Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng cực hay

Bài viết Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng.

Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng cực hay

A. Phương pháp giải

Để tính góc giữa hai đường thẳng d₁; d₂ trong không gian ta có thể thực hiện theo hai cách

Cách 1. Tìm góc giữa hai đường thẳng d₁, d₂ bằng cách chọn một điểm O thích hợp (O thường nằm trên một trong hai đường thẳng).

Từ O dựng các đường thẳng d₁, d₂ lần lượt song song ( có thể tròng nếu O nằm trên một trong hai đường thẳng) với d₁ và d₂. Góc giữa hai đường thẳng d₁, d₂ chính là góc giữa hai đường thẳng d₁, d₂.

Lưu ý 1: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí côsin trong tam giác

Cách 2. Tìm hai vec tơ chỉ phương u₁, u₂ của hai đường thẳng d₁, d₂

Khi đó góc giữa hai đường thẳng d₁, d₂ xác định bởi cos(d₁, d₂) =

Lưu ý 2: Để tính u₁→, u₂→, |u₁→|, |u₂→| ta chọn ba vec tơ a→, b→, c→ không đồng phẳng mà có thể tính được độ dài và góc giữa chúng,sau đó biểu thị các vec tơ u₁→, u₂→ qua các vec tơ a→, b→, c→ rồi thực hiện các tính toán.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và DH→

A. 45°                        B. 90°                        C. 120°                        D.60°

Hướng dẫn giải:

Vì DH→ = AE→ ( ADHE là hình vuông) nên (AB→, DH→) = (AB→, AE→) = ∠BAE = 90° (ABFE là hình vuông).

Chọn B

Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và EG→?

A. 90°               B. 60°               C. 45°               D. 120°

Hướng dẫn giải

Vì EG→ = AC→ ( tứ giác AEGC là hình chữ nhật) nên:

(do ABCD là hình vuông)

Chọn C.

Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Góc giữa AC và DA’ là:

A. 45°               B. 90°               C. 60°               D. 120°

Hướng dẫn giải

Gọi a là độ dài cạnh hình lập phương

Khi đó, tam giác AB’C đều (AB' = B'C = CA = a√2) do đó ∠B'CA= 60° .

Lại có, DA’ song song CB’ nên

(AC, DA') = (AC, CB') = ∠ACB'= 60°.

Chọn C

Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Giả sử tam giác AB’C và A’DC’ đều có ba góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và A’D là góc nào sau đây?

Hướng dẫn giải

Ta có : AC // A’C’ ( do AA’CC’ là hình bình hành) mà ∠DA'C' nhọn (do tam giác A’DC’ là tam giác nhọn) nên :

(AC, A'D) = (A'C', A'D) = ∠DA'C'

Chọn B

Ví dụ 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chọn khẳng định sai?

A. Góc giữa AC và B’D’ bằng 90°

B. Góc giữa B’D’ và AA’ bằng 60°

C. Góc giữa AD và B’C bằng 45°

D. Góc giữa BD và A’C’ bằng 90°.

Hướng dẫn giải

Ta có (AA', B'D') = (BB', B'D') = ∠BB'C = 90°.

Khẳng định B sai. Chọn B.

Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD có BA = CD. Gọi I ; J ; E ; F lần lượt là trung điểm của AC ; BC ; BD ; AD. Góc (IE; JF) bằng

A. 30°               B. 45°               C. 60°               D. 90°

Hướng dẫn giải

Ta có IF là đường trung bình của tam giác ACD

Lại có JE là đường trung bình của tam giác BCD

Từ (1) và (2) suy ra:

Do đó IJEF là hình thoi

Suy ra (IE; JF) = 90°.

Chọn D

Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, IJ = (a√3)/2 (I; J lần lượt là trung điểm của BC và AD). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là

A. 30°               B. 45°               C. 60°               D. 90°

Hướng dẫn giải

Chọn C

Gọi M; N lần lượt là trung điểm AC; BC.

Ta có:

Gọi O là giao điểm của MN và IJ.

Ta có: ∠MIN = 2∠MIO .

Xét tam giác MIO vuông tại O, ta có:

Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và

. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và IJ→ ?

A. 120°               B. 90°               C. 60°               D.45°

Hướng dẫn giải

Chọn B

+ Xét tam giác ABC có AB = AC và ∠BAC = 60° nên tam giác ABC đều

Tương tự tam giác ABD đều.

⇒ BC = BD (= AB)

+ Xét tam giác ACD và tam giác BCD có :

BC = AC.

AD = BD

CD chung

⇒ Δ BCD = Δ ACD( c.c.c) ⇒ BJ = AJ

⇒ Tam giác AJB là tam giác cân tại J. Lại có, JI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao.

⇒ IJ ⊥ AB.

⇒ góc giữa cặp vectơ AB→ và IJ→ là 90°

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho tứ diện đều ABCD. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng:

A. 60°                 B. 30°                 C. 90°                 D. 45°

Lời giải:

+ Gọi M là trung điểm của CD

+ Tam giác ACD và tam giác BCD là tam giác đều (vì ABCD là tứ diện đều) có AM; BM là hai đường trung tuyến ứng với cạnh CD nên đồng thời là đường cao.

Suy ra AB→ ⊥ CD→ nên số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 90°.

Chọn C

Câu 2: Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Góc giữa AO và CD bằng bao nhiêu?

