Cách xét Tính đơn điệu của hàm số lượng giác cực hay

Bài viết Cách xét Tính đơn điệu của hàm số lượng giác với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách xét Tính đơn điệu của hàm số lượng giác.

Cách xét Tính đơn điệu của hàm số lượng giác cực hay

A. Phương pháp giải

+ Hàm số y= sinx đồng biến trên mỗi khoảng ((- π)/2+k2π; π/2+k2π) và nghịch biến trên mỗi khoảng (( π)/2+k2π; 3π/2+k2π)với k ∈ Z.

+ Hàm số y= cosx đồng biến trên mỗi khoảng (-π+k2π;k2π) và nghịch biến trên mỗi khoảng (k2π; π+k2π ) với k ∈ Z.

+ Hàm số y= tanx đồng biến trên mỗi khoảng ((-π)/2+kπ; π/2+kπ) với k ∈ Z.

+ Hàm số y= cotx nghịch biến trên mỗi khoảng (kπ; π+ kπ)với k ∈ Z.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số y = sinx. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng(π/2;π) , nghịch biến trên khoảng(π;3π/2) .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng(-3π/2;-π/2) , nghịch biến trên khoảng(-π/2;π/2) .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng(0;π/2) , nghịch biến trên khoảng(-π/2;0) .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng(-π/2;π/2) , nghịch biến trên khoảng(π/2;3π/2) .

Lời giải:

Chọn D

Hàm số y= sinx đồng biến khi x thuộc góc phần tư thứ I và thứ IV;

nghịch biến khi x thuộc góc phần tư thứ II và thứ III.

Ví dụ 2: Bảng biến thiên của hàm số y=f(x)=cos2x trên đoạn [-π/2;3π/2] là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Chọn A

Ta có thể loại phương án B, C ; D luôn do tại f(0)=cos0=1 và y=f(π)=cos2π=1 .

Các bảng biến thiên B ; C ; D đều không thỏa mãn.

Ví dụ 3: Cho hàm số y=cos(x/2) . Bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [-π;π] là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Chọn C

Ta có thể loại A và B do f(π/2)=cos⁡(π/4)=√2/2.

Tiếp theo xét giá trị hàm số tại hai đầu mút có : f(-π)=f( π)=0 thì ta loại được D .

Ví dụ 4: Xét hàm số y= sinx trên đoạn[-π;0].Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên các khoảng(-π;-π/2) và (-π/2;0) .

B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-π;-π/2); nghịch biến trên khoảng (-π/2;0) .

C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (-π;-π/2) ; đồng biến trên khoảng (-π/2;0) .

D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-π;-π/2) và (-π/2;0).

Lời giải:

Chọn C

Cách 1: Từ lý thuyết về các hàm số lượng giác cơ bản ở trên ta có hàm số y=sinx nghịch biến trên khoảng (-π;-π/2) và đồng biến trên khoảng (-π/2;0)

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.

Do ở đề bài, các phương án A, B, C, D chỉ xuất hiện hai khoảng là (-π;-π/2) và (-π/2;0)

nên ta sẽ dùng máy tính cầm tay chức năng MODE 7: TABLE để giải bài toán.

+ Ấn MODE → 7

Máy hiện F(X)= thì ta nhập sinX ⇒ START? Nhập -π END? Nhập 0 STEP? Nhập π/10

Lúc này từ bảng giá trị của hàm số ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng (-π;-π/2) và đồng biến trên khoảng (-π/2;0).

Ví dụ 5: Xét hàm số y= cosx trên đoạn [-π ; π]. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng(-π ;0) và (0;π ).

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-π ;0) và nghịch biến trên khoảng (0;π ) .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-π ;0) và đồng biến trên khoảng (0;π ).

D. Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng (-π ;0) và (0;π ).

Lời giải:

Chọn B

Theo lý thuyết ta có hàm số y= cosx đồng biến trên mỗi khoảng (-π+k2π;k2π ) và nghịch biến trên khoảng (k2π;π+k2π) k ∈ Z

Từ đây ta có với k=0 hàm số y= cosx đồng biến trên khoảng (-π ;0) và nghịch biến trên khoảng (0;π )

Ví dụ 6: Với k ∈ Z , kết luận nào sau đây về hàm số y= tan2x là sai?

