Cách chứng minh một số là số vô tỉ cực hay, chi tiết

Cách chứng minh một số là số vô tỉ cực hay, chi tiết

A. Phương pháp giải

Dùng phương pháp phản chứng.

Để chứng minh a là số vô tỉ, ta thực hiện qua các bước sau:

- Bước 1: Giả sử a là số hữu tỉ.

- Bước 2: Lập luận và sử dụng các tính chất đã biết về lũy thừa, chia hết,… để đi tới mẫu thuẫn với giả thiết hoặc đi tới điều vô lí.

- Bước 3: Kết luận.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Chứng minh Cách chứng minh một số là số vô tỉ cực hay, chi tiết | Toán lớp 7 là số vô tỉ.

Lời giải:

Giả sử Cách chứng minh một số là số vô tỉ cực hay, chi tiết | Toán lớp 7 là số hữu tỉ

Do đó tồn tại hai số nguyên a và b với b ≠ 0 sao cho Cách chứng minh một số là số vô tỉ cực hay, chi tiết | Toán lớp 7

Như vậy Cách chứng minh một số là số vô tỉ cực hay, chi tiết | Toán lớp 7 có thể được viết dưới dạng phân số tối giản Cách chứng minh một số là số vô tỉ cực hay, chi tiết | Toán lớp 7 với a và b là hai số nguyên tố cùng nhau.

Cách chứng minh một số là số vô tỉ cực hay, chi tiết | Toán lớp 7

Suy ra a2 là số chính phương chẵn ⇒ a là số chẵn (số chính phương chẵn có căn bậc hai là số chẵn, số chính phương lẻ có căn bậc hai là số lẻ).

Do đó tồn tại 1 số k thỏa mãn a = 2k ⇒ a2 = (2k)2 = 4k2 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ 2b2 = 4k2 ⇒ b2 = 4k2:2 = 2k2

Suy ra b2 là số chính phương chẵn nên b là số chẵn

Mà a cũng là số chẵn

Nên phân số Cách chứng minh một số là số vô tỉ cực hay, chi tiết | Toán lớp 7 không phải phân số tối giản, mâu thuẫn

Vậy giả sử sai, do đó Cách chứng minh một số là số vô tỉ cực hay, chi tiết | Toán lớp 7 là số vô tỉ (đpcm).

Ví dụ 2: Chứng minh Cách chứng minh một số là số vô tỉ cực hay, chi tiết | Toán lớp 7 là số vô tỉ.

Lời giải:

Giả sử Cách chứng minh một số là số vô tỉ cực hay, chi tiết | Toán lớp 7 là số hữu tỉ, tức Cách chứng minh một số là số vô tỉ cực hay, chi tiết | Toán lớp 7 (m, n ∈ Z, n ≠ 0, (m, n) = 1)

Suy ra Cách chứng minh một số là số vô tỉ cực hay, chi tiết | Toán lớp 7

Do đó m2⋮3, mà 3 là số nguyên tố nên m⋮3

⇒ m = 3k ⇒ m2 = (3k)2 = 9k2, thay vào (1) ta được: 9k2 = 3n2

⇒ n2 = 3k2, suy ra n2 ⋮ 3 ⇒ n ⋮ 7 (vì 7 là số nguyên tố)

Do đó cả m và n đều cùng chia hết cho 7, mâu thuẫn với giả thiết (m, n) = 1

Nên giả sử sai.

Vậy Cách chứng minh một số là số vô tỉ cực hay, chi tiết | Toán lớp 7 là số vô tỉ. (đpcm)

C. Bài tập vận dụng

Câu 1. Chứng minh Cách chứng minh một số là số vô tỉ cực hay, chi tiết | Toán lớp 7 là số vô tỉ.

Hướng dẫn

Giả sử Cách chứng minh một số là số vô tỉ cực hay, chi tiết | Toán lớp 7 là số hữu tỉ Cách chứng minh một số là số vô tỉ cực hay, chi tiết | Toán lớp 7 là phân số tối giản, m; n ∈ Z, m ≠ 0)

Cách chứng minh một số là số vô tỉ cực hay, chi tiết | Toán lớp 7

Điều này chứng tỏ m2 ⋮ 7 mà 7 là số nguyên tố nên m ⋮ 7

Đặt m = 7k (k ∈ Z), suy ra m2 = (7k)2 = 49k2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 7n2 = 49k2 ⇒ n2 = 7k2

⇒ n2 ⋮ 7 ⇒ n ⋮ 7 (vì 7 là số nguyên tố)

Do đó cả m và n đều cùng chia hết cho 7, vậy Cách chứng minh một số là số vô tỉ cực hay, chi tiết | Toán lớp 7 không phải phân số tối giản, mâu thuẫn.

