Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa - Toán lớp 11

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

A. Phương pháp giải

+ Định nghĩa đạo hàm của hàm số: Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0∈(a;b). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn:

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa | Toán lớp 11

Thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y= f( x) tại điểm x0 và kí hiệu:

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa | Toán lớp 11

+ Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa:

Bước 1: giả sử ∆ x là số gia của đối số x0. Tính ∆ y= f(x0 + ∆x) – f(x0) .

Bước 2: Lập tỉ số ∆y/∆x

Bước 3.

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa | Toán lớp 11

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giới hạn (nếu tồn tại) nào sau đây dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số y= f(x) tại x0 < 1 ?

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa | Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm thì biểu thức ở đáp án C đúng.

Chọn C.

Ví dụ 2. Cho hàm số y= f(x) liên tục tại x0. Đạo hàm của hàm số y= f(x) tại x0

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa | Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa | Toán lớp 11

Chọn C.

Ví dụ 3. Số gia của hàm số y= f(x )= x3 + 1 ứng với x0= 1 và ∆ x= 1 bằng bao nhiêu?

A. – 10        B . 7        C. - 1.        D. 0

Hướng dẫn giải

Ta có ∆y= f( x0+ ∆x)-f(x0 )=( x0+ ∆x)3+1- x03-1

= 3.x02.∆x+3x0 ( ∆x)2+( ∆x)3

Với x0 =1 và ∆ x=1 thì ∆ y=7.

Chọn B

Ví dụ 4 . Tỉ số ∆y/∆x của hàm số f(x) = x2+ x theo x và là

A. 2x02 ∆x+1        B. 2x0- ∆x

C. 2x0+ ∆x+1        D. 2x0.∆x+(∆x)2+1

Hướng dẫn giải

Giả sử ∆x là số gia của đối số tại xo . Ta có:

∆ y=f( x0+ ∆x)-f( x0 )=( x0+ ∆x)2+ x0+ ∆x- x02- x0

= x02+ 2x0.∆x+( ∆x)2+ x0+ ∆x- x02- x0

= 2x0.∆x+( ∆x)2+ ∆x

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa | Toán lớp 11

Ví dụ 5. Số gia của hàm số y= f( x) = 2x+ 8 ứng với số gia của đối số x tại x0= 3 là

A. 3        B. 2∆x        C. -2∆x + 3        D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Với số gia của đối số x tại x0 = 3. Ta có

∆ y=f( x0+ ∆x)-f( x0 )=2( x0+ ∆x)+8-2x0-8 = 2∆x

suy ra Số gia của hàm số tại x0 = 3 là 2∆x.

Chọn B

Ví dụ 6. Cho hàm số y= x3- 1. Tính ∆ y của hàm số theo x và ∆ x?

A. 3x2.∆ x+ 3x. (∆x)2+( ∆x)3

B. x2.∆ x+ x. (∆x)2+( ∆x)3

C. 3x2.∆ x+ 3x.(∆x)2+( ∆x)3 +2

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Giả sử ∆ x là số gia của đối số.

+ Ta có; ∆y= f( x+∆x) - f( x) = (x+∆x)3 – 1- x3+1

= x3+ 3x2.∆ x+ 3x. (∆x)2+( ∆x)3 – x3

= 3x2.∆ x+ 3x. (∆x)2+( ∆x)3

Chọn A.

Ví dụ 7. Cho hàm số y= x2+ 2x- 3. Tính tỉ số ∆y/∆x theo x và ∆ x

A. 2x+ ∆x-2        B. 2x+ ∆x+2(∆)2

C. 2x- ∆x+2        D. 2x+ ∆x+2

Hướng dẫn giải

+ Gọi ∆x là số gia của đối số x.

+ Ta có: ∆ y= f(x+ ∆x) – f(x)= [(x+∆x)2 +2(x+ ∆x)- 3] – [x2+ 2x -3]

= x2+ 2x. ∆x + (∆x)2+ 2x +2.∆x – 3 – x2- 2x + 3

= 2x. ∆x + ( ∆x)2+ 2.∆x

+ ∆y/∆x=2x+ ∆x+2

Chọn D.

