Lý thuyết: Tổng hợp chương Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng



Lý thuyết: Tổng hợp chương Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

PHÉP BIẾN HÌNH

    + Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M’ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.

    + Nếu ký hiệu phép biến hình là F thì ta viết F(M) = M’ hay M’ = F(M) và gọi điểm M’ là ảnh của điểm M qua phép biến hình F.

    + Nếu H là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu H = F(H) là tập các điểm M’ = F(M), với mọi điểm M thuộc H. Khi đó ta nói F biến hình H thành hình H, hay hình H là ảnh của hình (H) qua phép biến hình F.

    + Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.

PHÉP TỊNH TIẾN

1. Định nghĩa

    Trong mặt phẳng cho vectơ v. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho MM' = v được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v

Phép tịnh tiến theo vectơ v thường được lí hiệu là Tv, v được gọi là vectơ tịnh tiến.

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Như vậy

Tv(M) = M’ ⇔ MM' = v

Phép tịnh tiến theo vectơ – không chính là phép đồng nhất.

2. Tính chất

Tính chất 1. Nếu Tv(M) = M’, Tv(N) = N’ thì M'N' = MN và từ đó suy ra M’N = MN.

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Tính chất 2. Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

3. Biểu thức toạ độ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v = (a; b). Với mỗi điểm M(x; y) ta có M’(x’, y’) là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo v. Khi đó

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Biểu thức trên được gọi là biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến Tv

PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

1. Định nghĩa

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Cho đường thẳng d. Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’ được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục d.

Đường thẳng d được gọi là trục của phép đối xứng hoặc đơn giản gọi là trục đối xứng.

Phép đối xứng trục d thường được kí hiệu là Đd

Nếu hình H’ là ảnh của hình H qua phép đối xứng trục d thì ta còn nói H đối xứng với H’ qua d, hay H và H’ đối xứng với nhau qua d.

Nhận xét

    Cho đường thẳng d. Với mỗi điểm M gọi M0 là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng d. Khi đó M’ = Đd(M) ⇔ M0M' = - M0M.

    M’ = Đd(M) ⇔ M = Đd(M’)

2. Biểu thức toạ độ

    Nếu d ≡ Ox. Gọi M’(x’; y’) = ĐOx[M(x,y)] thì

        Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

    Nếu d ≡ Oy. Gọi M’(x’; y’) = ĐOy[M(x,y)] thì

        Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

3. Tính chất

Tính chất 1

    Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Tính chất 2

    Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

    Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

4. Trục đối xứng của một hình

Định nghĩa

    Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua d biến hình H thành chính nó. Khi đó ta nói H là hình có trục đối xứng.

PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM

1. Định nghĩa

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

    Cho điểm I. Phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M khác I thành M’ sao cho I là trung điểm của MM’ được gọi là phép đối xứng tâm I.

    Điểm I được gọi là tâm đối xứng.

    Phép đối xứng tâm I thường được kí hiệu là ĐI.

    Nếu hình H là ảnh của hình H qua ĐI thì ta còn nói H đối xứng với H’ qua tâm I, hay H và H’ đối xứng với nhau qua I.

    Từ đinh nghĩa suy ra M = ĐI(M) ⇔ IM' = - IM

2. Biểu thức toạ độ

    Với O(0;0), ta có M(x’; y’) = ĐO[M(x;y)] thì

        Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

    Với I(a; b), ta có M(x’; y’) = ĐI(x’; y’) thì

        Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

3. Tính chất

Tính chất 1

    Nếu ĐI(M) = M’ và ĐI(N) = N thì M'N' = – MN, từ đó suy ra M’N’ = MN.

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Tính chất 2

    Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

4. Tâm đối xứng của một hình

Định nghĩa

    Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm I biến hình H thành chính nó.

    Khi đó ta nói H là hình có tâm đối xứng.

PHÉP QUAY

1. Định nghĩa

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Cho điểm O và góc lượng giác α. Phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM’ = OM và góc lượng giác (OM; ON’) bằng α được gọi là phép quay tâm O góc α.

- Điểm O được gọi là tâm quay, α được gọi là góc quay của phép quay đó.

- Phép quay tâm O góc α thường được kí hiệu là Q(O, α)

2. Tính chất

Tính chất 1

    Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Tính chất 2

    Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BĂNG NHAU

1. Định nghĩa

    Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Nhận xét

    Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay đều là những phép dời hình.

    Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình là một phép dời hình.

2. Tính chất

Phép dời hình:

    Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm;

    Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đọan thẳng bằng nó;

    Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó;

    Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

3. Khái niệm hai hình bằng nhau

Định nghĩa

    Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

PHÉP VỊ TỰ

1. Định nghĩa

    Cho điểm O và số k ≠ 0. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho OM' = kOM được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k.

    Phép vị tự tâm O tỉ số k thường được kí hiệu là V(O;k).

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Nhận xét

    Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó.

    Khi k = 1, phép vị tự là đồng nhất.

    Khi k = –1, phép vị tự là phép đối xứng tâm.

    M’ = V(O; k)(M) ⇔ M = V(O; 1/k)(M’)

2. Tính chất

Tính chất 1

    Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N tùy ý theo thứ tự thành M’, N’ thì M'N' = kMN và M’N’ = |k|.MN.

Tính chất 2

Phép vị tự tỉ số k:

    Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy;

    Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng;

    Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó;

    Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính |k|R.

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

PHÉP ĐỒNG DẠNG

1. Định nghĩa

    Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) nếu với hai điểm M, N bất kì và ảnh M’, N’ tương ứng của chúng ta luôn có M’N’ = k.MN.

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Nhận xét

    Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1.

    Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số |k|.

2. Tính chất

Phép đồng dạng tỉ số k:

    Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy;

    Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đọan thẳng;

    Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó;

    Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính kR.

3. Hình đồng dạng

Định nghĩa

    Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia.

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 11 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số, Giải tích 11 và Hình học 11.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


tong-hop-ly-thuyet-chuong-phep-doi-hinh-va-phep-dong-dang-trong-mat-phang.jsp