A. Hàm số y= tan 2x tuần hoàn với chu kỳ T= π/2 .

B. Hàm số y= tan2x luôn đồng biến trên mỗi khoảng (-π/2+kπ/2;π/2+kπ/2) .

C. Hàm số y= tan2x nhận đường thẳng x= π/4+kπ/2 là một đường tiệm cận.

D. Hàm số y= tan2x là hàm số lẻ.

Lời giải:

Chọn B

Ta thấy hàm số y= tan2x luôn đồng biến trên mỗi khoảng (-π/2+kπ;π/2+kπ/),

⇒ hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng -π/2+kπ< 2x< π/2+kπ ⇒ -π/4+kπ/2 < x< π/4+kπ/2 . Vậy B là sai.

Ví dụ 7: Hãy chọn mệnh đề sai: Trong khoảng (π/2+k2π;π+k2π) thì:

A. Hàm số y = sinx là hàm số nghịch biến.

B. Hàm số y= cosx là hàm số nghịch biến.

C. Hàm số y= tanx là hàm số đồng biến.

D. Hàm số y= cot x là hàm số đồng biến.

Lời giải:

Chọn D

D sai, thật vậy với 2π/3; 3π/4 ∈ (-π/2;π) ta có :

2π/3 <3π/4 ⇒ cot2π/3=-√3/3%nbsp; > -1=cot3π/4

Ví dụ 8: Trong khoảng (0; π/2) , hàm số y= sinx- cosx là hàm số:

A. Đồng biến.

B. Nghịch biến.

C. Không đổi.

D. Vừa đồng biến vừa nghịch biến.

Lời giải:

Chọn A

Cách 1: Ta thấy trên khoảng (0; π/2) hàm f(x)= sinx đồng biến và hàm g(x)= - cosx đồng biến. suy ra trên(0; π/2) hàm số y= sinx- cosx đồng biến.

Cách 2: Sử dụng máy tính. Dùng TABLE ta xác định được hàm số y= sinx- cosx tăng trên (0; π/2)

Ví dụ 9: Xét sự biến thiên của hàm số y=tan2x trên một chu kì tuần hoàn. Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; π/4) và ( π/4; π/2) .

B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; π/4) và nghịch biến trên khoảng ( π/4; π/2).

C. Hàm số đã cho luôn đồng biến trên khoảng (0; π/2).

D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0; π/4) và đồng biến trên khoảng ( π/4; π/2).

Lời giải:

Chọn A

Tập xác định của hàm số đã cho là D=R\{ π/4; π/2}

Hàm số y= tan2x tuần hoàn với chu kì π/2 dựa vào các phương án A; B; C; D thì ta sẽ xét tính đơn điệu của hàm số trên (0; π/2)\{π/4}

Dựa theo kết quả khảo sát sự biến thiên của hàm số y= tanx ở phần lý thuyết ta có thể suy ra với hàm số y = tan2x đồng biến trên khoảng (0; π/4) và ( π/4; π/2)

Ví dụ 10: Xét sự biến thiên của hàm số y= 1 - sinx trên một chu kì tuần hoàn của nó. Trong các kết luận sau, kết luận nào sai?

A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( -π/2;0) .

B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0; π/2) .

C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (π/2;π)

D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (π/2;3π/2)

Lời giải:

Chọn D

Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ 2π và kết hợp với các phương án đề bài thì ta sẽ xét sự biến thiên của hàm số trên [π/2;3π/2]

Ta có hàm số y=sinx

* Đồng biến trên khoảng (-π/2;π/2)

* Nghịch biến trên khoảng (π/2;3π/2)

Từ đây suy ra hàm số y=1- sinx

* Nghịch biến trên khoảng (-π/2;π/2)

* Đồng biến trên khoảng (π/2;3π/2)

Dưới đây là đồ thị của hàm số y= 1- sinx và hàm số y= sinx trên R

Ví dụ 11: Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. y=|tanx| đồng biến trong [-π/2;π/2] .

