Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lớp 11 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số.

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lớp 11 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Ta thường dùng một trong các phương pháp sau:

* Phương pháp 1: Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản

∀x ∈ ℝ, n ∈ ℕ^* ta luôn có:

√ –1 ≤ sin x ≤ 1,   –1 ≤ sin^{2n + 1}x ≤ 1.          

√ –1 ≤ cos x ≤ 1,   –1 ≤ cos^{2n + 1}x ≤ 1.

√ 0 ≤ |sin x| ≤ 1,    0 ≤ sin²ⁿx ≤ 1.

√ 0 ≤ |cos x| ≤ 1,   0 ≤ cos²ⁿx ≤ 1.

* Phương pháp 2: Sử dụng định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên miền D.

+ Số thực dương M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu:

.

+ Số thực dương m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu:

.

* Phương pháp 3: Lập bảng biến thiên hoặc vẽ đồ thị của hàm số, từ đó rút ra kết luận.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y = 2sin4x + 5;

b) y = 3 – 2cos2x.

Hướng dẫn giải:

a) ∀x ∈ ℝ ta có: –1 ≤ sin4x ≤ 1 ⇔ –2 ≤ 2sin4x ≤ 2 ⇔  3 ≤ 2sin4x + 5 ≤ 7.

Vậy đạt được khi sin4x = 1 $\iff 4x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\iff x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.

đạt được khi sin4x = –1 $\iff 4x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\iff x=-\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.

b) ∀x ∈ ℝ ta có: –1 ≤ cos2x ≤ 1 ⇔  –2 ≤ –2cos2x ≤ 2 ⇔  1 ≤ 3 – 2cos2x ≤ 5.

Vậy đạt được khi cos2x = –1 $\iff 2x=\pi +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

$\underset{ℝ}{\min }y=1$ đạt được khi cos2x = 1 $\iff 2x=k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\iff x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Ví dụ 2. Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=2{\cos }^{2}x-2\sqrt{3}\sin x\cos x+1$ lần lượt là M và m. Tính tổng M + m.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$y=2{\cos }^{2}x-2\sqrt{3}\sin x\cos x+1$

$=\left(2{\cos }^{2}x-1\right)-\sqrt{3}\cdot 2\sin x\cos x+2$

 $=\cos 2x-\sqrt{3}\sin 2x+2$

$=2\left(\frac{1}{2}\cos 2x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x\right)+2$

$=2\left(\cos \frac{\pi }{3}\cos 2x-\sin \frac{\pi }{3}\sin 2x\right)+2$

$=2\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)+2$.

Mặt khác ∀x ∈ ℝ: $0\le 2\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)+2\le 4\iff 0\le y\le 4$.

Suy ra: M = 4, m = 0.

Vậy M + m = 4.

3. Bài tập tự luyện 

Bài 1. Hàm số nào sau đây có tập giá trị là ℝ?

A. y = sin x;

B. y = tan2x;

C. y = cos2x;

D. y = – sin2x.

Bài 2. Tập giá trị của hàm số y = 2cosx là

A. T = [–2; 2];

B. T = [–1; 1];

C. T = ℝ;

D. T = (–1; 1).

Bài 3. Xét bốn mệnh đề sau:

i) Trên ℝ, hàm số y = cosx có tập giá trị là [–1; 1].

ii) Trên $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$, hàm số y = cosx có tập giá trị là [0; 1].

iii) Trên $\left[0;\frac{3\pi }{4}\right]$, hàm số y = cosx có tập giá trị là $\left[0;\frac{\sqrt{2}}{2}\right]$.

iv) Trên $\left(0;\frac{\pi }{2}\right]$, hàm số y = cosx có tập giá trị là [0; 1).

Số phát biểu đúng là

A. 1;

B. 2;

C. 3;

D. 4.

Bài 4. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\sqrt{1+\sin \text{x}}-3$. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. $M=3-\sqrt{2},m=-\sqrt{2}$;

B. $M=3+\sqrt{2},m=3$;

C. $M=3+\sqrt{2},m=\sqrt{2}$;

D. $M=\sqrt{2}-\mathrm{3,}m=-3$.

Bài 5. Tập giá trị T của hàm số y = 4cos²2x + 3 là

A. T = [3; 7];

B. T = [0; 7];

C. T = ℝ;

D. T = [0; 3].

Bài 6. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2cosx + 3 trên . Giá trị biểu thức M ∙ m bằng

A. –3;

B. 5;

C. 6;

D. 20.

Bài 7. Xét bốn mệnh đề sau:

i) Trên ℝ, hàm số y = sinx có tập giá trị là [–1; 1].

ii) Trên , hàm số y = sinx có tập giá trị là [–1; 1].

iii) Trên , hàm số y =sinx có tập giá trị là [0; 1].

iv) Trên , hàm số y = sinx có tập giá trị là (0; 1].

Số phát biểu đúng là

A. 1;

B. 2;

C. 3;

D. 4.

Bài 8. Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y = sinx + cosx, một học sinh giải theo các bước sau:

Bước 1: Tập xác định: D = ℝ.

Bước 2:  ta có: .

Bước 3: Vậy GTLN của hàm số bằng 2, GTNN của hàm số bằng –2.

Bài giải của bạn đó đã đúng chưa? Và nếu sai thì sai bắt đầu từ bước nào?

A. Bài giải đúng;

B. Sai từ bước 1;

C. Sai từ bước 2;

D. Sai từ bước 3.

Bài 9. Hàm số y = (3 – 5sinx)²⁰²² có giá trị lớn nhất là M và giá trị nhỏ nhất là m. Giá trị của M + m bằng

A. 2²⁰²²;

B. 2⁴⁰⁴⁴;

C. 2²⁰²²(1 + 2⁴⁰⁴⁴);

D. 2⁶⁰⁶⁶.

Bài 10. Hàm số y = 5 + 4sin2xcos2x có số giá trị nguyên là

A. 3;

B. 4;

C. 5;

D. 6.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 11 hay, chi tiết khác:

• Bài toán thực tế về hàm số lượng giác

• Giải phương trình lượng giác bằng cách vận dụng phương trình lượng giác cơ bản

• Giải phương trình lượng giác bằng cách đưa về phương trình lượng giác cơ bản

• Bài toán thực tế về phương trình lượng giác

• Tìm các số hạng của dãy số cho bởi công thức truy hồi và dự đoán công thức tổng quát của dãy số

---