Chứng minh ba đường đồng quy, ba điểm thẳng hàng (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Chứng minh ba đường đồng quy, ba điểm thẳng hàng lớp 7 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Chứng minh ba đường đồng quy, ba điểm thẳng hàng.

Chứng minh ba đường đồng quy, ba điểm thẳng hàng (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

– Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy (ba đường thẳng cắt nhau tại một điểm) hay ba điểm thẳng hàng, ta có thể vận dụng các định lí về các đường thẳng đồng quy của tam giác:

+ Ba đường trung tuyến của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này là trọng tâm của tam giác.

+ Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác.

Chú ý: Một số bài toán có thể đưa bài toán chứng minh ba đường thẳng đồng quy về chứng minh ba điểm thẳng hàng.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ các tia phân giác BD, CE. Lấy M là trung điểm của BC. Chứng minh ba đường thẳng AM, BD, CE đồng quy.

Hướng dẫn giải:

Vì ΔABC cân tại A nên AB = AC.

Vì M là trung điểm của BC nên MB = MC.

Xét ΔAMB và ΔAMC có:

AB = AC (chứng minh trên);

AM là cạnh chung;

MB = MC (chứng minh trên)

Do đó ΔAMB = ΔAMC (c.c.c)

Suy ra $\widehat{\mathrm{BAM}}=\widehat{\mathrm{CAM}}$ (hai góc tương ứng).

Do đó AM là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{BAC}}$.

Xét ΔABC có AM, BD, CE là các đường phân giác. Từ tính chất ba đường phân giác trong tam giác, suy ra ba đường thẳng AM, BD, CE đồng quy.

Ví dụ 2. Cho ΔABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Lấy G thuộc cạnh AC sao cho $\mathrm{AG}=\frac{1}{3}\mathrm{AC}$. Tia DG cắt BC tại E. Qua E vẽ đường thẳng song song với BD, qua D vẽ đường thẳng song song với BC, hai đường thẳng này cắt nhau tại F. Gọi M là giao điểm của EF và CD. Chứng minh ba điểm B, G, M thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

⦁ Ta có: BD // EF suy ra $\widehat{\mathrm{BDE}}=\widehat{\mathrm{DEF}}$ (so le trong).

DF // BC suy ra $\widehat{\mathrm{BED}}=\widehat{\mathrm{EDF}},\widehat{\mathrm{FEC}}=\widehat{\mathrm{DFE}},\widehat{\mathrm{CDF}}=\widehat{\mathrm{DCE}}$ (so le trong)

Xét ΔBED và ΔFDE có:

$\widehat{\mathrm{BDE}}=\widehat{\mathrm{DEF}}$ (chứng minh trên);

ED là cạnh chung;

$\widehat{\mathrm{BDE}}=\widehat{\mathrm{DEF}}$ (chứng minh trên)

Do đó ΔBED = ΔFDE (g.c.g)

Suy ra BE = FD (hai cạnh tương ứng). (1)

⦁ Vì AD = AB nên A là trung điểm của BD.

Suy ra CA là đường trung tuyến của ΔBCD

Mà $\mathrm{AG}=\frac{1}{3}\mathrm{AC}$ nên G là trọng tâm của ΔBCD.

Suy ra E là trung điểm của BC.

Khi đó: BE = EC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra EC = DF.

⦁ Xét ΔDMF và ΔCME có:

$\widehat{\mathrm{MDF}}=\widehat{\mathrm{MCE}}$ (chứng minh trên);

DF = CE (chứng minh trên);

$\widehat{\mathrm{DFM}}=\widehat{\mathrm{CEM}}$(chứng minh trên)

Do đó ΔDMF = ΔCME (g.c.g)

Suy ra MD = MC (hai cạnh tương ứng).

Nên M là trung điểm của DC hay BM là trung tuyến của ΔBCD.

Khi đó điểm G thuộc BM.

Vậy: ba điểm B, G, M thẳng hàng.

Ví dụ 3. Chứng minh rằng trong một tam giác, tia phân giác của một góc trong và hai tia phân giác của hai góc ngoài không kề với nó đồng quy tại một điểm, điểm đó cách đều ba đường thẳng chưa ba cạnh của tam giác.

Hướng dẫn giải:

Gọi M là giao điểm của hai tia phân giác của hai góc ngoài tại B và C của ∆ABC. Ta sẽ chứng minh AM là tia phân giác của góc BAC.

Kẻ MH ⊥ AB; MI ⊥ BC; MK ⊥ AC (như hình vẽ).