B. y=|tanx| là hàm số chẵn trên D= D=R\{ π/2+kπ} k ∈ Z.

C. y=|tanx| có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

D. y=|tanx| luôn nghịch biến trong (-π/2;π/2) .

Lời giải

Ta được đồ thị như hình vẽ trên.

+ Ta thấy hàm số y=|tanx| nghịch biến trên (-π/2;0) và đồng biến trên (0;π/2) . Nên ta loại A và D

+ Với B ta có f(-x)= |tan(-x)|=|tanx|=f(x) ⇒ hàm số y=|tanx| là hàm số chẵn.

⇒ B đúng

+ Với C ta thấy đồ thị hàm số đã cho không đối xứng qua gốc tọa độ.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:Chọn mệnh đề đúng?

A. Hàm số y= tanx luôn luôn tăng.

B. Hàm số y= tanx luôn luôn tăng trên từng khoảng xác định.

C. Hàm số y= tanx tăng trong các khoảng (π+k2π;2π+k2π ), k ∈ Z .

D. Hàm số y= tanx tăng trong các khoảng (k2π;π+k2π ), k ∈ Z

Lời giải:

Chọn B

+Với A ta thấy hàm số y= tanx không xác định tại các điểm

x= π/2+kπ ( k ∈ Z) nên tồn tại các điểm làm

cho hàm số bị gián đoạn

⇒ hàm số không thể luôn tăng.

+ Với B ta thấy B đúng vì hàm số y= tanx đồng biến trên mỗi khoảng xác định: (-π/2+kπ;π/2+kπ ), k ∈ Z

Từ đây loại C và D

Câu 2:Với x ∈ (31π/4;33π/4) , mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số y= cot x nghịch biến.

B. Hàm số y= tanx nghịch biến.

C. Hàm số y= sinx đồng biến.

D. Hàm số y= cosx nghịch biến.

Lời giải:

Lời giải:

Chọn C

Ta có (31π/4;33π/4)=(-π/4+8π;π/4+8π) thuộc góc phần tư thứ I và II.

Mà hàm số y=sinx đồng biến ở góc phần tư thứ I và II.

⇒ hàm số y= sin x đồng biến trên khoảng đã cho.

Câu 3:Cho x ∈ (0;π/4) , mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Cả hai hàm số y= -sin 2x và y= - 1+ cos2x đều nghịch biến.

B. Cả hai hàm số y= - sin2x và y= - 1+ cos2x đều đồng biến.

C. Hàm số y= - sin2x nghịch biến, hàm số y= -1+ cos2x đồng biến.

D. Hàm số y= - sin2x đồng biến, hàm số y= - 1+ cos2x nghịch biến.

Lời giải:

Chọn A

Ta có x ∈ (0;π/4) ⇒ 2x ∈ (0;π/2) thuộc góc phần tư thứ I. Do đó:

+ Hàm số y= sin2x đồng biến ⇒ y= - sin2x nghịch biến.

+Hàm số y= cos2x nghịch biến ⇒ y= - 1+ cos2x nghịch biến.

Câu 4:Hàm số y= sin 2x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A.(0;π/4) .

B. (π/2;π) .

C. (π;3π/2) .

D. (3π/2;2π) .

Lời giải:

Chọn A

Ta thấy x ∈ (0;π/4) ⇒ 2x ∈ (0;π/2) thuộc góc phần tư thứ I.

Do đó hàm số y= sin2x đồng biến.

Câu 5:Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên khoảng (-π/3;π/6) ?

A.y=tan(2x+π/6) .

B.y=cot(2x+π/6) .

C.y=sin(2x+π/6) .

D.y=cos(2x+π/6) .

Lời giải:

Chọn C

Ta có x ∈ (-π/3;π/6) ⇒ (2x+π/6) ∈ (-π/2;π/2) thuộc góc phần tư thứ VI và thứ I.

Do đó hàm số y=sin(2x+π/6) đồng biến trên khoảng (-π/3;π/6) .

