Cách chứng minh một số là số vô tỉ lớp 7 (cực hay, chi tiết)

Bài viết Cách chứng minh một số là số vô tỉ lớp 7 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách chứng minh một số là số vô tỉ.

Cách chứng minh một số là số vô tỉ lớp 7 (cực hay, chi tiết)

A. Phương pháp giải

Dùng phương pháp phản chứng.

Để chứng minh a là số vô tỉ, ta thực hiện qua các bước sau:

- Bước 1: Giả sử a là số hữu tỉ.

- Bước 2: Lập luận và sử dụng các tính chất đã biết về lũy thừa, chia hết,… để đi tới mẫu thuẫn với giả thiết hoặc đi tới điều vô lí.

- Bước 3: Kết luận.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Chứng minh là số vô tỉ.

Lời giải:

Giả sử là số hữu tỉ

Do đó tồn tại hai số nguyên a và b với b ≠ 0 sao cho

Như vậy có thể được viết dưới dạng phân số tối giản với a và b là hai số nguyên tố cùng nhau.

Suy ra a² là số chính phương chẵn ⇒ a là số chẵn (số chính phương chẵn có căn bậc hai là số chẵn, số chính phương lẻ có căn bậc hai là số lẻ).

Do đó tồn tại 1 số k thỏa mãn a = 2k ⇒ a² = (2k)² = 4k² (2)

Từ (1) và (2) ⇒ 2b² = 4k² ⇒ b² = 4k²:2 = 2k²

Suy ra b² là số chính phương chẵn nên b là số chẵn

Mà a cũng là số chẵn

Nên phân số không phải phân số tối giản, mâu thuẫn

Vậy giả sử sai, do đó là số vô tỉ (đpcm).

Ví dụ 2: Chứng minh là số vô tỉ.

Lời giải:

Giả sử là số hữu tỉ, tức (m, n ∈ Z, n ≠ 0, (m, n) = 1)

Suy ra

Do đó m²⋮3, mà 3 là số nguyên tố nên m⋮3

⇒ m = 3k ⇒ m² = (3k)² = 9k², thay vào (1) ta được: 9k² = 3n²

⇒ n² = 3k², suy ra n² ⋮ 3 ⇒ n ⋮ 7 (vì 7 là số nguyên tố)

Do đó cả m và n đều cùng chia hết cho 7, mâu thuẫn với giả thiết (m, n) = 1

Nên giả sử sai.

Vậy là số vô tỉ. (đpcm)

C. Bài tập vận dụng

Câu 1. Chứng minh là số vô tỉ.

Lời giải:

Giả sử là số hữu tỉ là phân số tối giản, m; n ∈ Z, m ≠ 0)

Điều này chứng tỏ m² ⋮ 7 mà 7 là số nguyên tố nên m ⋮ 7

Đặt m = 7k (k ∈ Z), suy ra m² = (7k)² = 49k² (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 7n² = 49k² ⇒ n² = 7k²

⇒ n² ⋮ 7 ⇒ n ⋮ 7 (vì 7 là số nguyên tố)

Do đó cả m và n đều cùng chia hết cho 7, vậy không phải phân số tối giản, mâu thuẫn.

Vậy giả sử sai nên là số vô tỉ (đpcm).

Câu 2. Chứng minh tổng quát rằng: Nếu số tự nhiên a không phải số chính phương thì là số vô tỉ.

Lời giải:

Giả sử là số hữu tỉ, nên có thể viết dưới dạng phân số tối giản

D. a không phải số chính phương, nên không phải số tự nhiên, nên n > 1

Giả sử p là một ước nguyên tố của n (vì n > 1, nên tồn tại các ước nguyên tố của n), suy ra n² ⋮ p ⇒ m² ⋮ p ⇒ m ⋮ p

Do đó m và n đều cùng chia hết cho số p

Mà m và n là hai số nguyên tố cùng nhau ((m, n) = 1), dẫn đến mâu thuẫn

Vậy phải là số vô tỉ (đpcm).

Câu 3. Chứng minh rằng là số vô tỉ.

Lời giải:

Giả sử = m (với m là số hữu tỉ)

Suy ra

Vì m là số hữu tỉ nên m² là số hữu tỉ, do đó m² - 1 cũng là số hữu tỉ

Suy ra là số hữu tỉ (vô lý vì là số vô tỉ (ví dụ 1)).

Giả sử sai

Câu 4. Chứng minh rằng (m, n là số hữu tỉ, n ≠ 0) là số vô tỉ.

Lời giải:

Vì a, m, n là số hữu tỉ nên a – m là số hữu tỉ

Do đó (a - m).n là số hữu tỉ

Suy ra là số hữu tỉ, vô lý (vì là số vô tỉ, đã chứng minh ở ví dụ 2)

Câu 5. Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ.

Lời giải:

Giả sử tổng của số hữu tỉ a với số vô tỉ b là số hữu tỉ c.

Ta có: a + b = c b = c – a

Vì c và a số hữu tỉ nên hiệu c – a cũng là số hữu tỉ, mà c – a = b với b là số vô tỉ, vô lý.

Vậy c phải là số vô tỉ (đpcm).

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Chứng minh $\sqrt{3}$ là số vô tỉ.

Bài 2. Chứng minh $\sqrt{1+\sqrt{2}}$ là số vô tỉ.

Bài 3. Có hai số vô tỉ dương nào mà tổng là số hữu tỉ không?

Bài 4. Xem xét các số a và b có thể là số vô tỉ không nếu:

a) ab và $\frac{a}{b}$ là số vô tỉ;

b) a + b và $\frac{a}{b}$ là số hữu tỉ (a + b ≠ 0).

Bài 5. Chứng minh rằng hiệu của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 7 chọn lọc, có đáp án hay khác:

• Cách tìm điều kiện xác định của biểu thức dưới dấu căn cực hay, chi tiết
• Cách giải bài tập về các tập hợp số cực hay, chi tiết
• Cách so sánh, sắp xếp số thực lớp 7 cực hay, chi tiết
• Cách tính giá trị biểu thức số thực cực hay, chi tiết

Lời giải bài tập lớp 7 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 7 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 7 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 7 Cánh diều

---