí : Hàm số y= cosx có đạo hàm tại mọi x∈R và ( cosx)'= -sinx

* Chú ý : Nếu y= cosu và u= u(x) thì : (cosu)'= -u'.sinu

4. Đaọ hàm của hàm số y= tan x

* Định lí : Hàm số y= tanx có đạo hàm tại mọi x≠π/2+kπ;k∈Z và (tanx)'= 1/(cos2 x)

* Chú ý : Nếu y= tan u và u= u( x) thì ta có : ( tanu)'= u'/(cos2 u)

5. Đạo hàm của hàm số y= cotx

*Định lí : hàm số y= cotx có đạo hàm với mọi x≠kπ;k∈Z và (cot⁡x )'= (- 1)/(sin2 x)

*Chú ý : Nếu y= cotu và u= u(x) ta có : (cotu)'= (- u')/(sin2 u)

Bảng đạo hàm

Tổng hợp các công thức tính đạo hàm chi tiết | Toán lớp 11

Tổng hợp các công thức tính đạo hàm chi tiết | Toán lớp 11

IV. Vi phân

1. Định nghĩa

Tích f' (x).∆x được gọi là vi phân của hàm số y= f(x) tại điểm x (ứng với số gia ) được kí hiệu là : d f(x) hoặc dy tức là :

dy= df(x)= f' (x).∆x

*Chú ý

Áp dụng định nghĩa trên vào hàm số y=x ta có :

dx=d( x)=(x).∆x=1.∆x= ∆x

Do đó với hàm số y= f(x) ta có : dy=df(x)=f' (x).dx

2. Ứng dụng của vi phân vào phép tính gần đúng.

Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng (a ;b) và có đạo hàm tại x thuộc (a;b). Giả sử ∆ x là số gia của x. Ta có :

f(x0+ ∆x)≈f(x0 )+f' (x0 ).∆x

V. Đạo hàm cấp cao của hàm số

1. Định nghĩa

Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm tại trên khoảng (a ;b). Nếu hàm số y’= f’(x) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số y= f(x) và được kí hiệu là y'' hay f'' (x), tức là: .

Đạo hàm cấp n: Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm cấp n-1 (với n thuộc Y, n lón hơn hoặc bằng 2 ) là f(n-1)(x). Nếu f(n-1) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số

y= f(x) và được kí hiệu là f(n), tức là: f((n) ) (x)=(f((n-1) ) (x))'

2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai.

Xét một vật chuyển động xác định bởi phương trình s= s( t) ; trong đó s= s(t) là một hàm số có đạo hàm đến cấp hai.

Đạo hàm cấp hai s''(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s= s(t) tại thời điểm t.

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 11 tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2003 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

Toán 11 - Thầy Nguyễn Quý Huy

4.5 (243)

799,000đs

599,000 VNĐ

Ngữ văn lớp 11 - cô Hương Xuân

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Tiếng Anh lớp 11 - Thầy Vũ Việt Tiến

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Vật Lý lớp 11 - Thầy Võ Thanh Được

4.5 (243)

799,000đs

599,000 VNĐ

Hóa Học lớp 11 - cô Lê Thúy Hằng

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.