Cách giải dạng bài toán chứng minh lớp 6 lớp 6 (hay, chi tiết)

Bài viết Cách giải dạng bài toán chứng minh lớp 6 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách giải dạng bài toán chứng minh.

Cách giải dạng bài toán chứng minh lớp 6 lớp 6 (hay, chi tiết)

1. Phương pháp giải

- Chứng minh đẳng thức chia hết cho một số nguyên:

+ Phân tích số nguyên thành tích của các số nguyên tố.

+ Chứng minh từng thừa số trong đẳng thức chia hết cho mỗi nhân tử của số nguyên đang xét.

- Chứng minh giá trị của biểu thức âm/ dương, nhỏ/ lớn hơn một số nguyên/ biểu thức:

+ Đối với một số bài toán đơn giản, ta có thể thay các giá trị trực tiếp vào biểu thức để thực hiện so sánh.

+ Thực hiện phép trừ để so sánh các biểu thức.

+ Sử dụng tính chất của phép cộng, trừ, nhân, chia để so sánh giữa các biểu thức.

+ Xem xét phạm vi của biểu thức trong một miền giá trị cụ thể.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Chứng minh rằng a² - b² = (a + b)(a - b).

Lời giải:

Xét vế phải:

(a + b)(a - b) = a² + ab - ab - b²

= a² - b².

Suy ra a² - b² = (a + b)(a - b).

Ví dụ 2. Chứng minh rằng biểu thức -3(x − y) + 2(y − x) = −5(x - y) với mọi số nguyên x, y.

Lời giải:

Xét vế trái:

VT = -3(x − y) + 2(y − x) = -3x + 3y + 2y - 2x = -5x + 5y;

VP = -5(x - y) = -5x + 5y = VT.

Suy ra -3(x − y) + 2(y − x) = −5(x - y).

3. Bài tập vận dụng

Câu 1: chứng minh A= (n-3)(n-2)(n-1)(n+1)(n+2)(n+3) chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiên

Lời giải:

Ta có

A= (n-3)(n-2)(n-1)(n+1)(n+2)(n+3)

Đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp.Trong 7 số nguyên liên tiếp

+ Tồn tại một bội của 5 ⇒ A chia hết cho 5

+ Tồn tại một bội của 7 ⇒ A chia hết cho 7

+ Tồn tại hai bội của 3 ⇒ A chia hết cho 9

+ Tồn tại ba bội số của 2,trong đó có một bội số của 4 ⇒ A chia hết cho 16

A chia hết cho các số 5,7,9,16 đôi một nguyên tố cùng nhau nên A chia hết cho

5.7.9.16 =5040.

Câu 2: Cho a, b , c ∈ N Và a ≠ 0. Chứng tỏ rằng biểu thức P luôn âm, biết:

P = a.(b – a) – b.(a – c) –bc

Lời giải:

P = a.(b – a) – b.(a – c) –bc

P = a.b + a.(-a) +(-b).a +(-b).(-c) - bc

P = ab –a² – ab +bc – bc

P = (ab-ab) +(bc- bc) –a²

P = 0 + 0 –a² = –a² ≤ 0 với mọi a

Câu 3: Chứng minh các đẳng thức sau:

a. (a – b) + (c – d) – (a + c) = - (b + d)

b. (a – b) – (c – d) + (b + c) = a + d

Lời giải:

a. (a – b) + (c – d) – (a – c) = - (b + d)

Vế Trái = Vế phải

VT = (a – b) + (c – d) – (a + c)

= a – b + c – d – a - c

= (a –a ) + (c - c) +[(-b)+(-d)]

= 0+0+ -(b+d) = - (b + d) = VP (đpcm)

b. (a – b) – (c – d) + (b + c) = a + d

VT = VP

VT = (a – b) – (c – d) + (b + c)

= a –b –c +d + b + c

= a + ( -b+b)+ (-c+c)+d

= a + d = VP (đpcm)

Câu 4: Cho x, y thuộc số nguyên. Chứng minh rằng:

6x + 11y là bội của 31 khi và chỉ khi x + 7y là bội của 31.

Lời giải:

Ta có 6x + 11y ⋮ 31

6(6x + 11y) ⋮ 31

36x + 66y ⋮ 31

31x +31y+5x +35y ⋮ 31

(31x +31y)+(5x +35y) ⋮ 31

31(x+y) + 5(x+7y) ⋮ 31

Mà 31(x+y) 31 nên 5(x+7y) ⋮ 31

Vậy (x+7y) ⋮ 31

Hay x + 7y là bội của 31

Câu 5: Cho A = 1 + 4 + 4² + 4³ + … + 4⁹⁹; B =4¹⁰⁰

Chứng minh

Lời giải:

4A = 4(1 + 4 + 4² + 4³ + … + 4⁹⁹) =4 + 4² + 4³ + 4⁴ + … + 4⁹⁹ + 4¹⁰⁰

4A – A =(4 + 4² + 4³ + 4⁴ + … + 4⁹⁹ + 4¹⁰⁰)- (1 + 4 + 4² + 4³ + … + 4⁹⁹)

3A = 4¹⁰⁰ – 1 < B

Nên

Câu 6: Cho A = 1 + 3 + 3² + 3³ + … + 3²⁰ ; B = 3²¹:2

Tính B –A

Lời giải:

A = 1 + 3 + 3² + 3³ + … + 3²⁰ (1)

3A = 3 + 3² + 3³ + … + 3²⁰ + 3²¹ (2)

Lấy (2) trừ (1) được 2A = 3²¹ -1. Còn 2B = 3²¹

B –A =

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 6 chọn lọc, có đáp án hay khác:

• Cách giải bài tập Bội và ước của một số nguyên cực hay, chi tiết
• Bài tập về Tính chất chia hết cực hay, chi tiết
• Cách giải bài tập Tính giá trị biểu thức cực hay, chi tiết | Bài tập Tìm x thỏa mãn điều kiện
• Cách giải bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất cực hay, chi tiết
• Bài tập Bội và ước của một số nguyên, tính chất chia hết nâng cao cực hay, chi tiết

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 6 hay khác:

• Giải bài tập sgk Toán 6
• Giải sách bài tập Toán 6
• Top 52 Đề thi Toán 6 có đáp án

---