Phép chiếu vuông góc là gì lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Phép chiếu vuông góc là gì lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Phép chiếu vuông góc.

Phép chiếu vuông góc là gì lớp 11 (chi tiết nhất)

1. Phép chiếu vuông góc

+ Phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương ∆ vuông góc với mặt phẳng (P) được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P).

Chú ý:

• Vì phép chiếu vuông góc lên một mặt phẳng là trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song nên nó có mọi tính chất của phép chiếu song song.

• Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P) còn được gọi đơn giản là phép chiếu lên mặt phẳng (P). Hình chiếu vuông góc H’ của hình H trên mặt phẳng (P) còn được gọi là hình chiếu của H trên mặt phẳng (P).

+ Cho mặt phẳng (P). Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với hình chiếu vuông góc M’ của điểm đó lên mặt phẳng (P) được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P).

Định lí ba đường vuông góc: Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) không vuông góc với nhau. Khi đó, một đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng a khi và chỉ khi b vuông góc với hình chiếu vuông góc a’ của a trên (P).

2. Ví dụ minh họa về phép chiếu vuông góc

Ví dụ 1. Cho hình lăng trụ ABC. A’B’C’ có AA’ ⊥ (ABC). Tìm hình chiếu vuông góc của:

a) Điểm B’ lên mặt phẳng (ABC).

b) Điểm A lên mặt phẳng (A’B’C’).

Hướng dẫn giải

a) Vì BB’ // AA’ và AA’⊥ (ABC) nên BB’ ⊥ (ABC). Do đó, B là hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC).

b) Vì (ABC) // (A’B’C’) và AA’^ (ABC) nên AA’ ⊥ (A’B’C’). Do đó, A’ là hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (A’B’C’).

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A và tam giác SAC vuông tại A. Tìm hình chiếu vuông góc của đường thẳng AC trên mặt phẳng (SAB).

Hướng dẫn giải

Vì tam giác ABC vuông tại A nên AB ⊥ AC.

Vì tam giác SAC vuông tại tại A nên SA ⊥ AC.

Lại có SA và AB cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAB).

Do đó, AC ⊥ (SAB). Suy ra, A là hình chiếu vuông góc của C trên (SAB).

Suy ra, hình chiếu vuông góc của đường thẳng AC trên mặt phẳng (SAB) là đường thẳng SA.

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông và SD vuông góc với mặt đáy. Chứng minh rằng AB ⊥ SA và CB ⊥ SC.

Hướng dẫn giải

Vì SD ⊥ (ABCD) nên DA là hình chiếu vuông góc của SA trên mặt phẳng (ABCD) và CD là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (ABCD).

Vì ABCD là hình vuông nên AB ⊥ AD.

Lại có: DA là hình chiếu vuông góc của SA trên mặt phẳng (ABCD).

Do đó, AB ⊥ SA.

Vì ABCD là hình vuông nên BC ⊥ CD. Lại có: DC là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (ABCD). Do đó, CB ⊥ SC.

3. Bài tập về phép chiếu vuông góc

Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy và tam giác ABC vuông tại B. Có bao nhiêu phát biểu đúng trong các phát biểu sau?

a) AB là hình chiếu vuông góc của SB trên (ABC).

b) SB là hình chiếu vuông góc của SC trên (SAB).

c) AC là hình chiếu vuông góc của SC trên (ABC).

d) AB là hình chiếu vuông góc của BC trên (SAB).

Bài 2. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Tìm hình chiếu vuông góc của:

a) Điểm A trên mặt phẳng (A’B’C’D’).

b) Điểm C trên mặt phẳng (AA’D’D).

c) Đường thẳng AC trên mặt phẳng (A’B’C’D’).

d) Đường thẳng BD’ trên mặt phẳng (ABCD).

Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều, SA = SB = SC. Xác định hình chiếu vuông góc của đường thẳng SA trên mặt phẳng (ABC).

Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có $\widehat{ASB}=\widehat{BSC}=\widehat{CSA}={90}^o$. Tìm hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC).

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SD vuông góc với đáy.

a) Tìm hình chiếu vuông góc của tam giác SAC trên mặt phẳng ABCD.

b) Chứng minh rằng SB ⊥ AC.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng là gì

• Hai mặt phẳng vuông góc là gì

• Điều kiện vuông góc của hai mặt phẳng

• Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc

• Hình chóp đều là gì

• Hình chóp cụt đều là gì

---