Vậy giả sử sai nên Cách chứng minh một số là số vô tỉ cực hay, chi tiết | Toán lớp 7 là số vô tỉ (đpcm).

Câu 2. Chứng minh tổng quát rằng: Nếu số tự nhiên a không phải số chính phương thì Cách chứng minh một số là số vô tỉ cực hay, chi tiết | Toán lớp 7 là số vô tỉ.

Hướng dẫn

Giả sử Cách chứng minh một số là số vô tỉ cực hay, chi tiết | Toán lớp 7 là số hữu tỉ, nên Cách chứng minh một số là số vô tỉ cực hay, chi tiết | Toán lớp 7 có thể viết dưới dạng phân số tối giản Cách chứng minh một số là số vô tỉ cực hay, chi tiết | Toán lớp 7

D. a không phải số chính phương, nên Cách chứng minh một số là số vô tỉ cực hay, chi tiết | Toán lớp 7 không phải số tự nhiên, nên n > 1

Cách chứng minh một số là số vô tỉ cực hay, chi tiết | Toán lớp 7

Giả sử p là một ước nguyên tố của n (vì n > 1, nên tồn tại các ước nguyên tố của n), suy ra n2 ⋮ p ⇒ m2 ⋮ p ⇒ m ⋮ p

Do đó m và n đều cùng chia hết cho số p

Mà m và n là hai số nguyên tố cùng nhau ((m, n) = 1), dẫn đến mâu thuẫn

Vậy Cách chứng minh một số là số vô tỉ cực hay, chi tiết | Toán lớp 7 phải là số vô tỉ (đpcm).

Câu 3. Chứng minh rằng Cách chứng minh một số là số vô tỉ cực hay, chi tiết | Toán lớp 7 là số vô tỉ.

Hướng dẫn

Giả sử Cách chứng minh một số là số vô tỉ cực hay, chi tiết | Toán lớp 7 = m (với m là số hữu tỉ)

Suy ra Cách chứng minh một số là số vô tỉ cực hay, chi tiết | Toán lớp 7

Vì m là số hữu tỉ nên m2 là số hữu tỉ, do đó m2 - 1 cũng là số hữu tỉ

Suy ra Cách chứng minh một số là số vô tỉ cực hay, chi tiết | Toán lớp 7 là số hữu tỉ (vô lý vì Cách chứng minh một số là số vô tỉ cực hay, chi tiết | Toán lớp 7 là số vô tỉ (ví dụ 1)).

Giả sử sai

Cách chứng minh một số là số vô tỉ cực hay, chi tiết | Toán lớp 7

Câu 4. Chứng minh rằng Cách chứng minh một số là số vô tỉ cực hay, chi tiết | Toán lớp 7 (m, n là số hữu tỉ, n ≠ 0) là số vô tỉ.

Hướng dẫn

Cách chứng minh một số là số vô tỉ cực hay, chi tiết | Toán lớp 7

Vì a, m, n là số hữu tỉ nên a – m là số hữu tỉ

Do đó (a - m).n là số hữu tỉ

Suy ra Cách chứng minh một số là số vô tỉ cực hay, chi tiết | Toán lớp 7 là số hữu tỉ, vô lý (vì Cách chứng minh một số là số vô tỉ cực hay, chi tiết | Toán lớp 7 là số vô tỉ, đã chứng minh ở ví dụ 2)

Cách chứng minh một số là số vô tỉ cực hay, chi tiết | Toán lớp 7

Câu 5. Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ.

Hướng dẫn

Giả sử tổng của số hữu tỉ a với số vô tỉ b là số hữu tỉ c.

Ta có: a + b = c b = c – a

Vì c và a số hữu tỉ nên hiệu c – a cũng là số hữu tỉ, mà c – a = b với b là số vô tỉ, vô lý.

Vậy c phải là số vô tỉ (đpcm).

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 7 chọn lọc, có đáp án hay khác:

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán 7 hay khác:

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 7 tại khoahoc.vietjack.com

GIẢM GIÁ 75% KHÓA HỌC VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Phụ huynh đăng ký mua khóa học lớp 7 cho con, được tặng miễn phí khóa ôn thi học kì. Cha mẹ hãy đăng ký học thử cho con và được tư vấn miễn phí. Đăng ký ngay!

Tổng đài hỗ trợ đăng ký khóa học: 084 283 45 85

Học tốt toán 7 - Thầy Lê Tuấn Anh

4.5 (243)

799,000đs

250,000 VNĐ

Học tốt tiếng Anh 7 - Cô Hoài Thu

4.5 (243)

799,000đ

250,000 VNĐ

Học tốt Văn 7 - Cô Lan Anh

4.5 (243)

799,000đ

250,000 VNĐ

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k8: fb.com/groups/hoctap2k8/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 7 có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài có lời giải chi tiết được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 7 và Hình học 7.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.