Ví dụ 8. Cho hàm số y= f( x)= x2- x, đạo hàm của hàm số ứng với số gia của đối số x tại x0 là

A.x0+1        B. x0 – 2        C. x0 - 2∆x        D. 2x0 - 1

Hướng dẫn giải

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa | Toán lớp 11

Ví dụ 9. Cho hàm số Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa | Toán lớp 11

(I). f' (0)=1

(II) Hàm số không có đạo hàm tại x0= 0.

Mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ (I).        B. Chỉ (II).        C. Cả hai đều sai.        D. Cả hai đều đúng.

Hướng dẫn giải

Gọi ∆x là số gia của đối số tại 0 sao cho ∆ x > 0 .

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa | Toán lớp 11

Nên hàm số không có đạo hàm tại 0.

Chọn B.

Ví dụ 10. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa | Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa | Toán lớp 11

Ví dụ 11. Cho hàm số y= 8x+ 10. Tính đạo hàm của hàm số tại x0= -1.

A. 6        B. 10        C. 8        D. - 15

Hướng dẫn giải

+ Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0= -1.

∆ y= f( -1+ ∆x) – f( -1) = 8( - 1+∆x)+ 10 –[ 8.(- 1)+ 10]

= - 8+ 8∆x+ 10- 2 = 8.∆x

suy ra ∆y/∆x=8 nên

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa | Toán lớp 11

Vậy đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm x0= -1 là 8.

Chọn C.

Ví dụ 12. Cho hàm số: Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa | Toán lớp 11

A. 0        B. 2        C. 1       D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa | Toán lớp 11

Ví dụ 13. Cho hàm số Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa | Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa | Toán lớp 11

Ví dụ 14. Cho hàm số Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa | Toán lớp 11

Với giá trị nào của a; b thì hàm số có đạo hàm tại x= 1?

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa | Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa | Toán lớp 11

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Số gia của hàm số y= - 3x2+ 8 ứng với x và là

A. -6x. ∆x -3(∆x)2        B. -6x. ∆x+ 3(∆x)2- 16

C. 6x. ∆x -3(∆x)2 + 16        D. -6x - 3. ∆x

+ Gọi ∆x là số gia của đối số x.

+ Ta có: ∆ y= f(x+ ∆x) – f(x)= [ - 3(x+∆x)2 +8] – [- 3x2+ 8]

= -3x2 - 6x. ∆x -3(∆x)2+ 8 + 3x2- 8

= -6x. ∆x -3(∆x)2

Chọn A.

Câu 2: Xét ba mệnh đề sau:

(1) Nếu hàm số y= f(x) có đạo hàm tại điểm x= x0 thì hàm số liên tục tại điểm đó.

(2) Nếu hàm số y= f( x) liên tục tại điểm x= x0 thì hàm số y= f(x) có đạo hàm tại điểm đó.

(3) Nếu y=f(x) gián đoạn tại x= x0 thì chắc chắn hàm số y=f(x) không có đạo hàm tại điểm đó.

Trong ba câu trên:

A. Có hai câu đúng và một câu sai.        B. Có một câu đúng và hai câu sai.

C. Cả ba đều đúng.        D. Cả ba đều sai.

(1) Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm x= x0 thì hàm số y= f(x) liên tục tại điểm đó. Đây là mệnh đề đúng.

(2) Nếu hàm số y= f(x) liên tục tại điểm x= x0 thì hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm đó là mệnh đề sai.

Ví dụ : Lấy hàm ta có D= R nên hàm số y= f(x) liên tục trên R .

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa | Toán lớp 11

Nên hàm số không có đạo hàm tại x= 0.

(3) Nếu hàm số y= f(x) gián đoạn tại x=x0 thì chắc chắn hàm không có đạo hàm tại điểm đó là mệnh đề đúng.