A. 0°                 B. 30°                 C. 90°                 D. 60°

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của CD

Vì ABCD là tứ diện đều nên các tam giác ACD và BCD là tam giác đều nên:

Suy ra AO→ ⊥ CD→ nên số đo góc giữa hai đường thẳng AO và CD bằng 90°.

Chọn C

Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB và CA = CB. Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và AB

A. 30°                 B. 45°                 C. 60°                 D. 90°

Lời giải:

Xét:

Vậy SC và AB vuông góc với nhau.

Chọn D

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC. Số đo của góc (IJ; CD)bằng:

A . 90°                 B. 45°                 C. 30°                 D. 60°

Lời giải:

Chọn D

Gọi O là tâm của hình thoi ABCD.

+ Ta có: OJ là đường trung bình của tam giác BCD nên

OJ // CD

⇒ (IJ; CD) = (IJ, JO)

+ Xét tam giác IOJ có

⇒ tam giác IOJ đều.

Vậy góc giữa IJ và CD bằng góc giữa IJ và OJ

bằng góc ∠IJO = 60°

Chọn D.

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA = x, tất cả các cạnh còn lại đều bằng a. Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng SA và SC

A. 30°                 B. 45°                 C. 60°                 D.90°

Lời giải:

Theo giả thiết, ta có: AB = BC = CD = DA = a nên ABCD là hình thoi cạnh a.

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có ΔCBD = ΔSBD (c-c-c) .

Suy ra hai đường trung tuyến tương ứng CO và SO bằng nhau.

Xét tam giác SAC, ta có SO = CO = (1/2)AC .

Do đó tam giác SAC vuông tại S (tam giác có đường trung tuyến bằng nửa cạnh đáy). Vậy SA ⊥ SC

Chọn D.

Câu 6: Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó cos( AB; DM) bằng

Lời giải:

Chọn A

Không mất tính tổng quát, giả sử tứ diện ABCD có cạnh bằng a.

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔBCD ⇒ AH ⊥ (BCD)

Gọi E là trung điểm AC ⇒ ME // AB ⇒ (AB, DM) = (ME, MD)

Ta có:

Do các mặt của tứ diện đều là tam giác đều, từ đó ta dễ dàng tính được độ dài các cạnh của tam giác MED : ME = a, ED = MD = (√3/2)a

Xét tam giác MED, ta có:

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo của góc (MN; SC) bằng

A. 30°                 B. 45°                 C. 60°                 D.90°

Lời giải:

Chọn D

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp của hình vuông ABCD    (1)

Ta có: SA = SB = SC = SD nên S nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD     (2)

Từ (1) và (2) ⇒ SO ⊥ (ABCD)

Từ giả thiết ta có: MN // SA (do MN là đường trung bình của tam giác SAD).

⇒ (MN; SC) = (SA; SC).

Xét tam giác SAC, ta có:

⇒ ΔSAC vuông tại S ⇒ SA ⊥ SC

⇒ (SA, SC) = (MN, SC) = 90°

Câu 8: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và ∠BAC = ∠BAD = 60°, ∠CAD = 90°. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD Hãy xác định góc giữa cặp vectơ IJ→ và CD→ ?

A. 45°                 B. 90°                  C. 60°                 D. 120°

Lời giải:

Chọn B

Ta có BAC và BAD là 2 tam giác đều, I là trung điểm của AB nên CI = DI

(2 đường trung tuyến của 2 tam giác đều chung cạnh AB)

⇒ Tam giác CID là tam giác cân ở I.

Mà IJ là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao nên IJ ⊥ CD

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Giả sử $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ là vectơ chỉ chỉ phương của 2 đường thẳng a và b. Giả sử $\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right)=150°$. Tính góc giữa a và b.

Bài 2. Tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và đều có độ dài là I. Gọi M là trung điểm của canh AB. Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{OM},\overrightarrow{BC}$.

Bài 3. Tính góc giữa 2 vectơ a và b, biết rằng Cho 2 vectơ a và b có độ bài bằng 1 và thoả mãn điều kiện $\left|3a+2b\right|=\sqrt{7}$.

Bài 4. Cho hình thoi ABCD biết góc BAD bằng 120°. Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{AD}$.

Bài 5. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Tính góc giữa hai vectơ:

a) $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}$.

b) $\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{BC}$.

Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA ⊥(ABC) và SA = $a\sqrt{3}.$ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và SC. Tính côsin góc giữa hai đường thẳng AN và CM.

Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh 2a, SA ⊥ (ABCD) và SB = $a\sqrt{5}$. Gọi M là trung điểm của AB và N là trung điểm của BC. Tính côsin góc giữa 2 đường thẳng SM và DN.

Bài 8. Cho tứ diện ABCD có AB = x₁, CD = x₂; AC = y₁, BD = y₂, BC = z₁, AD = z₂. Tính góc giữa hai đường thẳng BC và AD.

Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a; AD = $a\sqrt{2}$. SA ⊥ (ABCD) và SA = 2a.

a) Tính cosin góc giữa hai đường thẳng BC và SD.

b) Gọi I là trung điểm của CD. Tính côsin góc giữa hai đường thẳng SB và AI.

Bài 10. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = $a\sqrt{2}$ và BC = 2a. Tính góc giữa hai đường thẳng AC và SB.

---