Câu 6:Với x ∈ (31π/4;33π/4) , mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số y= cot x nghịch biến.

B. Hàm số y= tanx nghịch biến.

C. Hàm số y= sinx đồng biến.

D. Hàm số y= cosx nghịch biến.

Lời giải:

Chọn C

Ta có (31π/4;33π/4)=(-π/4+8π;8π+π/4) thuộc góc phần tư thứ I và IV.

⇒ Hàm số y= sinx đồng biến trên khoảng đó.

Câu 7:Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên khoảng (-π/3;π/6) ?

A.y=tan(2x+π/6) .

B.y=cot(2x+π/6) .

C.y=sin(2x+π/6) .

D.y=cos(2x+π/6) .

Lời giải:

Chọn C

Ta có x ∈ (-π/3;π/6) ⇒ (2x+π/6) ∈ (-π/2;π/2) thuộc góc phần tư thứ VI và thứ I.

Do đó hàm số y=sin(2x+π/6) đồng biến trên khoảng (-π/3;π/6) .

Câu 8:Hàm số y= cos2x nghịch biến trên khoảng (k ∈ Z) ?

A.(kπ;π/2+kπ) .

B.(π/2+kπ;π+kπ) .

C.(-π/+k2π;π/2+k2π) .

D. (π/2+k2π;3π/2+k2π) .

Lời giải:

Chọn A

Hàm số y= cos2x nghịch biến khi và chỉ khi:

k2π<2x<π+k2π ⇒ kπ<x<π/2+kπ, k ∈ Z

Câu 9:Xét các mệnh đề sau:

(I):∀x ∈ (π;3π/2) :Hàm số y=1/sinx giảm.

(II):∀x ∈ (π;3π/2) :Hàm số y=1/cosx giảm.

Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên:

A. Chỉ (I) đúng.

B. Chỉ (II) đúng.

C. Cả hai đúng.

D. Cả hai sai.

Lời giải:

Chọn B

∀x ∈ (π;3π/2) : Hàm số y= sinx giảm và sin x< 0 ∀x ∈ (π;3π/2) ,

suy ra y=1/sinx tăng:

⇒ Câu (I) sai

+∀x ∈ (π;3π/2) : Hàm số y= cosx tăng và cos< 0 , ∀x ∈ (π;3π/2) ,

suy ra hàm y=1/cosx giảm.

Câu (II) đúng.

Câu 10: Cho hàm số y=4sin(x+π/6)cos(x-π/6)-sin2x . Kết luận nào sau đây là đúng về sự biến thiên của hàm số đã cho?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (0;π/4) và (3π/4;π) .

B. Hàm số đã cho đồng biến trên (0;π) .

C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0;3π/4) .

D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0;π/4) và nghịch biến trên khoảng (π/4;π).

Lời giải:

Chọn A

Ta có y=4sin(x+π/6)cos(x-π/6) -sin2x = 2(sin2x+sinπ/3)-sin2x=sin2x+√3 .

Xét sự biến thiên của hàm số y=sin2x+√3 , ta sử dụng TABLE để xét các mệnh đề.

Ta thấy với trên (0;π/4) thì giá trị của hàm số luôn tăng.

Tương tự trên (3π/4;π) thì giá trị của hàm số cũng luôn tăng.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Hàm số nào đồng biến trên tập xác định trong các hàm số sau?

A. y = x – sin²x.

B. y = cotx.

C. y = sinx.

D. y = -x³.

Bài 2. Cho hàm số y = tanx – x, x ∈ $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$. Hỏi hàm số đồng biến hay nghịch biến trên khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$?

Bài 3. Cho hàm số y = tanx. Hỏi hàm số đã cho đồng biến, nghịch biến trên khoảng nào?

Bài 4. Cho hàm số y = f(x) = x – sinx, x ∈ [0; π]. Cho biết hàm số đồng biến hay nghịch biến?

Bài 5. Cho hàm số y = 2sinx + cos2x, x ∈ [0; π]. Tìm khoảng đồng biến.

---