Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Một số bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm.

Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm lớp 11 (chi tiết nhất)

1. Một số bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm

Nhận xét: Nhiều bài toán trong Vật lí, Hóa học, Sinh học … đưa đến việc tìm giới hạn dạng $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$, ở đó y = f(x) là một hàm số đã cho. Giới hạn trên dẫn đến một khái niệm quan trọng trong Toán học, đó là khái niệm đạo hàm.

2. Ví dụ minh họa về một số bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm

Ví dụ 1. Một vật di chuyển trên một đường thẳng được biểu diễn bởi công thức s = s(t), trong đó s tính bằng mét và t là thời gian tính bằng giây.

a) Tính vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ 4 giây đến t giây.

b) Giới hạn $\underset{t\to 4}{lim}\frac{s\left(t\right)-s\left(4\right)}{t-4}$ cho ta biết điều gì?

Hướng dẫn giải

Vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ 4 giây đến t giây là: $v_{tb}=\frac{s\left(t\right)-s\left(4\right)}{t-4}$.

b) Khi t càng gần 4, tức là |t – 4| càng nhỏ thì vận tốc trung bình càng thể hiện được chính xác hơn mức độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm t = 4 giây.

Ví dụ 2. Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t được cho bởi công thức Q = Q (t).

a) Tính cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian từ 2 giây đến t giây.

b) Giới hạn $\underset{t\to 2}{lim}\frac{Q\left(t\right)-Q\left(2\right)}{t-2}$ cho ta biết điều gì?

Hướng dẫn giải

a) Cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian từ 2 giây đến t giây là: $t_{tb}=\frac{Q\left(t\right)-Q\left(2\right)}{t-2}$.

b) Khi t càng gần 2, tức là |t – 2| càng nhỏ thì cường độ trung bình càng biểu thị chính xác cường độ dòng điện tại thời điểm 2 giây.

Ví dụ 3. Từ vị trí O (ở một độ cao nhất định nào đó), ta thả một vật rơi tự do xuống đất. Bằng việc chọn trục Oy theo phương thẳng đứng, chiều dương hướng xuống đất, gốc O là vị trí ban đầu của vật, tức là tại thời điểm 0 giây, bỏ qua sức cản của không khí, ta nhận được phương trình chuyển động của vật là y = f(t) = $\frac{1}{2}g{t}^2$ (g là gia tốc rơi tự do, g ≈ 9,8 m/s²).

Tính vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ 3 giây đến t giây? Nêu nhận xét về vận tốc trung bình vừa tính được.

Hướng dẫn giải

Vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ 3 giây đến t giây là: $v_{tb}=\frac{f\left(t\right)-f\left(3\right)}{t-3}$.

Nếu t – 3 càng nhỏ thì tỉ số trên càng phản ánh chính xác sự nhanh chậm của vật tại thời điểm 3 giây.

3. Bài tập về một số bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm

Bài 1. Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga. Quãng đường s (mét) đi được của đoàn tàu là một hàm số của thời gian t (phút) được cho bởi công thức s (t) = 2t² + t.

a) Hãy tính vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian [t; t₀] với t₀ = 5 và t = 4,5; t = 4,9 và t = 4,99.

b) Có nhận xét gì về vận tốc trung bình thu được khi t càng gần t₀ = 5.

Bài 2. Một quả bóng rơi tự do theo phương trình $s=\frac{1}{2}g{t}^2$, trong đó g ≈ 9,8 m/s² là gia tốc trọng trường. Tính vận tốc trung bình của quả bóng trong khoảng thời gian [t; t₀] với t₀ = 7 và t = 6,7; t = 6,8; t = 6,99. Có nhận xét gì về vận tốc trung bình của quả bóng khi t → 7.

Bài 3. Một vật chuyển động thẳng với vận tốc được xác định bởi hàm số v (t) = t² – 2t + 5 (m/s). Tính gia tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ 6 giây đến t giây. Có nhận xét gì gia tốc trung bình của vật khi t → 6.

Bài 4. Một quần thể sinh vật có số lượng cá thể tại thời điểm t ngày kể từ thời điểm ban đầu được cho bởi hàm số P (t) = 50t² + 200 (con). Hãy tính tốc độ tăng trưởng trung bình của quần thể đó trong khoảng thời gian [t₀; t]. Có nhận xét gì về tốc độ tăng trưởng trung bình tại khi t dần tới t₀?

Bài 5. Giả sử hàm số T = 2t² + t – 6 (^oC) biểu thị nhiệt độ theo thời gian (phút) của một vật. Tính tốc độ thay đổi nhiệt độ trung bình của vật đó trong khoảng thời gian [t; t₀] với t₀ = 6 phút và t = 5 phút, t = 5,8 phút; t = 5,95 phút. Có nhận xét gì về tốc độ thay đổi nhiệt độ đó khi t tiến dần đến 6.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Công thức cộng xác suất

• Ý nghĩa hình học của đạo hàm là gì

• Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit

• Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

• Hàm số hợp là gì

• Đạo hàm cấp hai là gì

---