Vì (1) là mệnh đề đúng nên (1) tương đương với mệnh đề sau: Nếu hàm số y=f( x) không liên tục tại x= x0 thì hàm số y= f(x) không có đạo hàm tại điểm đó.

Vậy (3) là mệnh đề đúng.

Chọn A.

Câu 3: Xét hai câu sau:

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa | Toán lớp 11

Trong hai câu trên:

A. Chỉ có (2) đúng.        B. Chỉ có (1) đúng.       C. Cả hai đều đúng.        D. Cả hai đều sai.

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa | Toán lớp 11

Câu 4: Cho hàm số y= x2+2|x|-5. Xét hai câu sau:

(1). Hàm số trên có đạo hàm tại x= 0.

(2). Hàm số trên liên tục tại x= 0.

Trong hai câu trên:

A. Chỉ có (1) đúng.       B. Chỉ có (2) đúng.       C. Cả hai đều đúng.       D. Cả hai đều sai.

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa | Toán lớp 11

Câu 5: Tìm a; b để hàm số

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa | Toán lớp 11

có đạo hàm tại x= 1.

A. a= - 3; b= 7       B. a= 2; b=2       C. a= 1;b= 3       D. a= 4; b= 0

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa | Toán lớp 11

Câu 6: Cho hàm số Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa | Toán lớp 11 tính đạo hàm của hàm số tại x0= 0

A. 1        B. 2       C. 3       D. 5

Ta có: f(0) = 0. Xét các đạo hàm một bên của hàm số:

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa | Toán lớp 11

Câu 7: Tính đạo hàm của hàm số Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa | Toán lớp 11 tại điểm x0= 0.

A. 2       B. 0       C. 3       D. đáp án khác

Ta có: f(0) = 1. Ta xét các đạo hàm một bên của hàm số:

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa | Toán lớp 11

Câu 8: Tính đạo hàm của hàm số y= f(x)= 2x3 +1 tại các điểm x= 2.

A. 12        B. 16        C. 24        D. 18

Ta có: f(2) = 2.23+ 1= 17

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa | Toán lớp 11

Câu 9: Tính đạo hàm của hàm số y= f(x)= √(x2+3) tại x= 1

A.1        B. 1/2        C. 2        D. 1/4

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa | Toán lớp 11

Câu 10: Tính đạo hàm của hàm số Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa | Toán lớp 11 khi x≠0 tại x = 0

A. 1/2        B.1        C. 2        D. 1/4

Ta có f(0) = 0

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa | Toán lớp 11

Câu 11: Cho hàm số y= f(x)= (2x2+ |x+1|)/(x-1). Tìm mệnh đề đúng?

A. Hàm số đã cho có đạo hàm tại x= -1.

B. Hàm số đã cho liên tục nhưng không có đạo hàm tại x= -1.

C. Hàm số đã cho không liên tục tại x= -1

D. Hàm số đã cho có đạo hàm tại x= -1 nhưng không liên tục tại điểm đó.

Vì hàm số y= f(x) xác định tại x= -1 nên nó liên tục tại đó.

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa | Toán lớp 11

Câu 12: Tìm a để hàm số Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa | Toán lớp 11 có đạo hàm tại x= 1

A. – 1        B. 1        B. – 2        D. 2

Để hàm số có đạo hàm tại x= 1 thì trước hết hàm số phải liên tục tại x= 1

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa | Toán lớp 11

Câu 13: Tính đạo hàm của hàm số Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa | Toán lớp 11 tại x0= 1.

A. 0        B. 4        C. 5        D. Đáp án khác

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa | Toán lớp 11

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 11 tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2003 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

Toán 11 - Thầy Nguyễn Quý Huy

4.5 (243)

799,000đs

599,000 VNĐ

Ngữ văn lớp 11 - cô Hương Xuân

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Tiếng Anh lớp 11 - Thầy Vũ Việt Tiến

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Vật Lý lớp 11 - Thầy Võ Thanh Được

4.5 (243)

799,000đs

599,000 VNĐ

Hóa Học lớp 11 - cô Lê Thúy Hằng

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.