Ta cần chứng minh thêm MH = MK = MI.

Vì M thuộc tia phân giác của góc HBI nên MH = MI

Vì M thuộc phân giác của góc KCI nên MI = MK

Suy ra: MH = MK (cùng bằng MI)

Mà điểm nằm bên trong góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.

Vậy M thuộc phân giác của góc BAC và MH = MK = MI.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm;

B. Ba đường trung tuyến của một tam giác không cắt nhau;

C. Ba đường trung tuyến của một tam giác luôn vuông góc với nhau;

D. Ba đường trung tuyến của một tam giác song song với nhau.

Bài 2. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Ba đường phân giác của một tam giác không đồng quy tại một điểm;

B. Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm, điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó;

C. Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm, điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó;

D. Cả A, B, C đều sai.

Bài 3. Cho tam giác MNP cân tại M có G là trọng tâm, I là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác đó. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. I là giao điểm ba đường phân giác của ΔMNP;

B. MI là đường trung tuyến của ΔMNP;

C. Ba điểm M, G, I thẳng hàng;

D. MG = NG.

Bài 4. Cho tam giác ABC, ba đường trung tuyến AD, BE và CF cắt nhau tại G. Trên BE, CF lần lượt lấy các điểm M và N sao cho $\mathrm{BM}=\frac{1}{3}\mathrm{BE},\mathrm{CN}=\frac{1}{3}\mathrm{CF}$. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $\mathrm{GB}=\frac{2}{3}\mathrm{BE}$;

B. GD, BN và CM đồng quy;

C. CN = NG;

D. $\mathrm{GE}=\frac{2}{3}\mathrm{BE}$.

Bài 5. Cho tam giác ABC cân tại A có đường trung tuyến AD và đường phân giác CF. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AF. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. ΔABE cân;

B. ΔACF cân;

C. Ba đường AD, BE, CF đồng quy;

D. BE là đường trung tuyến của ΔABC.

Bài 6. Cho ΔABC có điểm I cách đều ba cạnh của tam giác. Gọi N là giao điểm của hai tia phân giác góc ngoài tại B và C. Khi đó ta có:

A. Ba điểm A, I, N thẳng hàng;

B. Điểm I là giao điểm của ba đường trung tuyến của ΔABC;

C. AN là đường phân giác của góc ngoài tại đỉnh A của ΔABC;

D. Cả A, B, C đều đúng.

Bài 7. Cho tam giác ABC, tia phân giác AD. Các đường phân giác ngoài tại đỉnh B và C cắt nhau ở E. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. AD, BE, CE đồng quy;

B. Ba điểm A, D, E thẳng hàng;

C. ΔEBC cân;

D. E cách đều ba đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác.

Bài 8. Cho tam giác ABC có $\hat{B}=120°.$ Vẽ các đường phân giác BD, CE. Đường thẳng chứa tia phân giác ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC cắt đường thẳng BC tại F. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $\widehat{\mathrm{ADF}}=\widehat{\mathrm{BDF}};$

B. Ba điểm D, E, F thẳng hàng;

C. $\widehat{\mathrm{ABD}}=60°;$

D. $\widehat{\mathrm{FBD}}>\widehat{\mathrm{ABC}}.$

Bài 9. Cho tam giác ABC. Các đường phân giác của các góc ngoài của tam giác cắt nhau tại D, E, F (D nằm trong góc A, E nằm trong góc B, F nằm trong góc C). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. AD là đường trung tuyến của ΔABC;

B. BF và CE không cắt nhau;

C. AD và BE không cắt nhau;

D. Ba đường AD, BE, CF đồng quy.

Bài 10. Cho tam giác MNP cân tại P. Hai đường trung tuyến MH và NK cắt nhau tại G. Kéo dài PG cắt MN tại I. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của GP và GM. Trong các khẳng định sau có bao nhiêu khẳng định đúng?

(I) Các đường thẳng PF, GK, ME đồng quy;

(II) ΔPIN = ΔPIM;

(III) G là trọng tâm tam giác MNP;

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 7 hay, chi tiết khác:

• Nhận biết trung tuyến, trọng tâm tam giác và sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác

• Chứng minh một điểm là trọng tâm của tam giác

• Vấn đề đường trung tuyến trong tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều

• Nhận biết đường phân giác và đường phân giác đối với tam giác đặc biệt (tam giác cân, tam giác đều)

• Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau, tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc

Lời giải bài tập lớp 7 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 7 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 7 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 7 Cánh diều

---